2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷（解析版）

2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷
一.填空题
1．函数y＝的定义域为　 　．
2．已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，{x|x2﹣3x＜0，x∈R}，则A∩B＝　 　．
3．当x＞0时，函数f（x）＝x+x﹣1的值域为　 　．
4．设U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}，B＝{﹣3，3，4}，则A∩?UB＝　 　．
5．已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为　 　．
6．满足条件{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}的所有集合A的个数是　 　个．
7．已知不等式的解集为A，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围是　 　．
8．若函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为　 　．
9．已知a、b是常数，且ab≠0，若函数的最大值为10，则f（x）的最小值为　 　．
10．设正实数a、b满足3a+ab+b＝24，那么的最小值为　 　．
11．已知函数f（x）＝，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是　 　．
12．若方程ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，则实数a的取值范围为　 　．
二.选择题
13．下列命题中，正确的是（　　）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＜b﹣d
D．如果ac2＞bc2，那么a＞b
14．设p：0＜x＜5，q：|x﹣2|＜3，那么p是q的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
15．非空集合A、B满足，A∩B＝?，P＝{x|x?A}，Q＝{x|x?B}，则下列关系一定成立的是（　　）
A．A∪B＝P∪Q B．P∩Q＝? C．P∩Q＝{?} D．A∪B?P∪Q
16．已知函数y＝f（x+1）为偶函数，则下列关系一定成立的是（　　）
A．f（x）＝f（﹣x） B．f（x+1）＝f（﹣x+1）
C．f（x+1）＝f（﹣x﹣1） D．f（﹣x+1）＝f（x）
三.解答题
17．已知集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0，x∈R}．
（1）求集合A；
（2）若B∩（?UA）＝B，求实数a的取值范围．
18．己知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．
（1）若a＝1，b＝2，求不等式f（x）≤5的解；
（2）对任意a＞0，b＞0，试确定函数y＝f（x）的最小值M（用含a，b的代数式表示），若正数a、b满足a+4b＝2ab，则a、b分别取何值时，M有最小值，并求出此最小值．
19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
20．已知函数f（x）＝（a＞0），且满足f（）＝1．
（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）设函数g（x）＝，求g（x）在区间[]上的最大值；
（3）若存在实数m，使得关于x的方程2（x﹣a）2﹣x|x﹣a|+2mx2＝0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．
21．已知函数f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m．
（1）求证：函数f（x）﹣g（x）必有零点；
（2）设函数G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1．
①若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
②是否存在整数a、b，以及实数m，使得不等式a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．



2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．函数y＝的定义域为　（0，+∞）　．
【解答】解：要使函数有意义，则需
x≥0且x≠0，
即x＞0，
则定义域为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
2．已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，{x|x2﹣3x＜0，x∈R}，则A∩B＝　（0，2）　．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，
∴A∩B＝（0，2）．
故答案为：（0，2）．
3．当x＞0时，函数f（x）＝x+x﹣1的值域为　[2，+∞）　．
【解答】解：∵x＞0，
∴f（x）＝x+x﹣1＝x+．
当且仅当x＝1时，上式“＝”成立．
∴函数f（x）＝x+x﹣1的值域为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
4．设U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}，B＝{﹣3，3，4}，则A∩?UB＝　{5}　．
【解答】解：∵U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}＝{﹣5，﹣4，﹣3，3，4，5}，
A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}＝{﹣3，5}，B＝{﹣3，3，4}，
