30.4
二次函数的应用（1）教学设计
河北民族师范学院附属中学
王侠
教材分析
冀教版初中数学九年级下册第三十章中的内容是二次函数的应用．二次函数是初中数学的重要内容之一，它的应用是本章的教学重点也是难点，因为它是从实际生活问题中抽象出的数学知识，又是在解决实际问题时广泛运用的数学工具，因此这部分的教学内容具有重要意义．二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生运用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查．新课标中要求学生能通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题.
而经历从实际问题情境入手，抽象出解决问题的数学模型和相关知识的过程中，不仅可以让学生体会数学的价值和建模的意义，更能提高学生应用数学知识解决问题的意识．
教学目标
知识与技能:
会用二次函数的知识解决实际生活问题．
过程与方法：经历在具体情境中抽象出数学知识的过程，体验解决问题方法的多样性，体会建模思想，渗透转化思想、数形结合思想，提高数学知识的应用意识．
情感、态度与价值观：
1．在进行探索活动过程中发展学生的探究能力，逐步养成合作交流的习惯．
2．体验数学在实际生活中的作用，发展数学思维，体会数学的价值；经历获得成功的体验，激发学习数学的兴趣，增强学习数学的信心．
教学对象分析
本节课的授课对象是九年级的学生，在此之前，学生已经掌握了求二次函数解析式的方法，并理解图象上的点和图象的关系，并且学习了一次函数、反比例函数的应用，初步经历了从实际问题抽象出数学知识再运用相关知识解决实际问题的过程，因此他们有解决简单实际问题的基础知识和基本能力．但是，由于函数知识比较抽象，多数学生在学习时应用函数的意识不强；同时，他们从实际问题中抽象数学问题的能力以及利用已有的数学知识解决问题的能力也比较弱，所以我在教学过程中，更加注重情境设置，调动学生的积极性，帮助他们突破重难点.
教学重点：利用二次函数的知识解决实际问题．
教学难点：将实际问题转化为函数模型，利用二次函数的模型解决实际问题．
教学策略分析
为了突出教学重点，突破教学难点，在教学过程中，我采用了以下的教学方法：
1．采用情境教学法．本节课从实际生活中的抛物线形这个问题展开，按照从具体实物到物体的运动轨迹层层推进．在教学过程中，注重创设相关知识的现实问题情境，让学生充分感知“数学来源于生活又服务于生活”．
2．贯彻启发式教学原则．教学的各个环节均从提出问题开始，在师生共同分析、讨论和探究中拓展学生的思路，把启发式的教学方法贯穿到教学活动的全过程．
3．采用由学生的独立思考、合作交流、教师启发点拨的学习模式．本节课充分体现了学生的主体地位，教师为学生提供了充分展示的平台，较好的激发了学生的学习热情，使学生共同达到“不但学会，而且会学”的目的.为了提高课堂效率，展示学生的学习成果，适当地辅以电脑多媒体技术.
教学过程设计
一、情境导入：
生活中充满了数学，无处不用数学．我们现在学习的抛物线，其形状在生活中随处可见．如美丽的喷泉、彩虹桥、甚至运动员一个漂亮的投篮，都呈现出抛物线的形状．这些生活中的抛物线不仅丰富了我们的生活，带给我们不一样的视觉体验，而且也能够帮助我们利用抛物线的知识解决实际生活中的问题．那么这节课就让我们一起来探究抛物线在实际生活中的应用．
二、探究新知：
1．如图，一座抛物线形的桥拱，这个拱的跨度AB为40米，最大高度CM为16米.
（1）建立恰当的直角坐标系，并求出这座桥拱所在的抛物线的表达式．
①师生共同分析，将实际问题转化成数学问题.
学生独立分析题意：教师引导学生将原图中的抛物线抽象出来，分析要解决的数学问题.教师初步小结：在研究二次函数时，我们是在坐标系中研究它的图象以及解析式，因此现在解决问题的关键就是——建立平面直角坐标系．
教师提问:
那么怎样建系能求出抛物线的解析式呢？请你在备用图上试一试．
②学生独立思考后，小组交流，并展示.
