新人教版九年级下册数学第26章反比例函数知识点+例题练习学案（pdf版、不含答案）

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反比例函数
一、反比例函数概念
一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成
x
ky ? 或 kxy=b 或 y=kx-1 （k为常数， 0k ? ）的形式，那么称
y 是 x的反比例函数。
注意点：
（1）k 是常数，且 k 不为零；
（2）
x
k
中分母 x 的指数为 1，如， 2
2y
x
? 就不是反比例函数。
（3）自变量 x 的取值范围是 0x ? 的一切实数.
（4）自变量 y 的取值范围是 0y ? 的一切实数。
练习一、
1.如果函数
2 2( 1) my m x ?? ? 为反比例函数，则m的值是
2.函数
2 2 9( 2) m my m x ? ?? ? 是反比例函数，则m的值是
二、反比例解析式
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
①设所求的反比例函数为：
x
ky ? （ 0k ? ）；
②根据已知条件，列出含 k 的方程；
③解出待定系数 k 的值；
④把 k值代入函数关系式
x
ky ? 中。
练习二、已知 y -2 与 x成反比例，当 x =3 时， y =1，则 y与 x间的函数关系式为 学.科
三、反比例图像及性质：
x
ky ? )0k( ?
（1）其图象的位置是：
当 0k ? 时，x、y 同号，图象在第一、三象限；
当 0k ? 时，x、y 异号，图象在第二、四象限。
图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．
2
（2）若点(m,n)在反比例函数
x
ky ? 的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。
（3）当 0k ? 时，在每个象限内，y 随 x的增大而减小；
当 0k ? 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大；
图 像
k>0 k<0
性 质
1．图像在第一、三象限；
2．每个象限内，函数 y 的值随 x
的增大而减小．
1．图像在第二、四象限；
2．在每个象限内，函数 y 值随
x的增大而增大．
练习三、
1.如图，函数 y＝
k
x
与 y＝-kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图像大致为（ ）
2. 已知（x1, y1）,（x2, y2）,（x3, y3）是反比例函数 x
y 4?? 的图象上的三个点,且 x1＜x2＜0，x3＞0,则 y1,y2,y3
的大小关系是( )
A. y3＜y1＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y1＜y2＜y3 D. y3＜y2＜y1
3.矩形面积为 4，它的长 y与宽 x之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
四、
五、k 值意义
设点 P（a，b）是双曲线 y=
x
k
上任意一点，作 PA⊥x 轴于 A点，PB⊥y轴于 B 点，则矩形 PBOA 的面积是|k|（三
角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是）．
由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QC⊥PA 的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积
为 ．
3
练习四、1.如图，点 A 是反比例函数 y= （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 y=﹣ 的图象于
点 B，以 AB 为边作? ABCD，其中 C、D在 x轴上，则 S□ABCD为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
2．如图，矩形 AOCB 的两边 OC，OA 分别位于 x 轴，y轴上，点 B 的坐标为 B（－
3
20
，5），D是 AB 边上的一点，
将△ADO 沿直线 OD 翻折，使 A点恰好落在对角线 OB 上的点 E处，若点 E在一反比例函数的图像上，那么该函数
的解析式是______．
3.反比例函数
x
ky ? （k?0）在第一象限内的图象，P 为该图象上任一点，PQ⊥x 轴，设△POQ 的面积为 S，则 S
与 k 之间的关系是（ ）
A．
4
kS ? B．
2
kS ? C．S=k D．S?k
图 1 图 2 图 3
5、为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y
（毫克）与时间 x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图所示），现测得药物 8 分钟燃毕，此
时室内空气中每立方米的含药量为 6 毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：
①药物燃烧时 y关于 x 的函数关系式为___________，自变量 x 的取值范围是_______________；药物燃烧后 y 关于
x的函数关系式为_________________．
