“情境——问题”视角下的章起始课教学
——“分式章起始课”教学设计
一、教学设计
1.内容与内容解析
（1）内容：
苏科版《义务教育教科书·
数学》
八年级下册第十章“分式”章起始课，内容是通过章头图对本单元知识结构有一个基本认识。
（2）内容解析：
分式是描述实际问题中两个量之比的一类代数式。从形式上看，分式与分数“长相”相同，而且它们具有相似的基本性质和运算法则，因此分数可以作为分式研究的参照物。另外，七年级整式及整式的运算、方程也是分式学习的重要基础。而分式的学习又为后面反比例函数的研究做铺垫。
“分式”这一章包括分式的概念、性质、分式的运算和分式方程，其遵循“概念——性质——应用”的基本研究套路，其中分式的运算和分式方程可以看作是分式概念和性质的应用，包括数学内部和现实世界的应用。本节课是分式单元起始课，从章头图的两个情境出发提出问题，类比分数的学习，初步形成本单元的知识结构，引导学生回答三个问题，即“为什么要学习分式，分式将要学习什么，如何学习分式”。因此，本节课的重点是：借助情境提出问题，对分式这一章的内容有一个基本认识，探寻研究分式的整体思路和方法。
2.目标与目标解析
（1）目标
经历由长方形面积、火车行驶题情境提出问题、解决问题和数学应用的过程，从中抽象出分式、分式的基本性质、分式的运算和分式方程等，从而构建分式这一章的研究思路，探寻研究的方法。
（2）目标解析
目标要求学生由长方形面积、火车行驶等情境提出问题、解决问题和数学应用，从中抽象出分式、分式的基本性质、分式的运算和分式方程等，并且由此发现分式与分数的诸多相似之处，从而获得探寻分式各部分内容的方法——类比分数，进而整体建构分式一章的研究思路。分式起始课的目标设计不同于传统的课时教学，它不局限于某一个具体知识的教学，而需要将本单元零散的数学知识、思想方法加以整合，从整体上加以把握，让学生初步感知整个单元的知识结构。目标的设定需在单元整体思维的统领下，从单元教学的整体目标出发，起始课既是单元教学的第一步，又是统揽全局的重要一步，教学中的每一步和每一个环节都应置于单元教学的整个系统之中考虑。
3.学生学情分析
学生已经学习过分数及其运算，这为分式的学习奠定了知识基础，提供了学习经验，并且学生初步具备了“观察、分析、归纳”的基本能力。但是学生对于为什么要学习分式，为什么可以将分式与分数类比，怎样进行类比等一系列问题很少考虑，但这些问题又非常关键。因而达成教学目标，学生还需要明白在根据情境提出问题、解决问题的过程中，利用类比的思想研究问题，从而有效地突破重点和难点，获得研究一类问题的方法。因此，本节课的难点是：明白为何可以类比分数、怎样类比分数研究分式的内容。
4.教学策略分析
从章头图的长方形面积、火车行驶两个情境出发，提出问题、解决问题并进行数学应用，让学生感受分式不仅与分数形式相同，而且分式有类似于分数的性质的过程，形成分式类比分数学习的基础，获得分式一章的知识结构，即分式的概念、分式的性质、分式的运算和分式方程。教师启发诱导，解惑讲授，学生在“情境—问题”的引领下，经历表示分式的抽象活动，发现一类新的代数式，而后基于长方形面积情境，设计“等宽长方形”操作及问题，让学生体会分式值的不变性，进而类比分数解决“分式如何学”的问题，而后基于火车行驶情境，提出新的问题，抽象出分式的运算，并类比分数的运算法则加以学习。进一步地，由火车行驶问题建构分式方程，体会分式方程的求解策略。对于不同认知基础的学生，鼓励学生质疑提问，合作交流。教学过程的基本流程如图所示。
5.教学过程设计
5.1基于情境，引发学习动机
情境1：
已知长方形的面积为2，一边长为3。
问题1：
（1）求另一边长。
（2）若长方形的面积不变，一边长为4，求另一边长。一边长为5呢？一边长为a呢？
（3）若长方形的面积为3，一边长为a，求另一边长。长方形的面积为b，一边长为a呢？
情境2：京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一。
