22.3实际问题与二次函数（一）
设计人
一、课时结构图
二、教学内容及其解析
1.
内容
利用二次函数知识解决实际问题.
内容解析
①
地位和作用
本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助二次函数的图象研究二次函数的最小（大）值，并运用这个结论解决相关的实际问题.
②
内容解析（概念解析）
分析实际问题中的数量关系或变化规律，把实际问题抽象为二次函数问题；利用二次函数的图象和性质获取函数问题的解；讨论解的意义，得到实际问题的结果，从而解决实际问题。这个过程体现的是数学模型思想。
③
思想方法
通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法.
④
知识类型
本节课将新旧知识联系起来，是一节新授课.
基于以上分析，本节课的教学重点是：
从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题.
三、教学目标及其解析
1.
目标
（1）巩固二次函数有关知识，掌握利用二次函数求面积最值的方法.
（2）体验建立函数模型解决实际问题的过程和方法,渗透建模思想.
2.
目标解析
达成目标（1）的标志：学生会借助于二次函数得到二次函数的最小（大）值的结论，掌握当时，函数有最小（大）值.
达成目标（2）的标志：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小（大）值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题.
四、学生学情分析
1.
已具备的认知基础（知识和能力）
学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，具有一定的解决实际问题的能力,这为本节课的学习奠定了基础.
2.
本节课需要的知识和能力
新的《课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”
建立二次函数模型：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用二次函数表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
3.
可能存在的问题
二次函数模型是将实际问题抽象成数学问题，列出二次函数解析式，运用二次函数的最小（大）值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题，函数知识本身就是初中生学习的重点和难点，而建模必须建立在熟练掌握相关函数知识的基础之上才能运用和转化，这种转化较为抽象，因此将实际问题转化为二次函数问题就成为初中学习中的一个难点。
4.应对策略（过程和方法）
为了突破这个难点，应从学生熟悉的一次函数入手，通过回顾利用一次函数的图象和性质解决实际问题的模型思想，进而揭示将实际问题转化成二次函数问题，呈现实际问题的数学模型（二次函数）.
基于以上分析，本节课的教学难点是：
将实际问题转化为二次函数问题.
教学策略分析
根据本节内容特点，借助了信息化技术与课堂教学的融合.
GeoGebra直观、形象地突出重点,突破难点；利用西沃授课助手进行同步反馈，
提高课堂效率；课前学习任务单及微课提高了课堂学习效果；问题引领，引导学生思考，帮助理解.
教学过程设计
回顾·顾盼生辉——点亮建模思想
问题1
怎样租车费用最省？
师生活动：师生共同观看微课，学生跟随短片内容回顾已学过的解决实际问题的数学模型，体会模型思想，同时还感受到还有新的实际问题的模型（二次函数）的存在，教师指出这节课我们将学习运用二次函数来解决实际问题.
设计意图：通过微课回顾租车问题,点亮建模思想,发展学生的数学建模素养,为本节课奠定理论基础.
2.典例·不忘初心——确立建模过程
问题2
用总长为
60
m
的篱笆围成矩形场地，矩形面积
S
随矩形一边长
l
的变化而
变化．当
l
是多少米时，场地的面积
S
最大？
师生活动：学生借助一次函数解决实际问题的经验解决此问题得出答案.，整理后得.因此，当时，S有最大值.也就是说，当是15
m时，花圃的面积
S最大.
追问1：在这个问题中，有哪些量？
追问2：怎样表示矩形面积S与一边长之间的数量关系吗？
追问3：自变量为何值时，矩形花圃面积最大？
设计意图：
追问引领思路，不忘初心(模型思想),
体会建立二次函数模型解决实际问题的一般过程.
问题3
求二次函数的最小（大）值的一般方法有哪些？
师生活动：学生根据前面问题的解决方法，总结1：由于抛物线的顶点坐标是最低（高）点，可得当时，二次函数有最小（大）值.
总结2：利用二次函数求面积最值的一般方法：
（1）公式法；（2）配方法；（3）图象法；（4）交点式.
设计意图：让学生得出求二次函数的最小（大）值的结论，体会由特殊到一般的思想方法.
问题4
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？注意事项是什么？
师生活动：教师引导学生整理上面解决问题的步骤，分析利用二次函数解决实际问题的一般方法.学生思考后回答，师生共同归纳：总结3：一般步骤：
列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值；
检验解的意义，获得实际问题的解；
下结论.
总结4：求函数的最值时不要忽视了自变量的取值范围.
