2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷
一、填空题
1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为　 　．
2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为　 　．
3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝　 　．
4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝　 　．
5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为　 　．
6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是　 　．
7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝　 　．
8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝　 　（用、的线性组合表示）

9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作AT，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（MT）T＝M；（2）（M+N）T＝MT+NT；（3）（MN）T＝MTNT；（4）“M＝”是“MT＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为　 　．
10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为　 　．
11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为　 　．
12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为　 　，的最大值为　 　．

二.选择题
13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（　　）
A．＝（0，0），＝（1，2）
B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）
C．＝（3，5），＝（6，10）
D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）
15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记?+?＝m，?+?＝n，则（　　）

A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝1
C．m＝2，n＝6 D．m＝3n，但m，n的值不确定
三、解答题（共4小题，满分0分）
17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．
18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）?（2+）＝61．
（1）求与的夹角θ；
（2）若，且＝0，求t及||
19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．
（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；
（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．

20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．
（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；
（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；
（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．



2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为　arctan2　．
【解答】解：因为直线2x﹣y+3＝0的斜率为k＝﹣＝2，设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，所以θ＝arctan2，
故填：arctan2．
2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为　﹣6　．
【解答】解：行列式中元素0所对应的代数余子式的值为：
（﹣1）5?＝﹣6．
故答案为：﹣6．
3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝　﹣2　．
【解答】解：直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1?（）＝﹣1，所以a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝　1　．
【解答】解：；
∵；
∴；
∴x＝1．
故答案为：1．
5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为　2x+3y+3＝0　．
【解答】解：根据题意，要求直线的方向向量为＝（﹣3，2），设其方程为2x+3y+m＝0，
圆x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，其圆心为（0，﹣1），
若要求直线平分圆，则圆心在要求直线上，则有2×0+3×（﹣1）+3＝0，解可得m＝3，
则要求直线的方程为2x+3y+3＝0；
故答案为：2x+3y+3＝0．
6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是　3x+4y+＝0　．
【解答】解：联立直线的方程，得到两直线的交点坐标为（﹣，），平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+c＝0，则3（﹣）+4×+c＝0，
解得c＝，所以直线方程为3x+4y+＝0．
故填：3x+4y+＝0．
7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝　3　．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣1＝0的圆心为（﹣2，0），
若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则有，
解可得a＝1，b＝2；
则a+b＝3；
故答案为：3．
8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝　　（用、的线性组合表示）

【解答】解：∵E为AD的中点，，
∴＝
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作AT，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（MT）T＝M；（2）（M+N）T＝MT+NT；（3）（MN）T＝MTNT；（4）“M＝”是“MT＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为　（1）（2）（4）　．
【解答】解：对于（1），设M＝，则MT＝，（MT）T＝，所以（MT）T＝M，（1）正确；
对于（2），设M＝，N＝，则M+N＝，∴（M+N）T＝；
MT＝，NT＝，则MT+NT＝，∴（M+N）T＝MT+NT，（2）正确；
对于（3），设M＝，N＝，则MN＝，∴（MN）T＝；
MT＝，NT＝，则MTNT＝，∴（MN）T≠MTNT，（3）错误；
对于（4），M＝时，MT＝，充分性成立，
MT＝M时，M不一定为，如M＝，即必要性不成立，是充分不必要条件，（4）正确．
综上，其中真命题的序号是（1）、（2）、（4）．
故答案为：（1）、（2）、（4）．
10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为　3　．
【解答】解：设A（a，2a），a＞0，
∵B（5，0），∴C（，a），
则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．
联立，解得D（1，2）．
∴＝．
解得：a＝3或a＝﹣1．
又a＞0，∴a＝3．
即A的横坐标为3．
故答案为：3．
11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为　　．
【解答】解：设l：y＝k（x﹣2）+1，要它与y＝x（x＞0）相交，则k＞1或k＜0．
令y＝0，可得：M（2﹣，0），
令y＝x，得Q．
∴|MP|＝，|PQ|＝．
∴u＝＝．
于是u2＝＝g（k），k＞1或k＜0．
g′（k）＝，
可得：k＝﹣2，函数g（k）取得极大值，g（﹣2）＝5．
∴umax＝．此时M（﹣，0）．
故答案为：．
12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为　　，的最大值为　　．

