《24.4弧长和扇形的面积》教学设计
伊宁市第十八中学：
徐文婷
指导教师：姜昀
内容和内容解析
内容
弧长和扇形面积公式
2、内容解析
和扇形面积”，弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式，应用弧长和扇形面积公式可以计算一些与圆有关的周长和面积，也可以解决一些简单的实际问题，学习这两个公式也为圆锥侧面积公式的推导，打下了基础。
弧长公式是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来，运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧长和扇形面积公式的推导及运用。
目标和目标解析
目标
（1）理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积。
（2）在弧长和扇形面积公式的探究过程中，体会从特殊到一般及类比的数学思想。
2、目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能够理解1°的圆心角所对的弧长等于圆周长的，所对的扇形面积等于面积的；能够发现n°的圆心角所对的弧长和扇形面积都是1°的圆心角所对的弧长和扇形面积的n倍；能利用弧长表示扇形面积，并能利用公式计算弧长和扇形面积。
达成目标（2）的标志：弧长和扇形面积公示的推到过程中，引导学生发现弧长与扇形圆周长，扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，并在此过程中体会转化、类比及从特殊到一般的思想进而达成目标。
三、教学问题诊断解析
圆的周长和面积公式都是学生已经掌握的内容，学生能够感知到弧长和扇形面积分别与圆周长和面积有关，但是对于公式过程中圆心角的作用不易理解。教师可以利用特殊情况进行引导：先知道360°的圆心角所对的弧长即圆的周长；然后的180°、90°、1°的圆心角所对的弧长，最后探索n°的圆心角所对的弧长，并通过n°圆心角与1°圆心角的倍数关系得出弧长公式。通过类比的方法得到扇形面积公式的过程。
基于以上分析，本节课的教学难点：弧长和扇形面积公式的推导。
五、教学过程
1、创设情境，感受新知
幻灯片展示的是一把漂亮的扇子的图片：同学们，一年一度的校园文化艺术节就要到了，你们期待吗？（生答[略]）我们八年级组表演的节目是扇子舞，需要装饰一批扇子道具，但舞蹈老师不知道该买多少装饰材料，我们能帮助计算一下所需的花边和扇面材料的数量吗？
问题1：装饰扇子需要买几种材料？
问题2：买这些材料我们如何计算出来呢？
问题3：装饰花边需要计算什么？装饰扇面需要计算什么？
师生活动：学生观察，可以将计算装饰花边材料问题抽象成数学中求弧长的问题，装饰扇面就是求扇形面积的问题。
[设计意图]
由学生感兴趣的校园文化艺术节引入课题，一方面为了激发学生的学习兴趣；另一方面，通过扇子反复地开合，能够让学生直观地感受到弧长和圆心角有关，同时，当扇子的张开程度不变时，组成扇面的两段弧长大小不等，是因为弧长与半径有关。这样，在推导弧长公式时，就可以引导学生顺理成章地想到：要求弧长就要先知道圆心角和半径。帮助学生将生活中的实际问题抽象成数学问题。
（一）探索并应用弧长公式
活动1：探究弧长公式
问题2
：我们要计算弧长，它跟什么有关呢？
师生活动：教师将手中的扇子反复地开合，学生能够感知扇形的弧长与圆心角和半径有关；
思考：①半径为R的圆的周长是多少？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？
②半圆呢？四分之一圆呢？
③1°的圆心角呢？n°的圆心角呢？
师生活动：
半径为R的圆的周长公式为：，而整圆的圆心角为360°；半圆所对的弧长为，半圆的圆心角为180°，；
圆所对的弧长为，而圆所对的圆心角为90°；1°的所对的弧长为。教师引导学生把弧长与圆心角的度数对应上，让学生自然而然地想到：将圆等分进而推导出弧长公式。
[设计意图]由于圆是特殊的弧，经历以上推导过程，由一个圆的周长所对的圆心角是360°到半圆所对的圆心角是180°，再到四分之一个圆的弧长所对的圆心角是90°，再反推出1°的圆心角做对的弧长是多少，从而让学生自然而然地想到等分，推导出弧长公式，在此过程中体验从特殊到一般的思想。
问题3：当半径为R，圆心角为n°时，你能计算出弧长是多少吗？
师生活动：学生独立思考，根据将圆360等分，而n°占了其中的n个等份,也得出n°的圆心角所对的弧长为是1°的圆心角所对的弧长的n倍，从而得出n°的圆心角所对弧长为。
此时教师还要强调公式中的n的意义，占360的n份，或n表示1°的圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中180也不带单位。
活动2：巩固练习
已知圆的半径为4cm，则60°的圆心角所对的弧长为_______；
已知弧长为3πcm,弧的半径为6cm，则该弧所对的圆心角为_____；
