2019年七年级沪科版数学上册《第3章 一次方程与方程组》单元测试卷（解析版）

2019年七年级沪科新版数学上册《第3章 一次方程与方程组》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
2．王涵同学在解关于x的方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝﹣2
3．有下列四种说法中，错误说法的个数是（　　）
（1）由5m＝6m+2可得m＝2；（2）方程的解就是方程中未知数所取的值；
（3）方程2x﹣1＝3的解是x＝2；（4）方程x＝﹣x没有解．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知方程|x|＝ax+1有一个负根而没有正根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B．a＜1 C．﹣1＜a＜1 D．a＞﹣1且a≠0
5．学校在一次研学活动中，有n位师生乘坐m辆客车，若每辆客车乘50人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘55人，则最后一辆车空了8个座位．下列四个等式：①50m+10＝55m﹣8；②50m+10＝55m+8；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若x4﹣3|m|+y|n|﹣2＝2009是关于x，y的二元一次方程，且mn＜0，0＜m+n≤3，则m﹣n的值是（　　）
A．﹣4 B．2 C．4 D．﹣2
7．关于x，y的二元一次方程y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0），有四位同学给出了方程的下列四组解，其中只有一组是错误的，则错误的一组是（　　）
A． B．
C． D．
8．某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．若是关于x、y的方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）
A．15 B．﹣15 C．16 D．﹣16
10．今年，小丽爷爷的年龄是小丽的5倍．小丽发现，12年之后，爷爷的年龄是小丽的3倍，设今年小丽、爷爷的年龄分别是x岁、y岁，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
11．如果等式ax﹣3x＝2+b不论x取什么值时都成立，则a＝　 　，b＝　 　．
12．若（m+1）x|m|＝6是关于x的一元一次方程，则m等于　 　．
13．已知关于x的方程3a﹣x＝+3的解为2，则a值是　 　．
14．设＝x，由＝0.777…可知，10x＝7.777…，所以10x﹣x＝7．解方程x＝．于是，得＝．则无限循环小数化成分数等于　 　．
15．若2x|m|+（m+1）y＝3m﹣1是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　 　．
16．已知二元一次方程2x+3y＝18的解为正整数，则满足条件的解共有　 　对．
17．写出方程2x+y＝8的正整数解　 　
18．一个两位数，个位数字是x，十位数字是y，将个位和十位数字对调后，所得到新的两位数，与原两位相加的和是110，可以列方程为　 　．
三．解答题（共8小题）
19．阅读题：课本上有这样一道例题：“解方程：
解：去分母得：6（x+15）＝15﹣10（x﹣7）…①
6x+90＝15﹣10x+70…②
16x＝﹣5 …③
…④
请回答下列问题：
（1）得到①式的依据是　 　；
（2）得到②式的依据是　 　；
（3）得到③式的依据是　 　；
（4）得到④式的依据是　 　．
20．若关于x的方程（m﹣1）x|m|+4＝0是一元一次方程，求m的值，并求出方程的解．
21．已知x＝3是方程3[（+1）+]＝2的解，n满足关系式|2n+m|＝1，求m+n的值．
22．解方程：（1）10x﹣12＝5x+15；（2）
23．已知关于x，y的二元一次方程ax+b＝y（a，b为常数且a≠0）
（1）该方程的解有　 　组；
若a＝﹣2，b＝6，且x，y为非负整数，请直接写出该方程的解；
（2）若和是该方程的两组解，且m1＞m2
①若n1﹣n2＝2（m2﹣m1），求a的值；
②若m1+m2＝3b，n1+n2＝ab+4，且b＞2，请比较n1和n2大小，并说明理由．
24．求方程7x+19y＝213的所有正整数解．
25．某体育彩票经销商计划用4500元从省体彩中心购进彩票20捆，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每捆150元，B彩票每捆200元，C彩票每捆250元．
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20捆，并将4500元恰好用完，请你帮助经销商设计进票方案；
（2）若销售A型彩票每捆获手续费20元，B型彩票每捆获手续费30元，C型彩票每捆获手续费50元．在问题（1）设计的购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得的手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用4500元同时购进A、B、C三种彩票20捆，请你帮助经销商设计一种进票方案．（直接写出答案）
26．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同．求a，b的值．



2019年七年级沪科新版数学上册《第3章 一次方程与方程组》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据第一个天平可得2●＝▲+■，根据第二个天平可得●+▲＝■，可得出答案．
