(共20张PPT)
变量与函数
西安交大附中分校
王
蕊
人教版八年级下册
“士别三日，即更刮目相待。”
——《资治通鉴》
变化……
建国70周年国庆阅兵的徒步方阵，要求在天安门前以正步走过一段距离。行进过程中，队员们一步幅间的距离要求固定在75厘米，则正步走过的距离是多少？
正步走过的距离=75
x
步数
建国70周年国庆阅兵的徒步方阵，要求在天安门前以正步走过一段距离。行进过程中，队员们一步幅间的距离要求固定在75厘米。
正步数与正步走过的距离之间关系如下：
步数（步）
1
10
20
100
128
距离（厘米）
75
1500
7500
9600
750
(1)在以上这个变化过程中，哪些值是变化的？哪些值是不变的？
（2）在以上这个变化过程中，“距离的值”是
随“步数的值”的变化而变化吗？
步数（步）
1
10
20
100
128
距离（厘米）
75
750
1500
7500
9600
每张电影票的售价为
40元，如果第一场售出票150张，第二场售出205张。
（2）若设每场电影售出票
x
张，票房收
入为
y
元，怎样用含
x
的式子表示
y
？
(3)在这个问题中，变化的量是
_______________，没有变化的
量是___________。
（1）两场电影票的票房收入各多少元？
思考下列问题：
（4）票房收入
y
随售出票数
x
的变化而
变化吗？
每张电影票的售价为40元，如果第一场售出票150张，第二场售出205张.
第一场票房收入
=
40×150
=
6000
（元）
第二场票房收入
=
40×205
=
8200
（元）
y
=
40x
票价40元，
票数、票房收入
（1）两场电影票的票房收入各多少元？
（2）若设每场电影售出票
x
张，票房收入为
y
元，怎
样用含
x
的式子表示
y
？
(3)在这个问题中，变化的量是
___________，没有变化的量是___________。
（4）票房收入y
随售出票数
x
的变化而变化吗？
是的
（1）这天的8时、12时、14时和20时的气温分
别为多少？任意给出这天中的某一时刻，可以说出这一时刻的气温吗？
下图是西安市某天的气温变化图，看图回答：
（2）在以上变化过程中存在几个量？哪些量是变化的？
（3）“温度的值”随着“时间的值”的变化而变化吗？
步数（步）
1
10
20
100
128
距离（厘米）
75
750
1500
7500
9600
（1）
y
=
40x
（2）
当x
=
150时：y
=
6000
当x
=
205时：y
=
8200
（3）
思考:
在同一个变化过程中，如果有两个变量，那么它们之间有怎样的联系
呢？若给定其中一个变量的值，另一个变量有与其对应的值吗？若有，这个值唯一吗？
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x
和y,
并且对于x
的每一个确定的值,
y
都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说
x
是自变量,
y
是x
的函数.
函
数
1.
判断下列各关系式的变量
y
是
x
的函数吗？
是
（1）
y
=
2x
（2）
y
=
x
2
是
（3）
=
x
不是
巩固新知
2.
下列各图像表示的变量
y是
x的函数吗？
是
是
是
不是
巩固新知
两名同学一组，一名同学列举一个变量之间是函数关系的例子，另一名同学判断所举例子是否正确，如果是函数关系，指明自变量和函数，如果不是函数关系，说明理由．交换分工再执行一次．
活
动
2010
13.71
活
动
例1：
汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量
y（单位：L）随行驶里程
x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1
L/km.
（1）写出表示
y与
x
的函数关系的式子；
（2）指出自变量
x
的取值范围；
（3）汽车行驶
200
km
时，油箱中还有多少油？
巩固新知
小
结
函数的三种表示:
列表、关系式（解析式）、
图象.
函数值:
一般地，如果当
x=a时，y=b，
则b叫做当自变量为a时的函数值。
自变量的取值范围：使函数关系式有意义，
使实际问题有意义。
函数相关概念
练习：如图，小明想用10
m长绳
子围一个矩形，思考下列问题：
(2)边长
y与另一边长
x之间的关系式是
———————，
此时y是
x的函数吗？
(3)
矩形的面积
S是边长x
的函数吗？
（1）在这个问题中，其中常量是————
————————；
变量是—————————————。
随堂练习
(2)边长
y
与另一边长
x之间的关系式是
———————，
此时y是
x的函数吗？
（1）在这个问题中，其中常量是————
—————
——；
变量是—————————————.