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______
分钟后，学生才能回到教室；
③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，
那么此次消毒是否有效？为什么？
4
反比例存在性问题
类型一：反比例函数中等腰三角形找点问题
1、如图，已知反比例函数
x
ky ? （k＜0）的图象经过点 A（— 3，m）点 A 作 AB⊥x轴于点 B，且△AOB 的面
积为 3 .（1）求 k 和 m 的值；（2）若一次函数 y=ax+1 的图象经过点 A，并且与 x 轴相交于点 C，求|AO|：|AC|
的值；（3）若 D 为坐标轴上一点，使△AOD是以 AO 为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的 D点的坐标．
2、 已知：如图，一次函数 y=-2x 的图象与反比例函数 y=
x
k
的图象交于 A、B 两点，且点 B 的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数 y=
x
k
的表达式；
（2）点 C（n，1）在反比例函数 y=
x
k
的图象上，求△AOC 的面积；
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上找出一点 P，使△APC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐
标．
5
类型二：反比例函数中直角三角形找点问题
1、如图，正比例函数 y＝
2
1
x 与反比例函数 y＝
x
k
的图象相交于 A、B 两点，过 B 作 BC⊥x 轴，垂足为 C，且△BOC
的面积等于 4．（1）求 k 的值；（2）求 A、B 两点的坐标；（3）在 x轴的正半轴上是否存在一点 P，使得△POA 为
直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三：反比例函数中平行四边形找点问题
1、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点 O 是坐标原点，点 A 坐标为（1，3），A、B 两点关于直线 y=x 对
称，反比例函数 y=
x
k
（x＞0）图象经过点 A，点 P 是直线 y=x 上一动点．
（1）B 点的坐标为 ；
（2）若点 C 是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点 C，使得以 A、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，求出点 C 坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点 Q 是线段 OP 上一点（Q 不与 O、P 重合），当四边形 AOBP 为菱形时，过点 Q 分别作直线 OA 和直线
AP 的垂线，垂足分别为 E、F，当 QE+QF+QB 的值最小时，求出 Q 点坐标．
6
2、如图，把一块等腰直角三角板 ABC 放在平面直角坐标系的第二象限内，若∠A=90°，AB=AC，且 A、B 两点的
坐标分别为（-4，0）、（0，2）．（1）求点 C 的坐标；（2）将△ABC 沿 x 轴的正方向平移 m 个单位长度至第一象限
内的△DEF 位置，若 B、C 两点的对应点 E、F 都在反比例函数 y=
x
k
的图象上，求 m、k的值和直线 EF 的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线 EF 交 y 轴于点 G，问是否存在 x轴上的点 M 和反比例函数图象上的点 P，使得四
边形 PGMF 是平行四边形？若存在，求出点 M 和点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，四边形 OABC 为矩形，以点 O 为原点建立直角坐标系，点 C 在 x轴的正半轴上，点 A 在 y 轴的正半轴
上，已知点 B 为（2，4），反比例函数 y=
x
m
图象经过 AB 的中点 D，且与 BC 交于点 E．（1）求 m 的值和点 E 的
坐标；（2）求直线 DE 的解析式；（3）点 Q 为 x轴上一点，点 P 为反比例函数 y=
x
m
图象上一点，是否存在点 P、
Q，使得以 P、Q、D、E 为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理
由．
7
3、已知一次函数 y1=ax+b 的图象与反比例函数 y2=
x
k
的图象相交于 A、B 两点，坐标分别为（-2，4）、（4，-2）．（1）
求两个函数的解析式；（2）结合图象写出 y1＜y2 时，x的取值范围；（3）求△AOB 的面积；
（4）是否存在一点 P，使以点 A﹑B﹑O﹑P 为顶点的四边形为菱形？若存在，求出顶点 P 的坐标；若不存在，请
说明理由．
4、 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=
x
m
（x＞0）的图象交于点 P（n，2），与 x 轴交于点 A（-4，
0），与 y 轴交于点 C，PB⊥x 轴于点 B，且 AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，说明
理由．
8
5、 已知，如图，菱形 ABCD 的一边 BC 在 x轴上，且 C 点坐标为（-1，0），D 点坐标（0， 3）．反比例函数 y=
x
k