问题2：
（1）如果货车的速度90km/h，客车的速度是货车的2倍。货车从北京到上海需要多少时间？客车从北京到上海需要多少时间？
（2）如果货车的速度akm/h，客车的速度是货车的2倍。货车从北京到上海需要多少时间？客车从北京到上海需要多少时间？
（3）若经过技术升级，货车提速10km/h。货车从北京到上海需要多少时间？
设计意图：设置长方形面积、火车行驶的情境，让学生根据情境大胆提出问题并尝试解决，得到一系列熟悉或不熟悉的数学式子，如：，，，，，，，，，，，符合学生的认知，引发学习兴趣，给学生创造一定的思维空间，形成数学学习的动机和需要，进而感受学习的必要性，即回答“为什么要学习分式”的问题，即现实生活中有很多地方用到分式的知识，当然由数到式也是数学发展的必然。
5.2基于问题，形成分式概念
问题3：观察式子：，，，，，，，，，，，其中哪些式子是你们熟悉的、学过的？哪些不熟悉？两类式子有哪些相同点和不同点？
生解决问题，完成表格：
分数
新代数式
相同点
都是“分数”形式
不同点
分子
整数
整数或含有字母
分母
整数
一定含有字母
师生共同总结分式的概念。
设计意图：对新的式子与分数从两个方面加以比较：（1）从形式上发现其相同点，都有分数线，本质上都是除法运算的结果；（2）分别从分子、分母上找两类式子的不同点，分数的分子都是整数，新代数式的分子可以是整数，也可以含有字母；从分母上来看，分数是整数，新代数式的分母含有字母。进而概括分式的本质属性，加以命名（此处没有必要精致概念，只是通过本质属性的提炼进而命名分式）。此时，师生共同归纳：研究定义就是要通过实例来发现一类数学对象的共同特征。
问题4：当长方形面积为2，一边长为a时，则表示什么？那么，分式还可以表示其它的实际意义吗？请举例说明。
问题5：回顾前面的长方形情境，当a=3时，=；当a=4时，=；当a=5时，=；用具体的数值代替分式中的字母，就能得到相应的分式的值。对于分式，当a=－3时，分式的值为多少？
追问1：选择一个你喜欢的a的值，求分式的值。
追问2：a
能取所有实数吗？a
能取
0
吗？
为什么？
设计意图：经历了前面分式概念的概括过程，引导学生解释分式，让学生感受分式存在于很多实际问题之中，同一个分式有不同的实际意义。师生共同回顾前面的情境，引导学生类比代数式，发现分式需要研究值的大小（值域）和字母的取值范围（定义域），提出问题，尝试解决。学生可以先结合长方形面积实例，明确用具体的数值代替分式中的字母，就能得到相应的分式的值。当分式中的字母取定数值后，分式的值可以为某些分数，通过这一环节让学生体会分式不仅与分数形式相同，它们之间一定还存在其他的数学联系。
5.3拼接矩形，感悟分式性质
问题6：按要求拼一拼，想一想。
材料：全等的长方形纸片若干张（如图2）。
操作方法：
（1）1张长方形纸片的面积为b，一边长为a，则另一边长为
。
（2）如图3，2张长方形纸片拼成的大长方形面积为2b，一边长为2a，则另一边长为
。
（3）如图4，3张长方形纸片拼成的大长方形面积为3b，一边长为3a，则另一边长为
。
（4）n张长方形纸片的拼成的大长方形面积为nb，一边长为na，则另一边长为
。
从中我们能够发现什么？
学生解决问题：另一边长可以分别表示为，，，，根据另一边长始终不变这一发现，可以得到：===，反之得到：===。
设计意图：设置拼接大长方形的活动，通过长方形纸片的增加导致大长方形面积的扩大，一边长随之扩大，而另一边长始终不变这一前提，引导学生提出问题，发现=与=，即分式的分子分母同时乘以或除以同一个数，分式的值不变，即分式的性质。
5.4联系实际，获得研究方法
问题7：如表1，乒乓球与网球是两种球类运动，它们都是单人或者双人进行比赛；比赛场地都是用网相隔，并且规定球要直接打到对方的区域，这些都是显而易见的，并且两者在形式上有如此多的相似之处。显然，大家更熟悉乒乓球这项运动，这项运动还有很多其它的规则，那对于不熟悉的网球，你能知道网球的其它规则吗？