(3)
矩形的面积
S是边长x
的函数吗？
是
矩形周长10m，
两边长
x和
y，矩形面积
是
练习：如图，小明想用10
m长绳
子围一个矩形，思考下列问题：
随堂练习
谈谈你本节课知识掌握上的
变化……
小
结《变量与函数》教学设计
西安交大附中分校
王蕊
一、内容和内容解析
1．内容
变量与函数（人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书`·数学》八年级下册第十九章第一节第一课时）。
2．内容解析
函数是中学数学中最重要的概念之一，它是描述现实世界运动变化规律的重要数学模型.理解函数概念，学会用函数的观点解决数学问题和现实问题，是中学阶段最重要的学习任务之一。
初中阶段强调用函数描述一个变化过程.例如，在匀速运动中，路程随时间的变化而变化，路程是时间的函数；商品单价为a，总价S随商品数量n的变化而变化，S是n的函数:等等。其本质是:函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系。函数概念所反映的基本思想是变化与对应的思想。
函数的概念和表示方法是后续学习正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数等具体函数的其础。本节课在结合具体实例归纳概拓函数概念的过程中，经历从具体到抽象的认知过程，发展学生的抽象概括能力。基于以上分析，确定本节课的教学重点为:了解函数概念的内涵。
二、目标和目标解析
1.
目标
(1)
进一步了解常量、变量的意义。
(2)
在简单实际问题情境中，从常量、变量之间的数量关系中抽象出函数概念，初步感受变化与对应的丽数思想.
(3)
结合实例，了解函数的三种表示方法。
2．目标解析
（1）通过简单实例，说出变量、常量的意义；
（2）在具体问题情境中，能识别变量与常量，体会分类思想；
（3）经历函数概念的形成过程，体会变化与对应的数学思想，感悟事物之间相互联系并不断运动、变化、发展的哲学思想；
（4）能结合具体实例判断两个变量之间是否存在函数关系。
三、教学问题诊断分析
函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点，所以函数概念一直是中学数学教学的难点。尤其是对初中生来说，第一次接触函数概念时会感到十分困难。
一方面，函数作为从数量角度反映变化规律的数学模型涉及到很多复杂的层次和许多相关的上位概念，这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。其中复杂的层次主要包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）这个变化之间存在“单值对应”的关系。相关的上位概念主要有变量、对应、唯一、确定等。
另一方面，函数概念难以形成的原因是学生的认知准备不足。在学习函数概念之前，学生接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，了解函数的概念，需要学生的思维经历一个飞跃的过程，这个过程需要达到辨证思维的形态。然而，此时学生的辨证思维水平还处于不很成熟的时期，这个矛盾是函数概念学习中一切认知障碍的根源。
四、教学过程设计
（一）创设情境 导入新课
问题1
这是一个瞬息万变的世界，万事万物都在发生着变化，本是一介武夫的吕蒙经过孙权劝学，自己努力就学变后成为一名儒将，让鲁肃发出了“士别三日，即更刮目相待”的感慨。我们的求学之路
也在发生着不同的变化，从小学到初中，你觉得你在哪些方面发生变化了……（学生发言）
设计意图：通过丰富的实例，让学生感受到生活中处处存在变量，体会学习变量的必要性。
（二）探索新知 尝试发现
《引例1》
个人在变化，我们的国家也在发生着巨大的变化，尤其在刚刚过去的国庆期间，大家深刻地感受到了新中国成立70来的日新月异。
问题2
在10月1日那天，我们观看了一场盛大的阅兵仪式，大家都喜欢徒步方阵的气势，这里面还有一个小知识点：“建国70周年国庆阅兵的徒步方阵，要求在天安门前以正步走过一段距离。行进过程中，队员们一步幅间的距离要求固定在75厘米”
，我们可以算算正步走过的距离是多少？
正步走过的距离=
75
x
步数（学生口答）