设计意图：引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，通过同学之间的合作与交流，让学生积累和总结经验，培养学生归纳概括的能力，养成良好的数学思维习惯.
问题5
利用二次函数解决实际问题的基本思路是什么？
师生活动：回顾例题的求解过程，师生总结：利用二次函数解决实际问题的基本思路是：分析实际问题中的变量与常量之间的关系，将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数的图象和性质求解，讨论解的意义，得到实际问题的答案，从而解决实际问题。这一过程体现了数学的建模思想.关键是分析实际问题中的变量与常量之间的关系，将实际问题转化为二次函数问题.
设计意图：师生共同总结，确定建立二次函数模型解决实际问题的基本过程.
3.变式·变得真经——突出建模关键
问题6
如图，用总长为
60
m
的篱笆围成一个一边靠墙（墙长
40
m
）的矩形菜地（
矩形
ABCD
）.
如果设
AB
边长为
x
m
,菜地的面积为
y
m2
,
那么当x
=
_____
时，矩形菜地的面积最大,
最大面积是________.
设计意图：学生自主学习，巩固建立二次函数模型解决实际问题的基本思路和方法，培养学生的应用能力.
追问：在变式1的前提下，若墙的长度变为
20
m
,
当x
=
____
时，矩形菜地的面积最大.
师生活动：巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验解决此问题.
设计意图：问题迁移,进一步强调建立二次函数模型求最值时,必须考虑自变量的取值范围.培养学生思维的灵活性和严密性.
问题7
自变量取值范围对最值有什么影响？
师生活动：学生思考后回答.
设计意图：与课堂教学相融合，帮助学生理解函数问题的解必须符合实际问题的意义,才能获得实际问题的真解.
4.探究·合力断金——强化建模方法
问题8
一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB=12．用这块材料剪
出一矩形
CDEF
，其中，点
D、E、F
分别在
BC、AB、AC
上．要使剪出的矩形
CDEF
面积最大，点E应选在何处？
师生活动：6人小组讨论，用不同的方法求解，小组展示，生生互动，师生互动.
设计意图：再次经历建立二次函数模型解决实际问题的全过程，学会用数学的眼光分析问题,用数学的方法解决问题,增强数学的应用意识.
体会建立二次函数模型解决实际问题的不同方法，从而达到一题多解，优化方法的目的。
5.总结·方得始终————提升建模意识
教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下相关问题：
①求二次函数最值的一般方法有哪些？
②利用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？
③在解决问题的过程中应注意哪些问题？
④本节课学到了哪些思考问题的方法？
师生活动：学生总结，教师归纳利用二次函数解决实际问题的基本思路，抒发感悟.
设计意图：让学生对本节课知识进行梳理，进一步落实相关应用.
师生共同总结,最终
获得建立数学模型解决实际问题一般过程
,
提升了学生的建模识.
6.作业·砥砺前行——巩固课堂学习
①
必做题：课本P52习题22.3第5、6题.
②
选做题：如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的三棱柱纸盒，求该纸盒侧面积的最大值？
（提示：两组邻边分别相等的四边形是筝形）
设计意图：分层布置作业,既面向全体学生,又使不同的学生获得不同的发展.
七、课堂教学目标检测——检验学习效果
1.已知二次函数
，当
-2<
x
<3
时，x
=______，
y
有最小值_____；
当
0≤x
<3
时，x
=______
，y
有最小值_____.
设计意图：本题主要考查学生求二次函数
的最小（大）值.
2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
h（单位：m）与小球的运动时间
t（单
位：s）之间的关系式是
h=
30t
-
5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是________时，小球最高，小球运动中的最大高度是________.
设计意图：考察学生利用二次函数求解实际问题中的最值.
3.如图所示，已知
ABCD
的周长为
8
cm
,∠
B
=30°，若边长
AB
=
x
cm
.则
ABCD
的面积
y
(单位：cm2
)
与
x
的函数关系式是
________________
，自变量
x
的取值范围是
____________，当
x
取____时,面积最大=______.
设计意图：考察学生建立二次函数模型解决图形面积最值问题.
巩固建立二次函数模型解决实际问题的过程与方法,为下节课的学习奠定基础.