3、已知弧长为10π,该弧所对的圆心角为120°,则此弧所在圆的半径为_____。
师生活动：学生独立完成，教师巡视过程中进行面批，了解学生的掌握情况。
问题4：通过计算以上三道习题，你有什么发现吗？
师生活动：学生对比三道小题中已知和结论，不难发现弧长公式中的L、n、R三个量“知二得一”
[设计意图]三道巩固练习环节，一方面让学生熟练的应用弧长公式，另一方面三道题中有意的挑选了不同的已知条件，在学生计算的过程中渗透了解方程的思想。
活动3：我们已经学习了弧长公式，那同学们能借助模具求出所需装饰花边的材料吗？
师生活动：学生根据计算弧长与半径和圆心角有关，同桌合作用量角器和直尺量取扇形模具的半径和圆心角，求出装饰花边的材料。
（二）探索并应用扇形面积公式
活动4：同学们我们解决了装饰花边的问题，还有什么问题没有解决呢？
问题5：①装饰扇面如何计算呢？
②如何计算扇形面积？
③你能否类比研究弧长公式的方法推导出扇形面积公式？
师生活动：学生独立思考并讨论，类比弧长公示的研究过程，可以发现，在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积,则n°的圆心角所对扇形的面积为
[设计意图]类比弧长公式的发现过程，有学生独立思考，归纳出扇形面积公式。
活动5：巩固练习：
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为
。
2、已知半径为2cm的扇形，其弧长为
，则这个扇形的面积为
。
师生活动：学生独立完成，教师巡视过程中进行面批，了解学生的掌握情况
问题5：比较扇形面积公式和弧长公式，你能用弧长表示扇形面积吗？
师生活动：学生独立思考并讨论。通过观察可以发现扇形面积公式
此时教师可以引导学生，扇形面积的另一个计算公式与三角形的面积公式类似，只要把扇形看作是一个曲面三角形，把弧长l看成底，半径R看成高就可以了。
[设计意图]通过对比弧长和扇形面积，让学生发现可以通过弧长表示扇形面积，为圆锥侧面积公式的推导作准备。
活动6：现在同学们能帮助老师，借助磨具求出装饰扇面的所需材料吗？
师生活动：学生观察扇子可以发现：扇面的面积是有大扇形的面积减去小扇形面积求得，求出装饰扇面的材料。
[设计意图]解决课前装饰扇子的问题，让学生在学习的过程中体验数学来源于生活并服务于生活。
（三）课堂小结：
你能画一幅画总结你本节课所学的内容吗？
[设计意图]通过小结，使学生梳理本节课所学知识，把握本节课的核心--弧长和扇形面积。
（四）当堂检测
1、如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（保留π）
2、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度l
(单位：mm，精确到1mm)
（五）布置作业：
课本习题24.4第1、2、6题
（六）板书设计
24.4《弧长和扇形面积》评课稿
伊宁市第十八中学
徐文婷
一、对课程的理解
“弧长和扇形面积”作为圆这一章中的重要组成部分，是在研究了圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等之后，进一步研究的圆中有关弧、扇形、圆心角、圆等之间的数量关系“弧长和扇形的面积”是在小学学过的圆周长、面积公式的基础上推导出来的，应用这些公式，可以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面积。
基于这一点，这节课我们从学生感兴趣的校园文化艺术节上，需要计算一批扇形道具的装饰材料数量引入课题，一方面为了激发学生的学习兴趣；另一方面，通过扇子反复地开合，能够让学生直观地感受到弧长和圆心角有关，同时，当扇子的张开程度不变时，组成扇面的两段弧长大小不等，是因为弧长与半径有关。这样，在推导弧长公式时，就可以引导学生顺理成章地想到，要求弧长就要先知道圆心角和半径。
二、对教材的处理
1、课前思考处理
无论弧长公式的推导，还是扇形面积公式的得出，其实质都是通过将圆进行等分，最终推导出公式。对于本节课开篇的这个思考，处理的办法：可以直接把圆等分成360份，然后，求出1°、2
°…的圆心角所对的弧长，进而通过找规律的办法推导出公式；但我们认为这样做太过突兀，没有从学情出发，学生会想为什么要等分？同时学生的能力也没有得到很好的培养。所以，我们从学生已经掌握的圆的周长公式入手。
圆的周长可以看成是360°的圆心角所对的弧长，也就是说360°的圆心角所对的弧长是圆的周长，那么180°的圆心角所对的弧长是多少？90°圆心角所对的弧长是多少？让学生从整圆、半圆、四分之一圆所对的弧长、圆心角的比例关系，逐步领会1°的圆心角所对的弧长等于圆周长，进而得出n°的圆心角所对的弧长为是1°的圆心角所对的弧长的n倍，从而得出n°的圆心角所对弧长为。
学生完成了对弧长公式的推导和理解后，采用类似的方法，推导扇形面积公式。
2、例1的处理
