2018-2019学年陕西省渭南市华阴市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2018-2019学年陕西省渭南市华阴市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．直线的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．135°
2．将根式（a≠0）化为分数指数幂是（　　）
A． B． C． D．﹣
3．函数f（x）＝loga（x+1）恒过定点（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，0） C． D．（﹣1，0）
4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′＝O′B′＝2，∠A′O′B′＝45°，则△OAB的面积是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．函数f（x）＝log2x+x﹣2的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
6．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是奇函数，则在（0，+∞）上是增函数
B．f（x）是偶函数，则在（0，+∞）上是减函数
C．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
7．已知集合A＝{x|0＜x≤6}，B＝{x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．正方体的棱长为2，且它的8个顶点都在同一球面上，则球的表面积是（　　）
A．16π B．8π C．4π D．12π
9．函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．设函数若f（a）＝a，则实数a的值为（　　）
A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2
11．已知圆C1：（x+1）2+（y+1）2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，A、B分别是圆C1和圆C2上的动点，则|AB|的最大值为（　　）
A． B． C． D．
12．某宾馆有n（n∈N*）间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：
每间客房的定价 220元 200元 180元 160元
每天的住房率 50% 60% 70% 75%
对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为（　　）
A．220元 B．200元 C．180元 D．160元
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的定义域为　 　．
14．若直线ax﹣5y﹣9＝0与直线2x﹣3y﹣10＝0平行，则实数a的值为　 　．
15．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为　 　．

16．设函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）＝0，则不等式的解集为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．
（1）求AB边所在的直线方程；
（2）求AB边的高所在直线方程．
18．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）＝ax2+bx，f（2）＝0．
（1）若方程f（x）﹣x＝0有唯一实数根，求函数f（x）的解析式；
（2）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面四边形ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M是PC的中点．
（1）证明：BM∥平面PAD；
（2）若PB＝BC且平面PBC⊥平面PDC，证明：PA＝AD．

20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AB的中点，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若AB＝CB＝2，OA1⊥OC，求三棱锥A1﹣ABC的体积．

21．已知函数f（x）＝loga（x+2）﹣1（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f（6）＝2，求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）若f（x）在[1，2]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．
22．已知圆O以原点为圆心且与直线y＝﹣x+2相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l：y＝x+2与圆O交于A、B两点，过A、B两点分别作直线l的垂线交x轴于C、D两点，求线段CD的长．