附件1：《实际问题与二次函数》点评
本节课是人教版九年级上册第二十二章实际问题与二次函数的第一课时，学生在学习了二次函数的图像和性质后，开始对实际问题进行研究。老师的这节课教学目标明确，设计理念新颖，注重教学内容与信息技术的融合，教学设计环环相扣，有以下几大亮点。
1、微课引入，点亮建模思想
从以往的学习中获取的学习经验对学生学习新知识解决新问题有着指导作用。在学习二次函数之前学生已经学习了建立一次函数模型解决实际问题，具有了一定的解决实际问题的经验。根据学生的这一认知情况杜老师编制了《解决实际问题的一般方法》的微课，带领学生对已学过的一次函数租车问题进行回顾，点亮建模思想，重温建模过程，为本节课的学习奠定理论基础，提供解答模板和经验。同时在微课轻松愉快的气氛中开始本节课的学习很好地激发了学生的学习兴趣。
2、典例精讲，再现建模过程
例题的学习是本节课的重要环节。因为学生已经具有建立一次函数模型解决实际问题的经验，因此类比一次函数，杜老师通过设计问题串，引导学生对例题进行观察和分析，在师生的交流中一步步得到问题的答案，并及时对解答过程进行归纳总结，进一步明确了建立函数模型解决实际问题的方法步骤，整个过程点拨精准，指导到位。通过例题的学习既让学生对二次函数的有关知识进行了巩固，又渗透了数学的模型思想，得到数学建模的一般思路。
3、变式迁移，关注建模关键。
在变式练习中通过题目条件的变化，引发学生的思考，使学生关注到自变量取值范围的变化对二次函数最值的影响，同时杜老师利用GGb对问题的结论进行了动态演示，利用信息技术使抽象的函数问题变得生动直观，很好地帮助学生理解了“建立二次函数模型解决实际问题必须求解自变量取值范围”这一建模的关键点。
4、小组合作，优化建模途径
让学生完整地经历数学探究活动的过程，开展自主探究、合作交流，是发展学生数学核心素养的有效手段。杜老师在小组探究的环节完全放手，让学生再次经历“利用二次函数模型解决实际问题”的全过程。让学生分析思路，让学生展示过程，让学生质疑补充，当展示中出现问题时，杜老师并没有马上出手而是鼓励学生们去发现，去表达，经过积极的交流和思维碰撞，学生们规范了解答过程，理清了解题思路，找到了最优解法，同时提升了自信心，学会了尊重他人，获得了成长。
本节课教学过程自然流畅，紧紧围绕渗透建模思想，提升建模意识展开。既有行云流水的问题设计，又有热烈积极的交流讨论；既有数学方法的总结提升，又有数学思想的归纳渗透，展示了杜燕老师扎实的教学基本功。虽然还存在有待改进的地方但仍然是一节优秀的示范课。
附件2：
课前学习任务单
一、观看洋葱数学微课《最大值问题》.
二、自学课本P49-50，并完成以下内容:
1.用总长为
60
m
的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
思考：（1）在这个问题中，有哪些量？
（2）怎样表示矩形面积S与一边长之间的数量关系吗？
（3）自变量为何值时，矩形花圃面积最大？
（4）求二次函数的最小（大）值的一般方法有哪些？
【变式一】：如图，用总长为
60
m
的篱笆围成一个一边靠墙（墙长40m）的矩形菜地（矩形ABCD）.如果设AB边长为xm,菜园的面积为ym2,那么当x=
时，矩形菜园的面积y最大,最大面积是
.
【变式二】：在变式1的前提下，若墙的长度变为
20
m
,
当x=
时，矩形菜园的面积最大
2.
一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用这块材料剪出一矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．要使剪出的矩形CDEF面积最大，点E应选在何处？
三、通过解决以上问题，你认为利用二次函数解决实际问题的一般过程是
；关键是
.
模型思想
二次函数问题
建模
实际问题
求最值
性质
图象
顶点(
h
,
k
)
二次函数问题的解
解模
符合实际
检验
实际问题的答案(共23张PPT)
实际问题与二次函数
第二十二章第三节第一课
人教版
九年级上册
策略分析
一
四
三
二
教学过程
教学反思
五
六
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
二次函数问题
实际问题
建模
二次函数问题的解
解模
实际问题的答案
检
验
符合实际
模型思想
图象
性质
求最值
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
将实际问题转化为二次函数问题.
具有一定的解决实际问题的能力.
学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质.
基础能力
认知结构
难
点
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
教学特色
直观、形象地突出重点,突破难点
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
问题引领
GeoGebra
课前学习
任务单
希沃授课
助手
同步反馈，
提高课堂效率
引导思考，帮助理解
提高课堂学习效果
作业
砥砺前行
强化
建
模
认
知
总结
方得始终
提升
建
模
意
识
检测
踏石留印
检验
学
习
效
果
探究
合力断金
优化
建
模
途
径
回顾
顾盼生辉
点亮
建
模
思
想
典例
不忘初心
再现
建
模
过
程
变式
变得真经
关注
建
模
关
键
实际问题与二次函数
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
回顾·顾盼生辉
典例·不忘初心
设计意图
变式·变得真经
探究·合力断金
检测·踏石留印
总结·方得始终
作业·砥砺前行
通过微课回顾
租车问题,点亮
建模思想,发展
学生的数学建
模素养,为本节
课奠定理论基
础.