∴?UB＝{﹣5，﹣4，5}，
∴A∩?UB＝{5}．
故答案为：{5}．
5．已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为　{0，﹣1，2}　．
【解答】解：∵A∪B＝A，
∴B?A，
∴①B＝?时，a＝0；
②B≠?时，，则或，解得a＝﹣1或2，
∴实数a值集合为{0，﹣1，2}．
故答案为：{0，﹣1，2}．
6．满足条件{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}的所有集合A的个数是　16　个．
【解答】解：∵{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}，
∴集合A一定含元素9，可能含元素1，3，5，7，
∴集合A的个数为24＝16个．
故答案为：16．
7．已知不等式的解集为A，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围是　　．
【解答】解：因为的解集为A，且2∈A，3?A，
所以≤0，①
＞0，②
3+2a＝0，③
解①得：a＜﹣1．
解②得：a＞﹣，
解③得：a＝﹣，
故实数a的取值范围为．
故答案是：．
8．若函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为　a＞1　．
【解答】解：∵函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，
∴f（﹣x）＝f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），
又，∴a≥1．
a＝1，函数f（x）＝+为偶函数且奇函数，
故答案为：a＞1．
9．已知a、b是常数，且ab≠0，若函数的最大值为10，则f（x）的最小值为　﹣4　．
【解答】解：函数定义域为[﹣1，1]，设g（x）＝为奇函数，
f（x）max＝g（x）max+3＝10，所以g（x）min＝﹣g（x）max＝﹣7，
所以f（x）min＝﹣7+3＝﹣4，
故答案为：﹣4．
10．设正实数a、b满足3a+ab+b＝24，那么的最小值为　　．
【解答】解：因为a，b为正数，满足3a+ab+b＝24，
所以24＝3a+b+ab≥2+ab；
令＝t，t＞0，
则t2+2t﹣24≤0；
解得0＜t≤2，即0＜ab≤12，
所以，；
所以的最小值为．
故答案为：．
11．已知函数f（x）＝，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是　[0，4]　．
【解答】解：若f（0）为f（x）的最小值，
则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，
则a≥0，
当x＞0时，函数f（x）＝的最小值4+3a≥f（0），
即4+3a≥a2，
解得：﹣1≤a≤4，
综上所述实数a的取值范围是[0，4]，
故答案为：[0，4]
12．若方程ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，则实数a的取值范围为　（﹣3，1]　．
【解答】解：设f（x）＝ax2﹣（4﹣a2）x+2，
若a＝0时，f（x）＝0，得x＝成立，

若a≠0，ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，因为f（0）＝2＞0，所以只需f（2）＝4a﹣2（4﹣a2）+2≤0，
则a2+2a﹣3≤0，得a∈[﹣3，1]，
当a＝﹣3时，﹣3x2+5x+2＝0的根为x＝2或者x＝﹣不成立，
所以a∈（﹣3，1]，
故答案为：（﹣3，1]．
二.选择题
13．下列命题中，正确的是（　　）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＜b﹣d
D．如果ac2＞bc2，那么a＞b
【解答】解：A．x＜0时，不正确；
B.＞2，最小值不为2，不正确；
C．a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d即a﹣d＞b﹣c，因此不正确；
D．∵ac2＞bc2，∴c2＞0，∴a＞b，正确．
故选：D．
14．设p：0＜x＜5，q：|x﹣2|＜3，那么p是q的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【解答】解：由|x﹣2|＜3，得：﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5，即q：﹣1＜x＜5，
故p是q的充分不必要条件，
故选：A．
15．非空集合A、B满足，A∩B＝?，P＝{x|x?A}，Q＝{x|x?B}，则下列关系一定成立的是（　　）
A．A∪B＝P∪Q B．P∩Q＝? C．P∩Q＝{?} D．A∪B?P∪Q
【解答】解：∵A∩B＝?，
∴A与B没有任何公共元素，
∵P＝{x|x?A}，Q＝{x|x?B}，?是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，
∴P∩Q＝{x|x?A且x?B}＝{?}，
故选：C．
16．已知函数y＝f（x+1）为偶函数，则下列关系一定成立的是（　　）
A．f（x）＝f（﹣x） B．f（x+1）＝f（﹣x+1）
C．f（x+1）＝f（﹣x﹣1） D．f（﹣x+1）＝f（x）
【解答】解：∵y＝f（x+1）为偶函数，
∴f（﹣x+1）＝f（x+1），故B正确，
故选：B．
三.解答题
17．已知集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0，x∈R}．
（1）求集合A；
（2）若B∩（?UA）＝B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由得，；
解得﹣1＜x≤2；
∴A＝{x|﹣1＜x≤2}；
（2）?UA＝{x|x≤﹣1，或x＞2}；
∵B∩（?UA）＝B；
∴B??UA；
且B＝{x|a﹣1≤x≤a+1}；
∴a﹣1＞2，或a+1≤﹣1；
∴a＞3，或a≤﹣2；
∴实数a的取值范围为{a|a≤﹣2，或a＞3}．
18．己知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．