【解答】解：根据图示可得：
2●＝▲+■①，
●+▲＝■②，
由①②可得●＝2▲，■＝3▲，
则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，根据图示得出●、▲、■的数量关系是解题的关键．
2．王涵同学在解关于x的方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝﹣2
【分析】把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18，得出方程7a+4＝18，求出a的值，再代入方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，
解得：a＝2，
即原方程为14+x＝18，
解得：x＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
3．有下列四种说法中，错误说法的个数是（　　）
（1）由5m＝6m+2可得m＝2；（2）方程的解就是方程中未知数所取的值；
（3）方程2x﹣1＝3的解是x＝2；（4）方程x＝﹣x没有解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出方程5m＝6m+2，2x﹣1＝3，x＝﹣x的解，即可判断（1）（3）（4），根据方程的解的定义即可判断（2）．
【解答】解：5m＝6m+2，
5m﹣6m＝2，
﹣m＝2，
m＝﹣2，故（1）错误；
方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，（2）错误；
2x﹣1＝3，
2x＝4，
x＝2，故（3）正确；
x＝﹣x，
x+x＝0，
2x＝0，
x＝0，故（4）错误；
错误的个数有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程和方程的解，解此题的关键是能正确解方程和理解方程的解的定义．
4．已知方程|x|＝ax+1有一个负根而没有正根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B．a＜1 C．﹣1＜a＜1 D．a＞﹣1且a≠0
【分析】根据x＜0，得出方程﹣x＝ax+1，求出x＝＜0，即可求出答案．
【解答】解：∵方程|x|＝ax+1有一个负根而没有正根，
∴x＜0，
方程化为：﹣x＝ax+1，
x（a+1）＝﹣1，
x＝＜0，
∴a+1＞0，
∴a＞﹣1且a≠0，
如果x＞0，|x|＝x，x＝ax+1，x＝＞0，则1﹣a＞0，
解得 a＜1．
∵没有正根，
∴a＜1不成立．
∴a≥1．
故选：A．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，主要考查学生能否正确去掉绝对值符号，题型较好，但有一定的难度，注意分类讨论思想的运用．
5．学校在一次研学活动中，有n位师生乘坐m辆客车，若每辆客车乘50人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘55人，则最后一辆车空了8个座位．下列四个等式：①50m+10＝55m﹣8；②50m+10＝55m+8；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．
【解答】解：根据总人数列方程，应是50m+10＝55m﹣8，
根据客车数列方程，应该为：＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程．
6．若x4﹣3|m|+y|n|﹣2＝2009是关于x，y的二元一次方程，且mn＜0，0＜m+n≤3，则m﹣n的值是（　　）
A．﹣4 B．2 C．4 D．﹣2
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答】解：根据题意，得
，
∴
∵mn＜0，0＜m+n≤3
∴m＝﹣1，n＝3．
∴m﹣n＝﹣1﹣3＝﹣4．
故选：A．
【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
7．关于x，y的二元一次方程y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0），有四位同学给出了方程的下列四组解，其中只有一组是错误的，则错误的一组是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】将所给的四组解分别代入y＝ax+b，由A得b＝8﹣4a，代入BCD中的二元一次方程，得出a的值，如果BCD中a的值只有一个不同，则此项为错误项；若BCD中a的值均不相同，则A为错误项．
【解答】解：将所给的四组解分别代入y＝ax+b得：
8＝4a+b （1）
﹣2＝2a+b （2）
﹣7＝﹣a+b （3）
﹣13＝﹣3a+b （4）
由（1）得b＝8﹣4a，
代入（2）得，a＝5
代入（3）得，a＝3
代入（4）得，a＝3
∴B项为错误的解
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解与一次函数的关系，明确二者关系，是解答本题的关键．当然，本题也可画图象来解答．
8．某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，设a＝2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z＝28xyz；
②设在乙处建总仓库，则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z＝30xyz；
③设在丙处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z＝35xyz；