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
典例·不忘初心
回顾·顾盼生辉
设计意图
变式·变得真经
探究·合力断金
检测·踏石留印
总结·方得始终
作业·砥砺前行
追问引领思路，
不忘初心(模型思想),
体会建立二次函数模型解决实际问题的一般过程.
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
典例·不忘初心
回顾·顾盼生辉
设计意图
变式·变得真经
探究·合力断金
检测·踏石留印
总结·方得始终
作业·砥砺前行
师生共同总结，再现建立二次函数模型解决实际问题的基本思路.提升学生逻辑分析和归纳概括的能力.
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
变式·变得真经
典例·不忘初心
设计意图
回顾·顾盼生辉
探究·合力断金
检测·踏石留印
总结·方得始终
作业·砥砺前行
学生自主学习，
巩固建立二次
函数模型解决
实际问题的基
本思路和方法，
培养学生的应
用能力.
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
变式·变得真经
典例·不忘初心
设计意图
回顾·顾盼生辉
探究·合力断金
检测·踏石留印
总结·方得始终
作业·砥砺前行
问题迁移,进一
步关注建立二
次函数模型求
最值时,必须考
虑自变量的取
值范围.培养学
生思维的灵活
性和严密性.
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
变式·变得真经
典例·不忘初心
设计意图
回顾·顾盼生辉
探究·合力断金
检测·踏石留印
总结·方得始终
作业·砥砺前行
GeoGebra与课
堂教学相融合，
帮助学生理解
函数问题的解
必须符合实际
问题的意义,才
能获得实际问
题的真解.
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
探究·合力断金
典例·不忘初心
设计意图
变式·变得真经
回顾·顾盼生辉
检测·踏石留印
总结·方得始终
作业·砥砺前行
再次经历建立
二次函数模型
解决实际问题
的全过程，学
会用数学的眼
光分析问题,用
数学的方法解
决问题,增强数
学的应用意识.
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
探究·合力断金
典例·不忘初心
变式·变得真经
回顾·顾盼生辉
检测·踏石留印
总结·方得始终
作业·砥砺前行
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
探究·合力断金
典例·不忘初心
变式·变得真经
回顾·顾盼生辉
检测·踏石留印
总结·方得始终
作业·砥砺前行
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
探究·合力断金
典例·不忘初心
设计意图
变式·变得真经
回顾·顾盼生辉
检测·踏石留印
总结·方得始终
作业·砥砺前行
体会建立二次
函数模型解决
实际问题的不
同方法，从而
达到一题多解，
优化方法的目
的。
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
检测·踏石留印
典例·不忘初心
设计意图
变式·变得真经
回顾·顾盼生辉
探究·合力断金
总结·方得始终
作业·砥砺前行
检验不同层次
学生的学习效
果,使利用二次
函数模型解决
实际问题的思
想方法深深地
印在学生的心
里.
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
总结·方得始终
典例·不忘初心
设计意图
变式·变得真经
回顾·顾盼生辉
检测·踏石留印
探究·合力断金
作业·砥砺前行
师生共同总结,
最终获得建立
数学模型解决
实际问题一般
过程
,
提升学
生的建模意识.
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
作业·砥砺前行
典例·不忘初心
设计意图
变式·变得真经
回顾·顾盼生辉
检测·踏石留印
总结·方得始终
探究·合力断金
分层布置作业,
既面向全体学
生,又使不同的
学生获得不同
的发展.强化建
模思想的认知.
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
形象、直观
展示、反馈
生动、高效
信息技术
营造智慧课堂，
实现教育教学与信息
技术深度融合，仍然
是我探讨的课题。
学情分析
策略分析
教学反思
内容解析
目标解析
教学过程
贯
穿
原
则
以学生为
主体原则
提升意识
建模意识
应用意识
渗
透
思
想
数形结合思想
建模思想
培养能力
分析能力
解决问题能力
数学建模
模型思想就是用数学语
言讲述现实世界的故事。
高效渗透模型思想，提
高学生的数学素养，仍需深
入研究。
敬请批评指正！
谢谢您的聆听