表1
乒乓球
网球
都是单人或者双人进行比赛
相似之处&
都是单人或者双人进行比赛
比赛场地都是用网相隔
比赛场地都是用网相隔
球要直接打到对方的区域
球要直接打到对方的区域
交换发球
联想
交换场地
……
……
追问：前面的研究发现，分式式不仅与分数形式相同，还有与分数相类似的性质。我们小学就学习了分数，分数的内容很熟悉，那大家是否知道如何研究分式？
设计意图：根据乒乓球和网球有很多的相似之处这一特点，可以跳跃地联想到网球比赛的规则中也可能有乒乓球“交换发球”和“交换场地”等规则，这就是类比。借助乒乓球和网球的这个隐喻，回想分数的基本性质，发现分式不仅与分数形式相同，分式还有与分数相类似的性质，从而明晰我们可以大胆地参照分数去学习分式其他各部分的知识。师生共同归纳：研究性质，就是联系分数的基本性质，研究分式值的不变性，进而研究分式的其它各部分内容。因此，让学生明确如何学习分式，及对分式将要学习什么有一个预期。
5.5类比分数，把握分式运算
问题8：京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一。如果货车的速度akm/h，客车速度是货车的2倍，两车都驶完全程，哪一辆车用时多？多多少小时？
追问：若经过技术升级，现在货车速度为(a+10)km/h，则货车原来用时是现在的几倍？
学生解决问题，可以列式：－，参照分数的加减运算法则尝试解决，－=－==。有学生还提出可以这样解答：－=－=，即先约分，再加减。
对于追问，可以列式：÷，参照分数的乘除运算法则可以解决。
师生总结：研究分式运算需参照分数的运算（如通分、约分、运算法则等）。
设计意图：通过对两种车辆行驶时间大小的比较，自然地引入分式的加减乘除运算，学生在尝试解决的过程中，结合“乒乓球和网球”规则联系的隐喻，联想到分数的运算，从而参照分数的运算（通分、约分、运算法则）研究分式。
5.6回到情境，初识分式方程
问题9：京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一。如果货车的速度akm/h，客车的速度是货车的2倍，已知从北京到上海的货车比客车多用6h，求货车的速度。
学生解决问题，根据路程、速度和时间三者的关系，已经知道了路程，当车辆行驶的速度确定时，行驶的时间也就确定了，而情境中的相等关系非常明确，即从北京到上海的货车比客车多用6h，因而自然地引入构建方程模型求解。
设货车的速度为akm/h，则客车的速度为2akm/h，根据相等关系，可以列式：－=6。学生根据前面分式加减运算的结果得到：=6，进而得到6a=731，则a=，即货车的速度为km/h。
设计意图：方程是刻画现实世界的重要模型，而分式方程是分式与分式或分式与整式之间建立等量关系。在此应关注学生对实际问题中相等关系的把握，尝试建构，并初步感受转化为整式方程是解决此类方程的关键所在。在方程的解决过程中教师有必要提出今后研究的方向，如分式方程转化为整式方程后，有没有问题？有什么问题？师生共同归纳：分式问题转化为整式问题。
5.7构建框图，升华研究过程
本节课我们通过设置两个基本情境，提出一系列问题，先后研究了分式的概念——分式的性质——分式的运算——分式方程，现在有必要再次梳理它们关系，如图1。
问题10：我们是按照什么样的思路研究分式这一章的知识的？研究的方法是什么？
设计意图：回顾本节课的探究过程，梳理研究思路，使学生形成分式这一章的学习框图。从知识方面讲，我们搭建了从分式概念、性质、运算、方程的学习框图，而这些都是我们用数学的眼光从现实问题从抽象出来的。那我们是如何研究的呢？一开始，在概念的学习中，我们发现分式与分数只是形式相同，隐隐约约感觉有一点数学联系，经过性质的探究，发现分式不仅与分数形式相同，而且它们的性质也是类似的。故大胆推测分式在其它方面也是与分数类似的，这种方法在数学上称为类比，进而将教学内容升华。
二、教学反思
1.