【解答】解：如图，
设，
则，，，
∴AB＝6，，AC＝，
又，
∴A，O，B，C四点共圆，
在△ABC中，由正弦定理得，即，
∴sin∠ABC＝，则．
由同弧所对圆周角相等，可得，
即与的夹角为；
设∠OAC＝θ，则，
在△AOC中，由正弦定理得：，
∴OC＝，，
∴＝＝
＝64×＝64×（）
＝64×（）＝64×（）
＝64[]．
∴当，即时，有最大值为．
故答案为：，．

二.选择题
13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【解答】解：圆的方程可化为：，故若D2＝4F且E≠0，则圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，
若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，则D2＝4F且E≠0，
综上“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的充要条件．
故选：C．
14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（　　）
A．＝（0，0），＝（1，2）
B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）
C．＝（3，5），＝（6，10）
D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）
【解答】解：根据，
选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则 3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；
选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．
选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C不能．
选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．
故选：B．
15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x+z，
由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，
此时z最大，此时2x+y＝9．
由，解得，即B（4，1），
∵B在直线y＝m上，
∴m＝1，
故选：A．

16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记?+?＝m，?+?＝n，则（　　）

A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝1
C．m＝2，n＝6 D．m＝3n，但m，n的值不确定
【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，
∴m＝?+?＝＝＝＝＝2；
∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，
∴n＝?+?＝+＝＝＝6．
故选：C．
三、解答题（共4小题，满分0分）
17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．
【解答】解：对于增广矩阵，
当m＝2时，矩阵化为，此时方程组有无数个解；
当m＝﹣2时，矩阵化为，此时方程组无解；
当m≠±2，矩阵第二行有，（2+m）（2﹣m）?y＝（m+1）（2﹣m），得进第一行得，
综上所述，当m＝2时，方程有无数个解；当m＝﹣2时，方程组无解；当m≠±2时，，．
18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）?（2+）＝61．
（1）求与的夹角θ；
（2）若，且＝0，求t及||
【解答】解 （1）∵||＝4，||＝3，（2﹣3）?（2+）＝61，
∴?＝﹣6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴cos θ＝＝＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又0≤θ≤π，∴θ＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）＝（）＝t+（1﹣t）＝﹣15t+9＝0
∴t＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴||2＝（+）2＝，∴||＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．
（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；
（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．

【解答】解：（Ⅰ）直线l1：y＝2，
设l1交l于D，则D（2，2）．
∵l的倾斜角为30°，
∴l2的倾斜角为60°，…
∴，
∴反射光线l2所在的直线方程为y﹣2＝（x﹣2）．
即．…
已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），
∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，
∴①…
又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，
∴②，
由①②得，
圆C的半径r＝3．
故所求圆C的方程为． …
（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），
则，…
得．
固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，
故PB+PQ的最小值为为B'C﹣3． …
，
得，
最小值． …（16分）
20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．
（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；
（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；
（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．
【解答】解（1）因为若△ABC为直角三角形，c为斜边长，所以a2+b2＝c2，
直线l与圆M相切，所以圆心（a，b）到直线ax+by+c＝0的距离为c，即，所以，即c2﹣c＝±c2，得c＝，或者c＝0（舍）．
（2）若△ABC为正三角形，若△ABC为正三角形，则此时圆是以{c，c}为圆心，c为半径的圆，直线方程为x+y+1＝0，
设圆心（c，c）到直线的距离为d，则d＝，
要使直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，需满足同时成立，
即，解得c≥．
（3）依题意S＝+++，因为三角形的两边之和大于第三边，所以S可化为：S＝，
∵c＜a+b，，
∴S≤＝4，
下面求S的最小值，从几何意义上看，S代表（1，1）到直线l的距离的二倍，
而直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为﹣，
三边中若c为最大值，则直线l在两坐标轴上的截距均小于﹣1，此时（1，1）到直线l的最小距离大于2，即S＞4．
若c不是最大值，不妨设a为最大值，则S＝＞＝＝2．
综上2＜S＜．