由于本节课的设计是从提出“装饰扇子需要多少材料”开始，到解决这个问题为止，这是一个完整的问题线索，而例1的目的，是让学生会用弧长公式解决实际问题，对于我们的学生来说，难度也不大，所以我们把例1放在了当堂检测这个环节里。
§24.4弧长和扇形面积
弧长公式：
扇形面积：
半径为R
特殊一般
圆心角
弧长
扇形面积
360°
180°
90°
1°
n°(共19张PPT)
伊宁市第十八中学
徐文婷
弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的常用公式，应用弧长和扇形面积公式可以计算一些与圆有关的周长和面积，也可以解决一些简单的实际问题，学习这两个公式也为圆锥侧面积公式的推导打下了基础。
弧长公式是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来，运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积。
教学内容解析
学
情
分
析
教
法
分
析
教
学
过
程
本节课的教学目标是：
1、理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积。
2、在弧长和扇形面积公式的探究过程中，感受从特殊到一般及类比的数学思想。
教学内容解析
学
情
分
析
教
法
分
析
教
学
过
程
从学生已有的知识结构看：在小学阶段，学生就学习过圆的周长和面积公式，也认识扇形，在本章的第一课时，学生又学习了弧是圆的一部分。
从学生的认知角度看：我校学生的数学基础相对比较均匀，掌握两个公式的用法并不困难，但把难度上升为：学生自主地把生活中的实际问题抽象为数学问题，并推导出公式，探讨出解决的方案，再用数学的方法解决实际问题是一个不小的挑战。
教学内容解析
学
情
分
析
教
法
分
析
教
学
过
程
本节课的教学重点是：
弧长和扇形面积公式的推导及运用。
本节课的教学难点是：
弧长和扇形面积公式的推导。
教学内容解析
学
情
分
析
教
法
分
析
教
学
过
程
几何中的计算类教学，既要求学生能够掌握公式的推导，还要能正确地运用公式，同时注意算法的多样与算法优化相结合，并让学生感受到通过计算能解决一些实际问题。
本节课从学生非常感兴趣的校园文化艺术节入手，围绕“装饰扇子”
这个问题，采用“小组合作、自主探究”的学习方法，体现学生的主体地位，同时教师对“得出问题的解决方法”适时地进行引导和启发，体现教师的主导作用。
教学内容解析
学
情
分
析
教
法
分
析
教
学
过
程
一、情境引入、感受新知
这节课是从学生感兴趣的校园文化艺术节上，需要计算一批扇形道具的装饰材料数量引入课题，激发学生的学习兴趣；使学生将生活中的实际问题抽象成数学问题，并找到解决的方案。
通过扇子反复地开合，能够让学生直观地感受到弧长和圆心角有关，同时，当扇子的张开程度不变时，组成扇面的两段弧长大小不等，是因为弧长与半径有关。这样，在推导弧长公式时，就可以引导学生顺理成章地想到，求弧长就要先知道圆心角和半径。
二、探索及应用弧长公式
360
°的圆心角所对的弧长
180
°的圆心角所对的弧长
90
°
的圆心角所对的弧长
n
°
的圆心角所对的弧长
特殊
一般
在老师的引导下，让学生很自然想到等分。
二、探索及应用弧长公式
通过三道习题，使学生熟练运用弧长公式，并举手反馈了解学生掌握情况。同时让学生再次回顾这三道题体会到：弧长公式中的n、R、L三者之间的关系。
二、探索及应用弧长公式
学生通过亲自测量道具的圆心角和半径，求出装饰扇子花边的长度这一过程，一方面再次熟悉了弧长与圆心角和半径有关；另一方面体现了引导学生发现问题、分析问题、解决问题的教学过程，同时让学生学会思考，学会分析问题和解决问题，并从中获得成功的体验
二、探索及应用弧长公式
学生已经学习过扇形，由扇形定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分，圆面积可以看成多少度的圆心角所对的扇形面积？小组合作类比弧长公式的探究方法，探究扇形面积公式。
三、探索及应用扇形面积公式
通过两道习题检测学生对扇形面积公式的掌握情况，第二题为了引出弧长公式与扇形面积公式的关系做了铺垫。学生通过对比弧长和扇形面积公式，让学生发现可以通过弧长表示扇形面积，为圆锥的侧面积公式的推导做准备。
三、探索及应用扇形面积公式
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心--弧长和扇形面积公式，并体会部分与整体的联系，从特殊到一般及类比的思想。
由于本节课的设计是从提出“装饰扇子需要多少材料”开始，到解决这个问题为止，这是一个完整的问题线索，而例1的目的，是让学生会用弧长公式解决实际问题，对于我们的学生来说，难度也不大，所以我们把例1放在了当堂检测这个环节里。
根据本节课教学内容，立足学情，选择了这三道题作为家庭作业，考查学生对弧长公式和扇形面积公式的掌握情况。