2018-2019学年陕西省渭南市华阴市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．直线的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．
∴tanθ＝1，解得θ＝45°．
故选：B．
2．将根式（a≠0）化为分数指数幂是（　　）
A． B． C． D．﹣
【解答】解：根式化为分数指数幂是，
故选：A．
3．函数f（x）＝loga（x+1）恒过定点（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，0） C． D．（﹣1，0）
【解答】解：由题意，令x+1＝1可得x＝0，带入可得y＝0，可得恒过定点（0，0）．
故选：B．
4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′＝O′B′＝2，∠A′O′B′＝45°，则△OAB的面积是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，
△O′A′B′中，O′A′＝O′B′＝2，∠A′O′B′＝45°，
则其面积S′＝×2×2×sin∠A′O′B′＝×2×2×＝，
又由＝，则S＝＝4；
故选：C．
5．函数f（x）＝log2x+x﹣2的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解答】解：函数f（x）＝log2x+x﹣2在（0，+∞）上连续，
f（1）＝0+1﹣2＜0；
f（2）＝1+2﹣2＞0；
故函数f（x）＝log2x+x﹣2的零点所在的区间是（1，2）；
故选：B．
6．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是奇函数，则在（0，+∞）上是增函数
B．f（x）是偶函数，则在（0，+∞）上是减函数
C．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
【解答】解：∵幂函数y＝xα的图象过点（2，），
∴＝2α，解得α＝，
故f（x）＝，
故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，
故选：C．
7．已知集合A＝{x|0＜x≤6}，B＝{x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：集合A＝{x|0＜x≤6}，
B＝{x∈N|2x＜33}＝{0，1，2，3，4，5}，
则集合A∩B＝{1，2，3，4，5}，
其元素个数为5，
故选：B．
8．正方体的棱长为2，且它的8个顶点都在同一球面上，则球的表面积是（　　）
A．16π B．8π C．4π D．12π
【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，
∴2R＝＝2，
∴R＝，
∴S＝4πR2＝12π．
故选：D．
9．函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：法一：由题设知 y＝，
又a＞1．由指数函数图象易知答案为B．
法二：因y＝a|x|是偶函数，又a＞1．
所以a|x|≥1，排除AC．当x≥0，y＝ax，由指数函数图象知选B．
故选：B．
10．设函数若f（a）＝a，则实数a的值为（　　）
A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2
【解答】解：由题意知，f（a）＝a；
当a≥0时，有，解得a＝﹣2，（不满足条件，舍去）；
当a＜0时，有，解得a＝1（不满足条件，舍去）或a＝﹣1．
所以实数a 的值是：a＝﹣1．
故选：B．
11．已知圆C1：（x+1）2+（y+1）2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，A、B分别是圆C1和圆C2上的动点，则|AB|的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：圆的圆心为（﹣1，﹣1），半径为1，
圆的圆心为（3，4），半径为3，
则圆心距为d＝＝＞1+3，
∴两圆外离，
∴圆C1和圆C2上的两点|AB|的最大值为d+r1+r2＝+4．
故选：A．
12．某宾馆有n（n∈N*）间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：
每间客房的定价 220元 200元 180元 160元
每天的住房率 50% 60% 70% 75%
对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为（　　）
A．220元 B．200元 C．180元 D．160元
【解答】解：A、当每间客房的定价为220元时，有客住的房间数为，则住房利润为（220﹣80）×﹣40×＝50n；
B、当每间客房的定价为220元时，有客住的房间数为0.6n，则住房利润为（200﹣80）×0.6n﹣40×0.4n＝56n；
C、当每间客房的定价为180元时，有客住的房间数为0.7n，则住房利润为（180﹣80）×0.7n﹣40×0.3n＝58n；
D、当每间客房的定价为160元时，有客住的房间数为0.75n，则住房利润为（160﹣80）×0.75n﹣40×0.25n＝50n；
综上，当每间客房的定价为180元时，宾馆每天的住房利润最高．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的定义域为　（0，1]　．
【解答】解：要使函数有意义则
由 ?0＜x≤1
故答案为：（0，1]．
14．若直线ax﹣5y﹣9＝0与直线2x﹣3y﹣10＝0平行，则实数a的值为　　．
【解答】解：根据题意，若直线ax﹣5y﹣9＝0与直线2x﹣3y﹣10＝0平行，
则有a×（﹣3）＝2×（﹣5），
解可得：a＝；
故答案为：．
15．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为　6π　．

