华中科技大学附属中学
八年级（下）数学
课题：19.1.1变量与函数
华中科技大学附属中学
万兵
一、内容和内容解析
1.内容
人教版《义务教育教科书
数学》八年级下册：“19.1.1变量与函数”.
2.内容解析
本节内容为《一次函数》章节的第1节.
在学生学习了求代数式的值、二元一次方程和找规律等知识的基础上，对变量和常量已有一些模糊的认识.
本节课从具体的生活实例出发，感悟到现实世界中一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在着.
通过抽象，将与数学有关的内容（变化过程中的量）抽象到数学内部，并对量进行分类得出数值变化的量和数值始终不变的量，归纳出变量与常量的概念，这是本章研究的对象.
与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质，本节课后半部分着力探究变量之间的关系，通过抽象、归纳出变量间关系的共同特征，进一步概括出函数的概念，体会抽象、推理、模型这三个数学基本思想，为《一次函数》全章的学习打下基础.
根据以上的分析，本节课的教学重点确定为：
【教学重点】
常量与变量的意义和函数概念的形成.
目标和目标解析
1.教学目标
（1）结合生活实例，理解常量与变量、函数的概念.
（2）通过常量与变量、函数概念的过程，培养符号化、分类、类比、归纳、建模等数学思想.
（3）学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，体验数学的价值，提升数学抽象和数学建模的核心素养，增强学生学习数学的兴趣.
2.目标解析
本节内容从学生熟悉的实际问题出发，让学生感受一个变量随另一个变量的变化而变化，理解变化过程中变量与常量的概念。通过对变量间关系的抽象，归纳出它们的共同特征，让学会体会变量间的单值对应关系，层层挖掘函数概念的本质，从而概括出函数的概念，加深了学生对函数概念的理解与认识。达成目标（1）的标志：在探究过程中，发现一个量随另一个量变化而变化现象，理解常量与变量的意义，能归纳出变量间关系的共同特征，并概括函数的概念；达成目标（2）的标志：能通过生活实例，抽象出常量与变量的概念及变量之间的共同关键特征，进而提炼出函数概念的本质。达成（3）的标志是：了解数学从现实世界中抽象而来，通过建模又可以更好地描述现实世界的规律，从而体会到独立思考和合作探究的乐趣，提升数学抽象和数学建模的核心素养.
三、学生学情分析
1.学生的知识基础：在学习了求代数式的值、二元一次方程和找规律等知识的基础上，学生对变量和常量已有一些模糊的认识，能从行程问题、销售问题、几何问题中抽象出数学关系式.
2.学生的技能基础：学生在之前的学习中已经学习过“符号化”“分类”“类比”“归纳”“建模”等数学思想方法，具备了学习本课时内容的较好基础.
3.学生活动经验基础：以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验和能力.
本节课的研究较为抽象，从有表达式的变量关系到用表格和图像表达变量关系，是学生第一次用数学的眼光看待“万物皆变”这一客观规律，所以在学习的过程中要注意引导学生从具体实例中，找到共性，从而抽象出关键属性.
所以，我将本节课的教学难点确定为：
【教学难点】
探究并归纳函数的概念；
四、教学策略分析
梳理历史教材，函数概念的发展经历了几个关键阶段，从约翰·伯努利首次明确提出从解析式角度定义函数的概念，到后面的对应说，集合说，是一个由简入难，由具体至抽象的过程，教材的编排也严格地按照这一规律展开。在教学中，我有效借鉴历史对函数概念的认知，充分利用教材资源，层层递进，逐步挖掘常量与变量的概念和函数的本质，互助研学的学习模式有效地激发学生的学习兴趣；面对环环相扣的问题，有效利用学生认知发展的最近区，帮助他们更深入理解函数概念的抽象过程，构建学生更丰富、完备的认知体系，让学生在归纳类比中养成思考问题和梳理知识的意识与能力。因此我采用的
教法是：问题引导，探究发现；
学法是：合作探究，类比归纳；
五、教学基本流程
教学过程设计
环节一：情境导学
1.感悟历史进程（微视频）
十六世纪，随着欧洲过渡到新的资本主义生产方式，人们开始渴望冲破封建制度壁垒，便由此引发了新旧思想的变化与更替.
那时科学界占有统治地位的观点认为“不变才是高贵、完全的科学”，但意大利科学家伽利略并不赞同，他表示：
“对于把形成不生不灭、不变化的宇宙的自然界物体看作非常高贵和完整，相反却把有生有灭、易变化的事物视作不完整，我甚感吃惊，并从理智上反对这种谬误.