创设数学情境，
注重以问题为纽带的教学
美国教育家布鲁巴克认为：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题。”哈佛大学流传的名言：“教育的真正目的就是让人不断地提出问题、思索问题。”他们认为：学生总是充满好奇和疑问的，他们走进教室的时候，带着满脑子的问题。老师在回答他们问题的过程中，有意通过情境、故事、疑问、破绽等激发学生产生更多的问题。情境是学科观念、思维模式和探究技能逐渐形成，（跨）学科知识和技能不断结构化的基础。
本案例中，学生面对长方形面积、火车行驶等情境，通过联想、想象和反思，发现数量关系的内存联系，进而提出问题、研究问题、解决问题的策略和方法，从而抽象出分式、分式的基本性质、分式的运算和分式方程等数学内容。学生不仅基于情境提出了一系列与分式相关的材料知识性问题，更重要的是在教师的引导下提出并解决了其主体内化性问题，即“我要去哪里”，“我如何去那里”，“我怎么判断我已到达了那里”。按照这种教育理念，我们的教学不应单以知识传授为目的，更应该重视在求知过程中激发学生的问题意识、逐步加深问题的深度、探求解决问题的方法、形成学生自己对解决问题的独立见解为目的。同时，此过程伴随着一种积极的情感体验，其表现为对新知识的渴求，对客观世界的探索欲望，对数学的热爱等。
2.基于学生起点，注重以思维为核心的教学
《学记》云：“善教者，使人继其志。”起始课的教学就像是将一颗种子埋在学生心中，教师明晰教学内容和目标后，不是直接“传输”给学生要学的内容，而应从学生已有的数学和生活经验及教学发展的需要出发，确定教学起点，不仅让学生知道要学什么，更重要的是明白为什么学，怎么去学，让学生深入、合理、清晰地思考，从而发展思维，学会学习。
本节课自始至终由分数到分式的类比学习，从一开始的概念学习中，我们发现分式与分数只是形式相同，并感觉有一定的数学联系，而后经过性质的探究，发现分式不仅与分数形式相同，而且它们的性质也是类似的。从而得到了类比的前提条件，即类与类之间有很多的相同属性，故大胆推测分式在其它方面也是与分数类似的。上述类比过程自始至终，贯穿本节课，体现了类与类之间归纳推理，关注学生的逻辑推理能力。而且这样的方式给出了学生“如何学”的主线，在学生了解分式研究方法的同时，也学会了如何用类比的方法获得新的知识，努力做到“授人以鱼”的同时“授人以渔”。
（观察、分析）
（猜想、探究）
（求解、反驳）
（学做、学用）
分式概念
分式性质
分式运算
分式方程
分数概念
分数性质
分数运算
相似之处
类比
设置情境
提出问题1
提出问题2
……
解决问题1
解决问题2
……
通分
约分
图1
图2
图3
图4
？(共16张PPT)
苏科数学
分
式
【情境1】
已知长方形的面积和其中一边的长，求另一边的长。
【情境2】
京沪铁路全长1462km，
货车从北京到上海需要多少时间？
如果货车的速度90km/h，
【情境2】
京沪铁路全长1462km，
（1）货车从北京到上海需要多少时间？
（2）客车从北京到上海需要多少时间？
（3）若经过技术升级，货车速度为(a+10)km/h，则该货车从北京到上海需要多少时间？
如果货车的速度akm/h，
客车的速度是货车的2倍，那么：
【问题3】
其中哪些式子是你们熟悉的、学过的？
【问题3】
与
分数
相同点
不
同
点
都是“分数”形式
分子
分母
整数
整数或含有字母
整数
都含有
字母
新的式子
分式
当长方形面积为2，一边长为a时，则
表示
。
【问题4】
那么，分式
还可以表示其它的实际意义吗？
请举例说明。
我们知道：
另一边长
【问题5】
回到情境1：
，
当a=3时，
；
当a=4时，
；
当a=5时，
；
【问题5】
对于分式：
，
当a=－3时，
选择一个你喜欢的a的值，求分式的值。
追问：
a
能取
0
吗？
为什么？
【问题6】
按要求拼一拼，想一想。
材料：若干张全等的长方形纸片（如下图）。
一张长方形纸片的面积为b，一边长为a，则另一边长为
。
【打个比方】
单人或双人进行比赛；
比赛场地用网相隔；
球要直接打到对方的区域；
交换发球；
交换场地；
……
单人或双人进行比赛；
比赛场地用网相隔；
球要直接打到对方的区域；
相似之处
联想
？
&
【问题7】
如果都走完全程，哪一列车用时多？
京沪铁路全长1462km，
如果货车的速度akm/h，
客车的速度是货车的2倍，那么：
多多少小时？
【问题7】
货车原来用时是现在的几倍？
京沪铁路全长1462km，
如果货车的速度akm/h，
若经过技术升级，现在货车速度为(a+10)km/h，那么：
【问题8】
已知从北京到上海的货车比客车多用6h，求货车的速度。
京沪铁路全长1462km，
如果货车的速度akm/h，
客车的速度是货车的2倍，那么：
【小结提升】
我们是按照什么样的思路研究分式这一章的知识的？
分数
现实问题
类比
抽象
研究的方法是什么？
苏科数学
谢谢！