④设在丁处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z＝53xyz；
进行比较运费最少的即可．
【解答】解：∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，
设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，
∵各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3，
设a＝2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，
设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，
则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z＝28xyz；
②设在乙处建总仓库，
∵a+d＝5y，b+c＝7y，
∴a+d＜b+c，
则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z＝30xyz；
③设在丙处建总仓库，
则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z＝35xyz；
④设在丁处建总仓库，
则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z＝53xyz；
由以上可得建在甲处最合适，
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程的应用；设出未知数，求出各个运费是解题的关键．
9．若是关于x、y的方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）
A．15 B．﹣15 C．16 D．﹣16
【分析】把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求a，b，再代入可求（a+b）（a﹣b）的值．
【解答】解：∵是关于x、y的方程组的解，
∴，
解得，
∴（a+b）（a﹣b）＝（﹣1+4）×（﹣1﹣4）＝﹣15．
故选：B．
【点评】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键．
10．今年，小丽爷爷的年龄是小丽的5倍．小丽发现，12年之后，爷爷的年龄是小丽的3倍，设今年小丽、爷爷的年龄分别是x岁、y岁，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①小丽爷爷的年龄＝小丽的年龄×5；②小丽爷爷的年龄+12＝（小丽的年龄+12）×3，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设今年小丽、爷爷的年龄分别是x岁、y岁，依题意有
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组．
二．填空题（共8小题）
11．如果等式ax﹣3x＝2+b不论x取什么值时都成立，则a＝　3　，b＝　﹣2　．
【分析】先将等式转化为（a﹣3）x＝2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则x的系数为0由此可求得a、b的值．
【解答】解：将等式ax﹣3x＝2+b转化为（a﹣3）x＝2+b，
根据题意，等式成立的条件与x的值无关，
则a﹣3＝0，解得a＝3，
此时，2+b＝0，解得b＝﹣2．
故答案为：3，﹣2．
【点评】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是要善于利用题目中的隐含条件：“不论x取何值，等式永远成立”
12．若（m+1）x|m|＝6是关于x的一元一次方程，则m等于　1　．
【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
【解答】解：根据题意得：m+1≠0且|m|＝1，
解得：m＝1．
故答案是：1．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
13．已知关于x的方程3a﹣x＝+3的解为2，则a值是　2　．
【分析】根据关于x的方程3a﹣x＝+3的解为2，将x＝2代入原方程即可求得a的值，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的方程3a﹣x＝+3的解为2，
∴3a﹣2＝
解得，a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是明确题意，可以求得相应的a的值．
14．设＝x，由＝0.777…可知，10x＝7.777…，所以10x﹣x＝7．解方程x＝．于是，得＝．则无限循环小数化成分数等于　　．
【分析】设＝x，找出规律公式1000x﹣x＝325，解方程即可求解．
【解答】解：设＝x，由＝0.325325325…，易得1000x＝325.325325…．
可知1000x﹣x＝325.325325…﹣0.325325325…＝325，即 1000x﹣x＝325，
解得：x＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化成整数形式．
15．若2x|m|+（m+1）y＝3m﹣1是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　1　．
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【解答】解：根据二元一次方程的定义，方程中只含有2个未知数且未知数的次数为1，得
，
解得m＝1．