学生独立思考以下几个问题：以哪些点为坐标原点建立平面直角坐标系？建系后能找到哪些点的坐标，标在图中．你能求出抛物线的解析式吗？
交流以下内容：小组同学共有几种建系方法？所有思路都可以求出抛物线的解析式吗？怎样求的？
③同学展示讲解，师生共同评判：
学生投影展讲，教师和其余学生倾听，学生讲解过程中，教师要引导学生说明：以哪个点为原点建系？建系后能找到哪些点的坐标？怎么得到的？说明求抛物线解析式的思路，解析式表达形式？
教师提问：大家认为他的做法可以吗？看来大家的方法都能求出函数表达式．你还有别的方法吗？
（2）若在AB中点M左、右5米处各垂直竖立一铁柱支撑拱顶，求铁柱有多高？
教师引导学生分析：在此基础上，欲求铁柱的高，实际就是求线段的长度，进而转化为求抛物线上点的坐标问题．
三名学生分别展示在不同的坐标系下求出铁柱的长度的过程．（教师小结：虽然建立直角坐标系的方法不同，但是所得的结果是相同的）
小组交流讨论：
①以上哪种建立直角坐标系的方法，更易于计算铁柱的高度，为什么？
②我们是通过怎样的方法，解决这类实际问题的．
教师说明：一般的实际问题往往以水平直线为x轴，再根据实际问题的已知条件选择坐标原点，建立恰当的直角坐标系．
师生共同总结解题思路：
建系
找出点的坐标
求出抛物线的解析式
求出点的坐标（解决实际问题）
（情景引入）大家喜欢打篮球吗？其实投篮时篮球的运行路径也是一条抛物线，那么我们同样可以用抛物线的知识解决投篮的命中的问题．首先我们一起来感受一下篮球投中的过程．
2．如图，一名篮球运动员在距篮圈中心4m(水平距离)处跳起投篮，篮球准确落入篮圈．已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m．如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
教师引导学生认真审题，在图形中标出相应的数据，分析题目中所蕴含的信息量．
学生小组讨论交流：你知道哪些有效的信息；如何解决实际问题，你有什么方法吗？
教师引导学生采用“建系
求出抛物线的解析式
求点的坐标”（解决实际问题）
（1）请同学们在如图所示的直角坐标系下，求出抛物线的表达式．
学生展示：一名学生在黑板上书写过程，师生共同进行矫正．
（2）篮球在该运动员出手时的高度是多少m？
教师引导学生分析篮球在该运动员出手时的高度，也就是运动员跳起后，篮球距离地面的高度，即转化为求抛物线上点的坐标．
在学生求出篮球距离地面的高度，教师继续引导学生分析篮球距离地面的高度都与什么有关，引出下面的问题：
（3）该运动员的身高1.7m，跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问球出手时，他距地面的高度是多少
教师提示：运动员距离地面的高度也就是运动员跳起的高度．
教师小结：运动员投篮是否命中，与运动员的身高、跳起的高度、以及与篮圈中心（水平距离）的远近都有关系．
变式：在一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m．设篮球运行的路线为抛物线，篮圈中心距离地面3m．问此球能否投中？
亲爱的同学们，你知道小明这次投篮，投中了吗？如果他没有投中，在他出手角度和出手力度都不变的情况下，请你帮他调整一下位置，看怎样才能让篮球投中？
学生独立思考后，小组合作交流，得出简单的结论，可以跳的更高些，也可以向篮圈方向靠近些．教师动画演示，以直观形象的方式解决问题，激发学生的学习热情．
三、课堂小结：
本节课你的收获是什么？
1．解决有关二次函数的实际问题的一般步骤是什么？
（1）审题，抽象出函数基本模型．
（2）建立适当的平面直角坐标系．
（3）根据题意找出已知点的坐标．
（4）求出抛物线解析式．
（5）根据条件解决实际问题．
2．待定系数法求二次函数表达式的时候，要注意图像的特征．
3．本节课运用了哪些数学思想？(
建模的数学思想、转化及数形结合的思想)
四、目标达成：（课堂测评）