”
这句话强烈地反应了不是从静止而是从运动来观察世界的近代精神.
今天，我们知道，行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……我们充分相信，我们活在一个万物皆变的世界里.
【设计意图】本课是一章的起始课，通过视频再现历史情境，使学生了解从“静止是高贵的”到“万物皆变”是人类思想的发展与进步，是认识事物的必然选择，从而激发学生的学习兴趣.
2.认识变化过程
如图1，汽车以60
km/h的速度匀速行驶.
图1
师：当时间为1h，2h，3h时，汽车行驶的路程分别为多少？
生：汽车行驶的路程分别为60km，120km，180km.
师：因此当时间发生变化，汽车行驶的路程也在发生变化，如果将时间这个量记为t，路程这个量记为s，我们就可以说，s随着t的变化而变化，这就反映了一个变化过程.
【设计意图】认识变化的第一步就是要让学生理解什么是一个变化过程，这其中存在着一个量随另一个量的变化而变化的现象，为学生后面的互助研究活动奠定认知基础.
环节二：互助研学
1.常量与变量
合作学习1：请小组交流并指出这三个变化过程中一个量随另一个量的变化而变化的现象.
图2：电影票价为40元/张
图3：湖面上的圆形水波慢慢扩大
图4：用10m长的绳子围一个矩形
【小组展示】
生1：电影《我和我的祖国》票价为40元/张，如果将票房收入记为y，卖票数记为x，那么y随着x的变化而变化.
生2：湖面上的圆形水波慢慢扩大，如果将圆的面积记为S，圆的半径记为r，那么S随着r的变化而变化.
生3：用10
m长的绳子围一个矩形，如果将矩形的一边记为x，它的邻边记为y，那么y随着x的变化而变化.
【设计意图】通过大量生活问题题材引导学生会用“变”的眼光观察现实世界，在事例中感悟一个量随另一个量变化而变化的现象，发展学生数学抽象的核心素养.
师生互动：
①这四个变化过程产生了12量，如果要对这些量进行分类，你会如何分类？
路程 s时间 t速度 60km/s
票数 x 张收入 y 元票价 40 元
半径 r面积 S圆周率 π
一边长 x 米邻边长 y 米绳长10米
②你分类的依据是什么？
③如果给这两类量分别取一个名字，你会如何取？
④若将图1中的问题情境由“汽车以60
km/h的速度匀速行驶”改为“汽车从A地匀速前往距离它100km远的B地”，常量与变量分别有哪些？对比分析，你有什么启发？
师：常量与变量具备相对性，因此常量与变量的界定是建立在一个变化过程之上的.
概念：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
【设计意图】对常量和变量概念的理解要分为两个过程，第一个过程是通过对量的感悟后，对量进行对比，发现有些量的数值是不断变化的，有量的数值是始终不变的；第二个过程是辩证地理解常量与变量，在同一事件中变量和常量因问题不同而不同，因此变量和常量是相对的，从而准确地理解概念生成的前提条件：在一个变化过程中.
我们不仅要抽象出数学所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系.
——史宁中
【设计意图】与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质。引用数学教育名人的著作材料，也是文化引路的一种实施手段，借此让学生明确接下来的研究方向为变量间的关系，为函数概念的引出做出铺垫.
2.函数的概念
师生互动：
⑤你能说出上述四个变化过程中变量之间所满足的具体关系吗？
⑥请你任意说出一个符合“周长为10”这一条件的矩形.
x/m
1
2
3
...
y/m
...
合作学习2：请以小组为单位，讨论并归纳出上述4个变化过程所具备的共同特征，并将讨论的结果填写在导学案上.
变化过程
s=60t
y=40x
S=πr
y=5－x
共同特征
【设计意图】通过四个问题得到四组变量间的关系式，从而训练学生的数学建模与数学抽象思维能力.对第4个实例的进一步解读可以更好地帮助学生从本质上认识变量间的关系，即当一个变量取定一个值，另一个变量也有唯一确定的值，突出了函数概念中“唯一对应”这一重要特征.学生在思考、对比、分析、迁移中，亲身经历从大量同类事物的不同例证中发现它们的共同关键属性，有效地培养了学生的抽象概括能力.
图5：体检时的心电图，其图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流
.
图6：我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量x与y
.
图5
图6
师生互动：
⑦以上两幅图片有体现具体的变化过程吗？
合作学习3：这两个变化过程与前面的四个变化过程有什么共同点？请以小组为单位进行交流，并结合案例作出分析.