【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
16．已知二元一次方程2x+3y＝18的解为正整数，则满足条件的解共有　2　对．
【分析】将二元一次方程2x+3y＝18变形，用含x的式子表示出y，从而根据解为正整数，可得答案．
【解答】解：二元一次方程2x+3y＝18可化为：
y＝＝6﹣
∵二元一次方程2x+3y＝18的解为正整数，且x必为3的倍数
∴当x＝3时，y＝4；
x＝6时，y＝2；
∴符合题意的解只有2对．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的正整数解，将所给方程恰当变形，使得讨论的类型减少，是简便解题的关键．
17．写出方程2x+y＝8的正整数解　，，　
【分析】由于二元一次方程2x+y＝8中y的系数是1，可先用含x的代数式表示y，然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数x＝1代入，算出对应的y的值，再把x＝2代入，再算出对应的y的值，依此可以求出结果．
【解答】解：∵2x+y＝8，
∴y＝8﹣2x，
∵x、y都是正整数，
∴x＝1时，y＝6；
x＝2时，y＝4；
x＝3时，y＝2．
∴二元一次方程2x+y＝8的正整数解有，，．
故答案为：，，．
【点评】考查了解二元一次方程，由于任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的正整数解，即此方程中两个未知数的值都是正整数，这是解答本题的关键．注意最小的正整数是1．
18．一个两位数，个位数字是x，十位数字是y，将个位和十位数字对调后，所得到新的两位数，与原两位相加的和是110，可以列方程为　10x+y+10y+x＝110　．
【分析】根据题意可得等量关系：个位数字与十位数字对调后新的两位数+原两位数＝110，根据等量关系列出方程即可求解．
【解答】解：依题意有10x+y+10y+x＝110．
故答案为：10x+y+10y+x＝110．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
三．解答题（共8小题）
19．阅读题：课本上有这样一道例题：“解方程：
解：去分母得：6（x+15）＝15﹣10（x﹣7）…①
6x+90＝15﹣10x+70…②
16x＝﹣5 …③
…④
请回答下列问题：
（1）得到①式的依据是　等式性质2：等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等．　；
（2）得到②式的依据是　乘法分配律　；
（3）得到③式的依据是　等式性质1：等式两边同时加上（或减去）相等的数或式子，两边依然相等．　；
（4）得到④式的依据是　等式性质2：等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等．　．
【分析】1、去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项．
2、用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号．
3、移项要变号．
【解答】解：
（1）得到①式的依据是等式性质2：等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等．
（2）得到②式的依据是乘法分配律．
（3）得到③式的依据是等式性质1：等式两边同时加上（或减去）相等的数或式子，两边依然相等．
（4）得到④式的依据是等式性质2．
【点评】本题考查了等式的性质，灵活运用等式的性质解方程，用解方程的一般步骤，提高综合解题能力．
20．若关于x的方程（m﹣1）x|m|+4＝0是一元一次方程，求m的值，并求出方程的解．
【分析】依据一元一次方程的次数为1，系数不等于零可得到m的值，然后，将m的值代入可求得方程的解．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m|+4＝0是一元一次方程，
∴m﹣1≠0，|m|＝1，解得m＝﹣1，
∴原方程为﹣2x+4＝0，解得x＝2．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
21．已知x＝3是方程3[（+1）+]＝2的解，n满足关系式|2n+m|＝1，求m+n的值．
【分析】把x＝3代入方程3[（+1）+]＝2，求出m的值，把m的值代入关系式|2n+m|＝1，求出n的值，进而求出m+n的值．
【解答】解：把x＝3代入方程3[（+1）+]＝2，
得：3（2+）＝2，
解得：m＝﹣．
把m＝﹣代入|2n+m|＝1，
得：|2n﹣|＝1
得：①2n﹣＝1，②2n﹣＝﹣1．
解①得n＝，
解②得n＝．
∴（1）当m＝﹣，n＝时，
m+n＝﹣；
（2）当m＝﹣，n＝时，m+n＝﹣．
【点评】考查了一元一次方程的解，本题求m、n的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．
22．解方程：（1）10x﹣12＝5x+15；（2）
【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解；
（2）先去括号，再移项、合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：（1）移项，得
10x﹣5x＝12+15，
合并同类项，得
5x＝27，
方程的两边同时除以5，得
x＝；

（2）去括号，得
＝，
方程的两边同时乘以6，得
x+1＝4x﹣2，
移项、合并同类项，得
3x＝3，
方程的两边同时除以3，得
x＝1．
【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．