（1）若a＝1，b＝2，求不等式f（x）≤5的解；
（2）对任意a＞0，b＞0，试确定函数y＝f（x）的最小值M（用含a，b的代数式表示），若正数a、b满足a+4b＝2ab，则a、b分别取何值时，M有最小值，并求出此最小值．
【解答】解：（1）数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．由于a＝1，b＝2，
所以|x﹣1|+|x+2|≤5，令x﹣1＝0，解得x＝1，令x+2＝0，解得x＝﹣2，
故：①当x≤﹣2时，不等式转换为1﹣x﹣x﹣2≤5，解得﹣3≤x≤﹣2．
当②﹣2＜x＜1时，不等式转换为x+2﹣1﹣x≤5，即1≤5，
故不等式的解为﹣2＜x＜1．
当③x≥1时，不等式转换为x﹣1+x+2≤5，解得x≤2，
由①②③得：不等式的解集为：x∈[﹣3，2]；
（2）对任意a＞0，b＞0，所以）|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|＝a+b．
所以函数y＝f（x）的最小值M＝a+b，
由于正数a、b满足a+4b＝2ab，整理得，
所以＝＝
当a＝43，时，M最小值为．
19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．
再由C（0）＝8，得k＝40，
因此．
而建造费用为C1（x）＝6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ），令f'（x）＝0，即．
解得x＝5，（舍去）．
当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
20．已知函数f（x）＝（a＞0），且满足f（）＝1．
（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）设函数g（x）＝，求g（x）在区间[]上的最大值；
（3）若存在实数m，使得关于x的方程2（x﹣a）2﹣x|x﹣a|+2mx2＝0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由f（）＝＝1，得a＝1或0．
因为a＞0，所以a＝1，所以f（x）＝．
当x＞1时，f（x）＝＝1﹣为增函数，
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝1﹣﹣1+＝，
因为1＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以f（x）在（1，+∞）上为增函数；
（2）g（x）＝＝＝，
当1≤x≤4时，g（x）＝＝﹣＝﹣（﹣）2+，
因为≤≤1，所以当＝时，g（x）max＝；
当≤x＜1时，g（x）＝＝（﹣）2﹣，
因为≤x＜1时，所以1＜≤2，所以当＝2时，g（x）max＝2；
综上，当x＝时，g（x）max＝2；
（3）由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，f（x）＝1﹣∈（0，1）．
同理可得f（x）在（0，1）上为减函数，当0＜x＜1时，f（x）＝﹣1∈（0，+∞）．
方程2（x﹣1）2﹣x|x﹣1|+2mx2＝0可化为2?﹣+2m＝0，
即2f2（x）﹣f（x）+2m＝0，
设t＝f（x），方程可化为2t2﹣t+2m＝0，
要使原方程有4个不同的正根，
则方程2t2﹣t+2m＝0在（0，1）有两个不等的根t1，t2，
则有，解得0＜m＜，
所以实数m的取值范围为（0，）．
21．已知函数f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m．
（1）求证：函数f（x）﹣g（x）必有零点；
（2）设函数G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1．
①若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
②是否存在整数a、b，以及实数m，使得不等式a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：f（x）﹣g（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+3﹣m．
令f（x）﹣g（x）＝0．
则△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0恒成立，
∴方程f（x）﹣g（x）＝0有解，
即函数f（x）﹣g（x）必有零点；
（2）①G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，
令G（x）＝0，△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）（m﹣6）．
当△≤0，即2≤m≤6时，
G（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m≤0恒成立，
∴|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．
∵|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，
∴≥0，解得m≥2．
∴2≤m≤6．
当△＞0，即m＜2或m＞6时，
|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．
∵|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，
∴x2﹣（m﹣2）x+m﹣2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零
且x＝≤﹣1．
∴或
解得m＞2或m≤0．
∴m≤0或m＞6．
∴m的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
②∵a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
∴即，
消m，得ab﹣2a﹣b＝0，
显然b≠2．
∴a＝＝1+．
∵a，b为整数，所以b﹣2＝±1或b﹣2＝±2．
解得或或或，
∵a＜b，且a≤≤b，
∴或．