过菱形的顶点 A．（1）求反比例函数的解析式；（2）若 P 为反比例函数在第四象限的图象上一点，点 Q 在 x 轴上，
问是否存在点 P、Q，使得四边形 CDQP 为矩形？若存在，求出 P 和 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
类型四：反比例函数中图形等面积问题
例 1、如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y＝
x
k
的图象交于 C，D 两点，与坐标轴交于 A、B 两点，连
接 OC，OD（O 是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和 m 的值；②当 x＞0 时，双曲线上是
否存在一点 P，使得△POC 和△POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
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2、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 M（-2，-1），且 P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐
标平面上一动点，PA垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，
请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
类型五：反比例函数中图形 面积倍分问题
1、如图，M 点是正比例函数 y=kx 和反比例函数 y＝
x
m
的图象的一个交点．（1）求这两个函数的解析式；（2）
在反比例函数 y＝
x
m
的图象上取一点 P，过点 P 做 PA垂直于 x 轴，垂足为 A，点 Q 是直线 MO 上一点，QB 垂直
于 y 轴，垂足为 B，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得△OBQ 的面积是△OPA的面积的 2 倍？如果存在，请
求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
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2、如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x轴交于点 B，与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y＝x
m
的图象在
第二象限交于点 C，CE⊥x 轴，垂足为点 E，tan∠ABO＝
1
2
，OB＝4,OE＝2．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 D作 DF⊥y轴，垂足为点 F，连接 OD、BF，如果 S△BAF＝4S△DFO，
求点 D 的坐标.
类型六：反比例函数中相似三角形存在性问题
1、如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y=
x
k
的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，
已知 OA= 10 ，tan∠AOC=
3
1
，点 B 的坐标为（m，-2）．（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；（3）在 y 轴上存在一点 P，使得△PDC 与△ODC 相似，请你求出 P 点的坐标．
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反比例函数综合
1．如图，直线 AB经过第一象限，分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，P为线段 AB上任意一点（不与 A、B重合），
过点 P分别向 x轴、y轴作垂线，垂足分别为 C、D．设 OC＝x，四边形 OCPD的面积为 S．
（1）若已知 A（4，0），B（0，6），求 S与 x之间的函数关系式；
（2）若已知 A（a，0），B（0，b），且当 x＝ 3
4
时，S有最大值 9
8
，求 a、b的值；
（3）在（2）的条件下，在直线 AB上有一点 M，且点 M到 x轴、y轴的距离相等，点 N在过 M点的反比例函
数图象上，且△OAN是直角三角形，求点 N的坐标．
2．如图，直角梯形 OABC的腰 OC在 y轴的正半轴上，点 A（5n，0）在 x轴的负半轴上，OA :AB :OC＝5 : 5 : 3．点
D是线段 OC上一点，且 OD＝BD．
（1）若直线 y＝kx＋m（k≠0）过 B、D两点，求 k的值；
（2）在（1）的条件下，反比例函数 y＝ m
x
的图象经过点 B．
①求证：反比例函数 y＝ m
x
的图象与直线 AB必有两个不同的交点；
②设反比例函数 y＝ m
x
的图象与直线 AB的另一个交点为 E，已知点 P（p，－n－1），Q（q，－n－2）在
线段 AB上，当点 E落在线段 PQ上时，求 n的取值范围．
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3．已知点 P（m，n）是反比例函数 y＝ 6
x
（x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数 y
＝
3
x