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

可知该几何体为半圆锥，圆锥底面半径为3，高为4．
∴该几何体的体积V＝．
故答案为：6π．
16．设函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）＝0，则不等式的解集为　[﹣1，0）∪（0，1]　．
【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x）（x∈R），
∴f（x）﹣f（﹣x）＝f（x）+f（x）＝2f（x），
因此，不等式等价于，
化简得或，
①当x＞0时，由于在（0，+∞）上f（x）为增函数且f（1）＝0，
∴由不等式f（x）≤0＝f（1），得0＜x≤1；
②当x＜0时，﹣x＞0，
不等式f（x）≥0化成﹣f（x）≤0，即f（﹣x）≤0＝f（1），
解之得﹣x≤1，即﹣1≤x＜0．
综上所述，原不等式的解集为[﹣1，0）∪（0，1]．
故答案为：[﹣1，0）∪（0，1]
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．
（1）求AB边所在的直线方程；
（2）求AB边的高所在直线方程．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1），
∴由两点式方程可得＝，
化为一般式可得6x﹣y+11＝0
（2）∵直线AB的斜率为＝6，
∴由垂直关系可得AB边高线的斜率为﹣，
故方程为：y﹣3＝﹣（x﹣4），
化为一般式可得x+6y﹣22＝0
18．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）＝ax2+bx，f（2）＝0．
（1）若方程f（x）﹣x＝0有唯一实数根，求函数f（x）的解析式；
（2）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）∵f（2）＝0，∴4a+2b＝0，即b＝﹣2a，
∴f（x）＝ax2﹣2ax．
∵方程f（x）﹣x＝0有唯一实数根，
即方程ax2﹣（2a+1）x＝0有唯一解，
∴（2a+1）2＝0，解得a＝﹣．
∴f（x）＝﹣x2+x．
（2）当a＝1，f（x）＝x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，
∴f（x）在[﹣1，1]单调递减，在[1，2]单调递增，
∴f（x）的最大值为f（﹣1）＝3，最小值为f（1）＝﹣1．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面四边形ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M是PC的中点．
（1）证明：BM∥平面PAD；
（2）若PB＝BC且平面PBC⊥平面PDC，证明：PA＝AD．

【解答】解：（1）取PD的中点F，连接AF，MF，
则由已知得，
∴四边形ABMF时平行四边形．
∴AF∥BM，又BM?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（2）证明：由PB＝BC，PM＝MC，
∴BM⊥PC，
∵平面PBC⊥平面PDC，∴BM⊥平面PDC，BM⊥PD，
∵AF∥BM，
∴AF⊥PD，又PF＝FD，
∴PA＝AD．

20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AB的中点，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若AB＝CB＝2，OA1⊥OC，求三棱锥A1﹣ABC的体积．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AB的中点，CA＝CB，AB＝AA1，
∴CO⊥AB，A1O⊥AB，
∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面A1OC．
（Ⅱ）解：AB＝CB＝2，∠BAA1＝60°，OA1⊥OC，
又AB⊥平面A1OC．∴A1O⊥平面ABC，
∴三棱锥A1﹣ABC的体积：
＝＝×＝1．

21．已知函数f（x）＝loga（x+2）﹣1（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f（6）＝2，求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）若f（x）在[1，2]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝loga（x+2）﹣1（a＞0且a≠1），
f（6）＝2，即loga（6+2）﹣1＝2，
∴loga8＝3，
即a3＝8，∴a＝2，
∴f（x）＝log2（x+2）﹣1，
令f（x）＝0，
即log2（x+2）﹣1＝0，
∴x+2＝2，∴x＝0，
即f（x）的零点为x＝0；
（Ⅱ）∵无论a＞1或0＜a＜1，
f（x）均为单调函数，
∴最值均在区间端点取得，
∵f（x）在x∈[1，2]上的最大值与最小值互为相反数，
∴f（1）+f（2）＝0，
即loga3﹣1+loga4﹣1＝0，
∴loga12＝2，
∴a2＝12，
∴a＝，
又∵a＞0且a≠1，
∴a＝2．
22．已知圆O以原点为圆心且与直线y＝﹣x+2相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l：y＝x+2与圆O交于A、B两点，过A、B两点分别作直线l的垂线交x轴于C、D两点，求线段CD的长．
【解答】解：（1）把直线y＝﹣x+2化为一般式，则x+y﹣2＝0，
O（0，0）到直线x+y﹣2＝0的距离为，
∴圆O的半径为r＝2，
∴圆O的方程为x2+y2＝4；
（2）点O到直线y＝x+2的距离为d＝＝，
圆O的半径为2，
∴弦AB＝2＝2．
过C点作CE⊥BD垂足为E，
∴CE＝AB＝2．
又∵y＝x+2的倾斜角为30°，
∴∠ECD＝30°．
∴＝．
∴线段CD的长为．