【小组展示】
生：在这两个变化过程中，也都有两个变量（图5：时间、心脏部位的生物电流；图6：年份、人口数），其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，但是它们没有解析式，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
师：前两个共同点很好获得，但是在前四个变化过程中，我们是通过关系式来实施第4个共同点的，这两个变化过程呢？你是怎么看出来的？
生：根据图像可知，当时间确定，心脏部位的生物电流就唯一确定.由表格可知，当年份确定时，人口数也是唯一确定.
师：很好，需要给大家作一点补充说明的是，人口统计表中两个变量之间并不是没有关系式，我们进入高中后就可以表示它，只不过当年份比较多的时候，我们不易于表示它.因此这6个变化过程的本质特征就是1,2,4这三条了.
既然这么多变化过程都具备这些共同特征，我们就有必要给这类一个量随另一个量的变化而变化的现象建立一个数学模型来进行研究，我们的数学家就给这个模型取了一个名字，叫做函数，这也就是我们今天要学习的第二个概念，下面，我们我们能否尝试给函数下一个定义呢？对于数学概念怎么获得，人教社章建跃老师在他的书中曾说过这样一段话，他说：数学的概念应该怎么获得？“可以从大量同类事物的不同例证中找到它们的共同的关键特征.
”根据他的指导，请你尝试给函数下一个定义？
合作学习4：请在小组内讨论，尝试给函数下一个定义？
【小组展示】
生1：在一个变化过程中，有两个变量，其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，当一个变量取定一个值，另一个变量可以通过关系式、图像、表格来确定，这样的变化过程称为函数.
师：这位同学很睿智，他把这些共同特征组合在了一起，但是数学概念应该是简明、准确、清晰的，那么我们能否表述地更为精致简练呢？
生2：我们来看第4个共同特征，“当一个变量取定一个值，另一个变量也唯一确定”其实就包含了“一个变量随另一个变量的变化而变化”这一特点，在概念中可不必说明.
师：很好，同时解析式、图像、表格是实施第4个共同点的常见三种方式，在概念中不必作特别说明.
函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
【设计意图】通过感受两个不能或不易用表达式刻画变量间关系的生活实例，引导学生比较、概括、分化、类化，舍弃无关特征，使概念的关键属性变得更加清晰.学生自主概括并精致函数的概念，有效地培养了学生的概括能力.
数学史话：（微视频）
环节三：应用践学
应用1：以下问题中哪些是自变量？哪些是自变量的函数？
秀水村的耕地面积是m ，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.
问题：你能类似地举出一些例子来考考你身边的同学吗？
【设计意图】引导学生用概念解释事例的活动，形成用概念作判断的“基本规范”.通过学生自己举例，自己判断，推动学生思维参与、加速概念的领悟过程.
应用2：下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？
【设计意图】要理解函数的概念，就要深入理解概念的关键词“每一个”“唯一确定”，由于学生刚开始接触抽象的概念，头脑中理解这些细节的背景例证应该既要有正例，还要有反例.
应用3：用绳子围成一个矩形.
（1）若矩形的周长为10，矩形的面积为S，一边长为x，请用含x的式子表示S，
S是x的函数吗？
（2）若矩形的面积为10，矩形的邻边长y
，一边长为x
，请用含x的式子表示y，y是x的函数吗？
【设计意图】函数的概念，来源于生活，应用于生活，当问题的背景不同，描述变量间的关系的表达式（解析式）也不同.应用3的设置一方面进一步巩固了函数的概念；另一方面该问题正好蕴含着初中阶段的三种重要的函数类型，对后续的学习形成了期待与展望.
环节四：反思悟学
1.请你从数学知识、方法、思想三个层面谈谈你本节课的收获？
2.知识框架（思维导图）
3.未来展望：微视频（高一学长）
【设计意图】通过学生从不同层面谈学习体会与收获，能及时将新知识纳入已有的知识系统，加深概念的理解与思维的升华，再辅以思维导图，可以让学生对整个学习过程的脉络更加清晰.同时，进入高中和大学，还要进一步学习函数的概念，让学长通过视频的方式现身说法，展现不同阶段对同一概念的认知差别，进一步点燃了学生对未知世界的探索热情.
环节五：布置作业
课本81面：习题19.1第1,2,3,4,7题
【设计意图】巩固对概念的理解，为后续学习打好清晰的认知基础.
七、教学反思
本节课分为四大板块，即情境导学、互助研学、应用践学、反思悟学，采取教师问题引导，学生合作探究的方式展开学习，注重学生的思维参与和感悟，认识到教学活动的重心应由“重视教”转为“重视学”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”.
可取之处：本节课充分借助了章引言和教材案例资源，采取问题引导、合作探究的方式，充分尊重学生的思维，互相启发，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念，使学生获得对概念本质的深刻领悟.