1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=6m，
涵洞最高处O到水面的距离为3m，那么在如图所示的直角坐标系
中，涵洞所在的抛物线的表达式是__________．
2．一座抛物线型拱桥，其函数表达式为．当水位线在AB
位置时，水面宽4米，这时桥顶最高处到水面的距离为______米；
当桥拱顶点到水面距离为2米时，水面宽为_______米．
3．如图所示，一个小球飞行高度y(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式
，则这个小球在空中飞行的时间是
（
）
A．1.5
s
B．2
s
C．3
s
D．4
s
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水
点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的
一部分,其表达式为，则水喷出的最大高度是（
）
A．4
m
B．5
m
C．6
m
D．7
m
关于对王侠老师《二次函数的应用（1）》的课例评析
承德市教育局中学教研室
王
佐
各位领导、各位同行：
王侠老师《二次函数的应用（1）》这节课是冀教版新课标（2011版）数学教材九年级下册第30章第4节第1课时的内容．王老师通过对课标、教材的分析和研究，对教学内容进行适当调整后设计了这节课．我认为这节课具有以下几方面的特点：
一、突出体现了函数的模型作用
在内容的设计和安排上，尽可能地减少对问题的分类，而是按照如何建立坐标系—确定函数解析式—解决实际问题这样的一条主线来展开教学活动．
1．充分借助图形的作用，以增加问题的直观性．
2．重点关注了二次函数的建模过程，从基本问题入手，通过学生独立思考、合作交流、教师引导，这样的一个学习过程，使学生逐步掌握了解决二次函数实际问题的一般方法．
二、精心设计问题情境，引导学生思考探究
教师在课上通过启发性的引导或阶梯性的问题设置，使得学生的学习活动更加流畅．这节课在内容的处理上，突出了以下几个方面的特点：
1．问题情境的设置自然、有趣，问题的层次性强，便于学生学习和研究问题．
2．教师为达成本节课的目标，精心选择了系列型的问题，由于题目的层次性和代表性较强，所以，在学生的探究过程中，有效地训练了学生的思维，发展了学生的空间观念，并能够让学生较深刻地体会到数学建模的重要性．
三、学生活动充分，关注到了学生的发展
教学过程中，安排了必要的学生思考、自主探究和交流讨论的学习活动，充分体现了学生的主体地位；在学生充分经历独立思考、自主探究和交流讨论的基础上，教师恰到好处的点拨，充分体现了对师生角色的准确把握．在课堂上，教师充当的是学生学生活动的组织者、引导者与合作者，所以，教师为学生提供了充分展示的平台，较好地激发了学生的学习热情，为有效达成本节课的教学目标提供了保证．
总之，通过王侠老师展示的这节课，我们应该感到新课程的教学理念在课堂教学中的具体体现，同时，也感受到，发展学生是我们课堂教学的目标，只要教师当好学生活动的组织者、引导者和合作者，我们的课堂教学就会更精彩．
A
B
M
C
A
M
B
C
A
B
M
C
E
F
3.05
m
2.5m
4
m
x
y
O
y
O
x
（h,k）
x
O
y
y
x
O
y
x
O
y
A
B
O
x
y
x
O
A
B
O
t(s)
y(m)
t(s)
y(m)
O
(s)(共25张PPT)
河北民族师范学院附属中学
王侠
教材分析
重难点分析
教材分析
背景分析
学情分析
教材分析
重难点分析
学情分析
背景分析
学情分析
学生在一次函数有关知识的基础上，又学习了二次函数的图像和性质，初步具备数形结合思想和解决实际问题的能力；但从实际问题中抽象出数学模型并解决实际问题的能力还比较弱.
教材分析
重难点分析
背景分析
学情分析
重难点分析
重点：利用二次函数的知识解决实问题．
难点：将实际问题转化为函数模型．
教学目标
知识技能
过程方法
知识技能
情感态度
能根据具体的问题情境建立二次函数模型，应用二次函数解决实际问题.