（x＞0）的图象于点 A、B，点 C是直线 y＝2x上的一点．
（1）请用含 m的代数式分别表示 P、A、B三点的坐标；
（2）在点 P运动过程中，连接 AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，说明理由；
（3）在点 P运动过程中，以点 P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出此时 m的值；若
不能，请说明理由．
4．如图，已知一次函数 y1＝kx＋b的图象与 x轴相交于点 A，与反比例函数 y2＝ c
x
的图象相交于 B（－1，5）、
C（ 5
2
，d）两点．点 P（m，n）是一次函数 y1＝kx＋b的图象上的动点．
（1）求 k、b的值；
（2）设－1＜m ＜ 3
2
，过点 P作 x轴的平行线与函数 y2＝ c
x
的图象相交于点 D．试问△PAD的面积是否存在
最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设 m＝1－a，如果在两个实数 m与 n之间（不包括 m和 n）有且只有一个整数，求实数 a的取值范围．
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5．如图，双曲线 y＝ 3
16x
（x＞0）与过 A（1，0）、B（0，1）的直线交于 P、Q两点，连接 OP、OQ．点 C是
线段 OA上一点（不与 O、A重合），CD⊥AB于 D，DE⊥OB于 E．设 CA＝a．
（1）求证：△OAQ≌△OBP；
（2）当 a为何值时，CE＝AC？
（3）是否存在这样的点 C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点 C的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，已知双曲线 y＝ k
x
经过点 D（6，1），点 C是双曲线第三象限分支上的动点，过 C作 CA⊥x轴，过 D
作 DB⊥y轴，垂足分别为 A，B，连接 AB，BC．
（1）求 k的值；
（2）若△BCD的面积为 12，求直线 CD的解析式；
（3）判断 AB与 CD的位置关系，并说明理由．
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7．如图，正方形 AOCB的边长为 4，反比例函数的图象过点 E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段 BC交于点 D，直线 y＝－ 1
2
x＋b过点 D，与线段 AB相交于点 F，求 F的坐标；
（3）连接 OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
（4）若点 P是 x轴上的动点，点 Q是（1）中的反比例在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三
角形，直接写出点 P的坐标．
8．如图，反比例函数 y＝ k
x
的图象经过点 A（a，b）且| a＋2 3|＋( b－2 3)2＝0，直线 y＝2x－2与 x轴交于点
B，与 y轴交于点 C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将线段 BC绕坐标平面内的某点 M旋转 180° 后 B、C两点恰好都落在反比例函数的图象上，求点 M的坐标；
（3）在反比例函数的图象上是否存在点 P，使以 PB为直径的圆恰好过点 C？若存在，求点 P的坐标，若不存在，
请说明理由．
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9．如图，在平面直角坐标系 xOy中，梯形 AOBC的边 OB在 x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点 A的双
曲线 y＝ k
x
的一支在第一象限交梯形对角线 OC于点 D，交边 BC于点 E．
（1）填空：双曲线的另一支在第_________象限，k的取值范围是_______________；
（2）若点 C的坐标为（2，2），当点 E在什么位置时，阴影部分面积 S最小？
（3）若 OD
OC
＝
1
2
，S△OAC ＝2，求双曲线的解析式．
10．已知点 A（1，c）和点 B（3，d）是直线 y＝k1x＋b与双曲线 y＝ k2
x
（k2＞0）的交点．
（1）过点 A作 AM⊥x轴，垂足为 M，连接 BM．若 AM＝BM，求点 B的坐标；
（2）设点 P在线段 AB上，过点 P作 PE⊥x轴，垂足为 E，并交双曲线 y＝ k2
x
（k2＞0）于点 N．当 PN
NE
取最
大值时，有 PN＝ 1
2
，求此时双曲线的解析式．
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11．已知点 A是双曲线 y＝ k1
x
（k1＞0）上一点，点 A的横坐标为 1，过点 A作平行于 y轴的直线，与 x轴交于
点 B，与双曲线 y＝ k2
x
（k2＜0）交于点 C．点 D（m，0）是 x轴上一点，且位于直线 AC右侧，E是 AD的中点．
（1）如图 1，当 m＝4时，求△ACD的面积（用含 k1、k2的代数式表示）；
（2）如图 2，若点 E恰好在双曲线 y＝ k1
x
（k1＞0）上，求 m的值；
（3）如图 3，设线段 EB的延长线与 y轴的负半轴交于点 F，当 m＝2时，若△BDF的面积为 1，且 CF∥AD，
求 k1的值，并直接写出线段 CF的长．