改进之处：在对问题情境的讨论展示后，对于共性的归纳与解读，可以让学生展开辩论，更全面地发表各小组的看法和观点，课程将会更加精彩.
在结尾总结部分，除了让老师或者学生总结外，还可不可以更精彩，这些都是有待进一步尝试的.
八、教学点评
《19.1.1变量与函数》的授课点评
武汉东湖高新区
李景财
本课是人教版初中数学第十九章《一次函数》的第一课时，是一个新的模块的起始课，是一节概念课，内容很抽象，相关知识的联系不明显.
为此授课教师采用了“学本课堂”的教学模式，合作学习、探究性学习，整体设计，注重发展学生的核心素养，使教学实现了三个“关注”，即关注了学生的学，关注了知识的形成与整体性，关注了学生的核心素养.
具体诠释如下：
一、践行“学本课堂”，把学习权利还给学生
全国著名特级教师李庾南说“教学的核心是学生的学习，教师教的使命在于让学生学会学习，让学生主动学习.
”为此，本课采用了“学本课堂”的教学模式，情境导学、互助研学、应用践学、检测评学、反思悟学等五环节，每个环节都围绕着学生的学，让学生站在教室的中央，做学习的主人。本课设计了四个“合作学习”活动，让学生观察发现、讨论交流、整合提炼、举例与挑战等，使合作学习、探究学习落地开花.
把学习的权利还给学生，极大地激发学生学习的潜能.
二、实施整体教学，追寻数学本质
整体教学体现数学的联系性、整体性，实现建构式的学习.
为此本课采用了整体教学的策略.
情境导学的视频让学生感受到世界是万物皆变的同时，也简介了本单元的主要教学内容，让学生大致了解了本单元学习结构；
应用3用绳子围成一个矩形的问题，列出了关系式分别是一次函数、二次函数、反比例函数，呈现了初中阶段要学习的三种具体的函数，初见了初中函数学习模块整体；
函数概念的学习设计了三个片段：一是函数概念的探究过程；二是观看古人研究函数史话的视频；三是高一学生介绍高中学习函数的感悟，三个片段从古到今，展望未来，体现了函数教学的大整体教学观，打开了函数学习的一片天空.
数学史话介绍了函数概念的建立是一个漫长的过程，学生探索函数概念的形成过程是古人探索函数概念的过程的浓缩，教材的设计演绎古人探究函数概念的历程，隐含着一条暗线，课堂上探究概念的形成是古人探究过程的再现，是一条栩栩如生的明线，两条线索在课堂上交汇，让学生感受了古人建立函数概念的艰难与执着，增强了学生学习数学的信心，激发学生探究数学的勇气.
三、运用基本数学思想，发展学生核心素养
2017年版《高中数学课程标准》说“会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”.
“三会”是学生在数学学习中的行为表现，是数学学科核心素养内化于人的结果，也是数学育人体现在学生身上的主要特征.
为此，章建跃博士强调“发展学生核心素养，需要在代数中加强演绎推理，在几何中加强直观想象”.
基本数学思想是抽象思想、推理思想、建模思想，它们分别对应着数学抽象、逻辑推理、数学建模等三种核心数学素养.
本课围绕三个核心素养的培养，开展了丰富的学生活动.
从万物皆变的世界，让学生感受一个个变化的过程，在量的分类中提炼出常量、变量的定义，从六个变化过程中提炼函数的定义等发展了学生的数学抽象能力；把十二个量分成两类，分类讨论，从六个变化过程中发现四个特征，把四个特征整合成两个特征，归纳成函数的定义等较好地发展了学生的逻辑推理能力；函数概念的形成过程发展了学生的数学建模能力.
本课运用三个基本数学思想实施教学，发展学生的核心素养，培养学生“三会”，较好地实现了本节课育人价值.
互助研学
情境导学学
反思悟学
应用践学
在一个变化过程中：
①有两个变量；
②一个变量随着另一个变量的变化而变化；
③变量间有一个关系式；
④当一个变量取定一个值，另一个变量也唯一确定；人教版《义务教育课程标准实验教科书
数学》八年级下册
19.1.1
变量与函数
华中科技大学附属中学
万兵
一、情境导学
示意图
一个变化过程：路程
s
随时间
t
的变化而变化
60km
120km
180km
起点
行驶1h
行驶2h
行驶3h
一、情境导学
1.
2.
汽车以60km/h的速度匀速行驶
电影票40元/张
3.
4.