教学目标
知识技能
过程方法
过程方法
情感态度
经历将实际问题抽象为二次函数问题的过程,体会建模的数学思想及转化和数形结合的思想.
教学目标
知识技能
过程方法
情感态度
情感态度
体验数学在实际生活中的作用，发展数学思维，体会数学的价值，提高用数学的意识．
教法学法分析
1.教法：问题情景式，启发引导式.
3.教学手段：多媒体辅助教学.
2.学法：自主探究,合作交流的研讨
式学习方法.
C
A
B
M
探究新知
1.如图，一座抛物线形的桥拱,这个桥拱的跨度AB为
40米，最大高度CM为16米.
(1)
建立恰当的直角坐标系，并求出这座桥拱所
在的抛物线的解析式.
y
C
A
B
x
(M)
O
C
(A)
M
B
x
y
O
y
(C)
A
M
B
x
O
y=ax2
y=ax2+c
y=a(x-h)2+k
B(20,-16)
B(20,0)
C(0,16)
C(20,16)
B(40,0)
设计意图：引导学生根据题目中的条件和图形建立二次函数模型，并通过学生独立思考、小组交流等活动，帮助学生把实际问题中的条件转化为抛物线上点的坐标，进而求出抛物线的表达式.
学生展示成果，教师点评
引导学生用多种方法建立平面直角坐标系，尝试求出抛物线表达式.
通过充分的展示，让学生感受到成功的喜悦，通过对解法的比较，让学生体会数学的简洁美.
设计意图:
为了降低问题的难度，使得问题更加现实，同时更完整的体现解决实际问题的全过程.
经过回顾思考、小组讨论，归纳总结出运用二次函数的知识解决此类实际问题的一般步骤：
1.分析问题的条件和结论
2.建立恰当的直角坐标系
3.根据需要确定点的坐标
4.求出抛物线的解析式
5.根据条件解决实际问题
设计意图：
及时总结抛物线形实际问题的解题思路，让学生明确这类问题的解题方法，使思路更加清晰.
2.如图，一名篮球运动员在距篮圈中心4m(水平距离)处跳起投
篮，篮球准确落入篮圈.已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球
运行的水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为
3.5m.如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手
时的高度是多少？
3.5m
3.05m
2.5m
4m
问题探究
设计意图：
通过学生读题分析，把题目中的数据在图形中表示出来，实现数与形的结合，为下面学生顺利求得抛物线的解析式并解决问题做好铺垫.
综合应用：
（2）篮球在该运动员出手时的高度是多少？
问题探究
（1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线的表达式.
x
3.5m
3.05
m
2.5m
4
m
y
A
B
C
O
（3）该运动员的身高1.7m，跳起
投中，球在头顶上方0.25m处
出手，问球出手时，他距地
面的高度是多少
设计意图:
通过阶梯性的问题，让学生体会数学与现实生活的紧密联系，培养学生用数学的眼光去观察和分析实际问题，提高求知欲望，增强应用数学的意识.
3m
O
x
y
8m
4m
4m
变式：在一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高
m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m.设篮球运行的路线为抛物线，篮圈中心距离地面3m，问此球能否投中？
设计意图：
通过学生对篮球是否投中问题的研究，检测学生能否正确运用二次函数解决问题.
在课堂上，学生积极参与、认真思考，用多种方法解答.
通过问题的训练，较好的培养了学生观察和推理能力，从而让学生体验主动探究的快乐.
设计意图:
为拓展学有余力学生的思路，让学生在
上一问的基础上，进一步研究篮球投中的问题.为了让问题更直观，教师和学生一起借助多媒体的动画效果，使学生直观、形象的感受图形的变化特征.通过这样的方式，丰富了教学形式，也提高了课堂教学效果.
旨在培养学生归纳、概括能力，有助于学生理清脉络，引导学生反思学习过程，帮助学生增强信心，提高兴趣.
设计思路
展现方式
有形抛物线
路径抛物线
二次函数
认知过程
有形——无形
简单——复杂
谢谢大家