正步数与正步走过的距离之间关系如下：
教师呈现下列问题。
(1)在以上这个变化过程中，哪些值是变化的？哪些值是不变的？
（2）在以上这个变化过程中，“距离的值”是
随“步数的值”的变化而变化吗？
《引例2》
上午看阅兵仪式，下午是不是安排了观影活动？观看了精彩的电影《我和我的祖国》，有以下信息：每张电影票的售价为
40元，如果第一场售出票150张，第二场售出205张。
问题3
思考下列问题：
（1）两场电影票的票房收入各多少元？
（2）若设每场电影售出票
x
张，票房收入为
y
元，怎样用含
x
的式子表示
y
？
(3)在这个问题中，变化的量是
________，没有变化的量是_____。
（4）票房收入
y
随售出票数
x
的变化而变化吗？
《引例3》下图是西安市某天的气温变化图，看图回答：
看图回答:
（1）这天的8时、12时、14时和20时的气温分
别为多少？任意给出这天中的某一时刻，可以说出这一时刻的气温吗？
（2）在以上变化过程中存在几个量？哪些量是变化的？
（3）“温度的值”随着“时间的值”的变化而变化吗？
设计意图：通过三个简单而熟悉的例子，引导学生在分化和类化各题的特征中发现这样的事实：在一个变化过程中，存在数值发生变化的量和数值始终不变的量。进而为抽象、概括出变量和常量作铺垫；另外，三个问题中变量之间的关系分别用表格、图象和解析式的方式呈现，为后续学习函数的三种表达形式埋下伏笔。
问题4
针对上述三个问题，请同学们为这些量进行分类，并指出你的分类标准。
设计意图：在反复观察、反复比较、反复分析中，抽象、概括出变量和常量的本质属性，体会分类思想。
说明：在学生分类，并指出分类的标准后，教师引导学生概括共同属性，得出变量和常量的定义。
问题5 在前面研究的三个问题中，哪些量是变量？哪些量是常量？请你再列举一些日常生活中的变化过程的实例，并指出其中的变量和常量。
设计意图：让学生“再认识”前面研究的问题，并联系生活列举实例，进一步体会变量和常量的意义，感受数学的应用价值。
（三）反思提炼 归纳定义
问题6
以上三个例子中都分别有两个变量，那么思考:
在同一个变化过程中，如果有两个变量，那么它们之间有怎样的联系
呢？若给定其中一个变量的值，另一个变量有与其对应的值吗？若有，这个值唯一吗？
设计意图：通过对三个具体问题中两个变量之间联系的研究，让学生在观察、比较、抽象、概括等数学活动过程中，经历函数概念的形成过程，体会变化与对应的思想。
说明：学生在独立思考后进行小组交流，此时，教师也参与学生的活动之中，了解各小组的讨论情况，并适时点拨。然后小组汇报讨论结果，全班学生一起交流，并抽象、概括三个问题中变量与变量之间关系的共同属性，即（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）这个变化之间存在“单值对应”的关系。
教师用规范的数学语言表述函数的概念，并介绍与函数有关的概念：一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x
和y,
并且对于x
的每一个确定的值,
y
都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说
x
是自变量,
y
是x
的函数.
在此过程中，教师要引导学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题中的两个变量之间的关系，从中发现其共同属性，概括出两个变量究竟是“怎样联系”的。并重点强调几个关键字——“每”、“确定”、“唯一”、“对应”的含义，同时举出反例进行辨析。
例如，“每”字包含两层意思：其一是“任意”，即在一个变化过程中（即在定义域内）“任意”给出x（即自变量）一个值，y都有唯一确定的值（即函数值）与其对应；其二是“所有”，即“取尽”变化过程中（即在定义域内）的“所有”的值，y都有与其相对应的唯一确定的值（即函数值）。在解释“每”的含义时，要结合三个具体问题尽可能多地取x（即自变量）的值，使学生真正领会其内涵。同时，举出反例，深化对函数概念的认识。如举出反例：若变量x为实数，在将x取倒数（即y为x的倒数）的过程中，由于0的倒数没有意义，所以当x取0时，没有相应的y与之对应，此时y不是x的函数。
问题7
概念辨析：
1.