23．已知关于x，y的二元一次方程ax+b＝y（a，b为常数且a≠0）
（1）该方程的解有　无数　组；
若a＝﹣2，b＝6，且x，y为非负整数，请直接写出该方程的解；
（2）若和是该方程的两组解，且m1＞m2
①若n1﹣n2＝2（m2﹣m1），求a的值；
②若m1+m2＝3b，n1+n2＝ab+4，且b＞2，请比较n1和n2大小，并说明理由．
【分析】（1）根据二元一次方程的定义可知该方程的解有无数组，进一步得到若a＝﹣2，b＝6，且x，y为非负整数时该方程的解；
（2）①根据加减法可求a的值；
②根据方程可得n1＝am1+b，n2＝am2+b，可得a＝，根据b＞2，可得﹣1＜a＜0；再根据n1﹣n2＝a（m1﹣m2），m1＞m2，可得n1＜n2．
【解答】解：（1）该方程的解有 无数 组；
x分别为0，1，2，3；y分别为6，4，2，0；
（2）①a＝﹣2；
②∵n1＝am1+b，n2＝am2+b，
∴n1+n2＝a（m1+m2）+2b，
∴ab+4＝3ab+2b，
∴ab+b＝2，
∴a＝，
∵b＞2，
∴0＜＜1，
∴﹣1＜＜0，
∴﹣1＜a＜0．
又∵n1﹣n2＝a（m1﹣m2），m1＞m2，
∴n1﹣n2＜0，
∴n1＜n2．
【点评】考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程解的定义是解题的关键．
24．求方程7x+19y＝213的所有正整数解．
【分析】首先把原方程中的y用含x的式子表示为，再根据解是整数分别讨论解的值．
【解答】解：用方程
7x+19y＝213①
的最小系数7除方程①的各项，并移项得
x＝＝30﹣2y+②
因为x，y是整数，故3﹣5y/7＝u也是整数，于是5y+7u＝3．则
y＝③，
令＝v，则2u+5v＝3．④
由观察知u＝﹣1，v＝1是方程④的一组解．将u＝﹣1，v＝1代入③得y＝2．y＝2，
代入②得x＝25．于是方程①有一组解x0＝25，y0＝2，
所以它的一切解为，
由于要求方程的正整数解，所以，
解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：
和．
【点评】本题考查了二元一次方程的解法，此题运用辗转法求解，难度比较大．
25．某体育彩票经销商计划用4500元从省体彩中心购进彩票20捆，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每捆150元，B彩票每捆200元，C彩票每捆250元．
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20捆，并将4500元恰好用完，请你帮助经销商设计进票方案；
（2）若销售A型彩票每捆获手续费20元，B型彩票每捆获手续费30元，C型彩票每捆获手续费50元．在问题（1）设计的购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得的手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用4500元同时购进A、B、C三种彩票20捆，请你帮助经销商设计一种进票方案．（直接写出答案）
【分析】（1）因为彩票有A，B，C三种不同型号，而经销商同时只购进两种，所以要将A，B，C两两组合，分三种情况：A，B；A，C；B，C，每种情况都可以根据下面两个相等关系列出方程，两种不同型号的彩票捆数之和＝20，购买两种不同型号的彩票钱数之和＝4500，然后根据实际含义确定他们的解．
（2）根据上一问分别求出每一种情况的手续费，然后进行比较，可以得出结果．
（3）有两个等量关系：A彩票扎数+B彩票扎数+C彩票扎数＝20，购买A彩票钱数+购买B彩票钱数+购买C彩票钱数＝4500．设三个未知数，用含有同一个未知数的代数式去表示另外的两个未知数，然后根据三个未知数的取值范围都小于20，得出一元一次不等式组，求出解集，最后根据实际含义确定解．
【解答】解：（1）若设购进A种彩票x捆，B种彩票y捆，
根据题意得：，
解得：，
∴x＜0，不合题意；
若设购进A种彩票x捆，C种彩票y捆，
根据题意得：，
解得：，
若设购进B种彩票x张，C种彩票y张，
根据题意得：．
解得：，
综上所述，若经销商同时购进两种不同型号的彩票共有两种方案可行，
即A种彩票5捆，C种彩票15捆或B种彩票与C种彩票各10捆；
（2）若购进A种彩票5捆，C种彩票15捆，
销售完后获手续费为20×5+50×15＝850（元），
若购进B种彩票与C种彩票各10捆，
销售完后获手续费为30×l0+50×10＝800（元），
∴为使销售完时获得手续最多选择的方案为A种彩票5捆，C种彩票15捆；
（3）若经销商准备用4500元同时购进A、B、C三种彩票20捆．
设购进A种彩票m捆，B种彩票n捆，C种彩票h捆．
由题意得：，
即h＝m+10，
∴n＝﹣2m+10，
∵m、n都是正数
∴1≤m＜5，
又m为整数共有4种进票方案，具体如下：
方案1：A种1捆，B种8捆，C种11捆；
方案2：A种2捆，B种6捆，C种12捆；
方案3：A种3捆，B种4捆，C种13捆；
方案4：A种4捆，B种2捆，C种14捆．
【点评】此题考查二元一次方程组的应用，应注意：
（1）从A，B，C中同时取出两种，有三种情况．
（2）在求几个未知数的取值范围时，注意转化，利用等量关系用含有同一个未知数的代数式去表示另外的未知数，转化为求一元一次不等式组的解集．
26．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同．求a，b的值．
【分析】首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到一个关于a，b的方程组求解即可．
【解答】解：∵方程组和的解相同．
∴解新方程组，解得，
把，代入，得，解得．
【点评】考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．