湖面上的圆形水波慢慢扩大
用10m长的绳子围一个矩形
二、互助研学
合作学习1
请小组交流并指出这三个变化过程中一个量随另一个量
的变化而变化的现象.
电影票40元/张
湖面上的圆形水波慢慢扩大
用10m长的绳子围一个矩形
二、互助研学
问题1：若要对上述四个变化过程中产生的12个量进行分类，你会如何分类？
路程
s
票数
x
张
半径
r
一边长
x
米
时间
t
收入
y
元
面积
S
邻边长
y
米
速度
60km/h
票价
40
元
圆周率
π
绳长10米
汽车以60
km/h的速度匀速行驶.
s、t
为变量，速度60km/h为常量
汽车从A地匀速前往距离它100
km
远的B地.
v、t
为变量，速度60km/h为常量
二、互助研学
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量
为变量，数值始终不变的量为常量.
常量与变量具备相
对性.
二、互助研学
我们不仅要抽象出数学所要研究的对
象，还要抽象出这些研究对象之间的关系.
——史宁中
二、互助研学
问题2：你能说出上述四个变化过程中变量之间所满足的具体关系吗？
汽车以60km/h的速度匀速行驶
电影票40元/张
湖面上的圆形水波慢慢扩大
用10m长的绳子围一个矩形
二、互助研学
问题3：请你任意说出一个符合“周长为10”这一条件的矩形.
x/m
1
2
3
...
y/m
4
3
2
...
二、互助研学
合作学习2
请以小组为单位，讨论并归纳出上述4个变化过程所
具备的共同特征，并将讨论的结果填写在导学案上.
变化过程
s=60t
y=40x
S=πr
y=5－x
①在一个变化过程中，有两个变量；
②一个变量随另一个变量的变化而变化；
共同特征
③两个变量之间有一个关系式；
④当其中一个变量取定一个值时，另外一个变量就有唯一确
定的值与其对应.
二、互助研学
5.体检时的心电图，其图上点的横坐标
x
表示时间，纵坐标y表示心脏部
位的生物电流
.
6.我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量
x
与
y
.
年份x
人口数y/亿
1984
10.34
1989
11.06
1994
11.76
1999
12.52
2010
13.71
二、互助研学
合作学习3
这两个变化过程与前面的四个变化过程有什么共同点？请
以小组为单位进行交流，并结合案例作出分析.
二、互助研学
5.体检时的心电图，其图上点的横坐标
x
表示时间，纵坐标y表示心脏部
位的生物电流
.
6.我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量
x
与
y
.
年份x
人口数y/亿
y
1984
10.342
1989
11.06
y
1994
11.761
1999
12.52
x1
x2
2010
13.71
二、互助研学
合作学习4
请在小组内讨论，尝试给函数下一个定义？
数学的概念应该怎么获得？
“可以从大量同类事物的不同例证中
找到它们的共同的关键特征。”
------选摘自《数学概念的获得》一文
二、互助研学
函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量
x
和
y，并且对于x
的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x
是
自变量，y
是
x的函数。如果当
x=a
时
y=b，那么
b
叫做当自变量的值
为
a
时的函数值。
三、应用践学
应用1：以下问题中哪些是自变量？哪些是自变量的函数？
秀水村的耕地面积是
1
0
6
m ，这个村人均占有耕地面积
y
随这
个村人数
n
的变化而变化.
你能类似地举出一些例子来考考你身边的同学吗？
三、应用践学
应用2：下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度
h
是离起点的水平距离
t
的函数吗？为什么？
离地高度
h/cm
6
h35
h2
4
3
2
h
11
水平距离
t/cm
1
2
3
4
5
6
三、应用践学
应用3：用绳子围成一个矩形.
一次函数
初中函数
二次函数
反比例函数
(1)若矩形的周长为10，矩形的面积为
S，一边长为
x，请用含x的式子表
示
S，
S
是
x
的函数吗？
S
x(5
x)
(2)若矩形的面积为10，矩形的邻边长
y
，一边长为
x
，请用含x
的式子表
示
y，
y
是
x
的函数吗？
y
10
x
四、反思悟学
请从
数学知识、数学方法、数学思想三个角度
谈谈你这节课的收获？
四、反思悟学
知识结构
常量
实际
抽象
研究
分类
相对性
问题
对象
关系式
变量
变量间
抽象
共同
归纳
研究
的关系
图像
特征
函数归纳
表格
五、课后作业
课后作业：
1.课本81面：习题19.1
第1,2,3,4,7题
2.查阅相关资料，深入了解函
数概念的发展史.
谢谢聆听！
请专家和老师指导!
Email:651010204@