判断下列各关系式的变量
y
是
x
的函数吗？
（1）
y
=
2x
（2）
（3）
2.
下列各图像表示的变量
y是
x的函数吗？
3.
两名同学一组，一名同学列举一个变量之间是函数关系的例子，另一名同学判断所举例子是否正确，如果是函数关系，指明自变量和函数，如果不是函数关系，说明理由．交换分工再执行一次．
教师展示部分讨论结果：
设计意图：遵循学生的认知规律，多角度、多层次地设置习题，提高学生对概念核心的理解程度。通过变式练习，进一步明确概念的内涵和外延，突出函数概念的本质属性。
（四）练习运用 反馈纠正
例1：
汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量
y（单位：L）随行驶里程
x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1
L/km.
（1）写出表示
y与
x
的函数关系的式子；
（2）指出自变量
x
的取值范围；
（3）汽车行驶
200
km
时，油箱中还有多少油？
设计意图：通过“具体——抽象——具体”的过程，进一步加深对函数概念的认识，体会函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。
随堂练习：如图，小明想用10
m长绳子围一个矩形，思考下列问题：
（1）在这个问题中，其中常量是————
—————；
变量是—————————。
(2)边长
y与另一边长
x之间的关系式是
———————，
此时y是
x的函数吗？
(3)
矩形的面积
S是边长x
的函数吗？
（五）交流悟理 归纳小结
1．谈谈你本节课知识掌握上的变化……
2.
（1）对自己说，你有哪些收获？
（2）对同学说，你有哪些温馨提示？
（3）对老师说，你有哪些困惑？
设计意图：创设反思情境，搭建交流平台，体现人文关怀。
说明：学生从不同的角度、不同的侧面畅谈自己的感受。在反思和交流之中，引发深层次的思考，促进思维品质的优化。
3．布置作业：
（1）举出3个日常生活中的函数的例子，并指出其中的自变量及自变量的函数；
（2）教材74页练习题1、2.
《变量与函数》点评：
《变量与函数》这节课设计了丰富、典型的实例，通过引导学生分析实例归纳共性，从而抽象出函数概念，再结合正例、反例、学生举例辨析概念，加深学生对函数概念的理解。
首先从“变化”的情景谈起，“士别三日，即更刮目相待”（孙权劝学）引发学生畅谈自身的变化，“国庆阅兵”引出祖国发展的日新月异，“走出去看看各地的大好河山”联系气温图。三个例子恰到好处，既切合学生的生活和社会热点，又吻合本节课知识呈现的“最近发展区”，为后继两个概念“变量”与“函数”的归纳思辨提供了丰富的素材，而且三个例子对应着函数的三种表示法。
本节课设计突出“变化”的思想和“对应”的思想。我们认为达到的教学预期在于：
（1）提供丰富、典型的实例作为抽象概念的基础。本节课设置了三个引例，它们分别以解析式、表格、图象的形式呈现两个变量之间的关系，帮助学生透过表示形式发现变化过程中两个变量之间的本质关系。引导对新问题的结论进行猜想、验证，使整堂课连贯流畅、水到渠成，闪耀着学生的智慧。
（2）多角度进行概念辨析，加深对概念的理解。在本节课的教学中，学生们始终围绕着如何判断“函数关系”这一问题，通过正例分析明确函数概念中的三个层次，即“变化过程”“两个变量”“唯一确定”；又以反例帮助学生理解“唯一确定”。
（3）概念应用生活化。中学数学学科核心素养指出，要通过数学学科的教学引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界，木节课设计的例子大多具有生活背最，帮助学生体会现实生活中存在大量的函数关系的问题，概念形成后，又将数学知识运用于我们的生活，给学生提供了广阔的交流空间。
（4）引导学生在经历了一堂课的探究后获得数学活动经验的积累．在教学过程中，鼓励学生主动的从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动，使学生了解不同的思考途径所带来的新的认识，更进一步适时的引导学生总结获得知识规律，解决问题的方法，并将它们上升到方法论的层面，善于反思等等。
