沪教版（五四制）七年级数学下册寒假复习 01 实数的概念及数的开方学案（含答案）

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日期
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课程编号
01
课型
新课
课题
实数的概念及数的开方
教学目标
了解实数的意义，会按要求对实数进行分类
了解平方根与算数平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义
了解立方根和开立方的概念
了解n次方根的概念和意义
教学重点
1.理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，
并能用根号加以表示
2.掌握开立方、立方根和平方根的区别
3.掌握n次方根基本的概念和性质
教学安排
版块
时长
1
实数的概念和分类
35
2
数的开方
35
3
数的方根运算和应用
50
/
知识点1：实数的概念
1、无限不循环的小数叫做无理数．
注意：
1)整数和分数统称为有理数；
2)圆周率π是一个无理数．
2、无理数也有正、负之分．
如、、等这样的数叫做正无理数；
、、这样的数叫做负无理数；
只有符号不同的两个无理数，如与，与，称它们互为相反数．
3、有理数和无理数统称为实数．
（1）按定义分类
（2）按性质符号分类

填空：
1、若一个数不是有理数，那这个数一定是 数；
2、 正数， 整数， 无理数；(填“是”或“不是”)
3、圆的周长与直径的比值 常数， 有理数， 无理数．(填“是”或“不是”)
【难度】★
【答案】1、无理数；2、不是，不是，是；3、是，不是，是
【解析】1、实数不是无理数就是有理数；2、开方开不尽的数都是无理数；3、是无限不
循环小数，为无理数．
【总结】考查实数的分类．
已知四个命题，正确的有（ ）
（1）有理数与无理数之和是无理数； （2）有理数与无理数之积是无理数；
（3）无理数与无理数之和是无理数； （4）无理数与无理数之积是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★★
【答案】A
【解析】（1）正确；（2）错误，比如0乘以任何无理数得0，结果为有理数；（3）错误，比
如；（4）错误，比如
【总结】考查无理数与有理数的运算．
判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示．
（1）实数不是有理数就是无理数． （ ）
（2）无理数都是无限不循环小数． （ ）
（3）带根号的数都是无理数． （ ）
（4）无理数都是无限小数． （ ）
（5）无理数一定都带根号． （ ）
（6）两个无理数之和一定是无理数． （ ）
（7）两个无理数之积不一定是无理数． （ ）
【难度】★
【答案】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）√．
【解析】（1）√；（2）√；（3）×，比如；（4）√ ；（5）×，比如；
（6）×，比如； （7）√．
【总结】考查无理数与小数的关系，以及无理数与无理数的运算．
把下列各数分别填到相应的数集里边．
，，，，，，，，，
有理数{ }；
无理数{ }；
正数{ }；
负数{ }．
【难度】★★
【答案】有理数{ ，，，，}；
无理数{，，，，}；
正数{，，，，}；
负数{，，，，}．
【解析】因为，所以是有理数．
【总结】考查实数的分类，注意按照要求填空．
开平方：
定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方．
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．这个数叫做被开方数．
如，，的平方根是．
说明：
只有非负数才有平方根，负数没有平方根；
平方和开平方互为逆运算．
算术平方根：
正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”．
★注意：
1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；
2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数
2略写；
3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．
二、开立方：
1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方．
2、如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数．
★注意：
任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；
零的立方根是0；
一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．
三、开次方：
1、求一个数的次方根的运算叫做开次方．叫做被开方数，叫做根指数．
如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根．
当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根．
★注意：
实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示．其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数；
正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）；
负数的偶次方根不存在；
零的次方根等于零，表示为．
填空：
1、一个正方形的面积为15，则它的边长是___________；
2、一个数的算术平方根为，这个数为___________；
如果的平方根是，则______；如果的算术平方根是，则______．
【难度】★
【答案】1、；2、3；（3）0，0或1．
【解析】3小题中注意正数的平方根有两个，互为相反数，但是1的算术平方根还是1．
【总结】考查平方根、算术平方根的定义．
下列说法中正确的是（ ）
A．4是8的算术平方根 B．16的平方根是4
C．是6的平方根 D．没有平方根
【难度】★
【答案】C
【解析】A错误，4是16的算术平方根；B错误，16的平方根为±4；D错误，当时，
有平方根．
【总结】考查平方根、算术平方根的定义．
下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】D
【解析】正确的应为．
【总结】考查开方运算的运用．
若，则（ ）
A．-0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.49
【难度】★【答案】B
【解析】将B放入中可得等式成立．
【总结】本题实际上是求0.49的平方根，有两个互为相反数．
若实数满足，则（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【难度】★
【答案】B
【解析】为非负数且不能等于0．
【总结】只有非负数才有算术平方根，两个数的商为1，则说明这两个数相等．
若有意义，则的值一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【难度】★★
【答案】C
【解析】因为，所以，所以．
【总结】本题一方面考查平方根有意义的条件，另一方面考查平方根的性质．
（1）若，，则_________；
（2）的平方根是_____________，算术平方根是___________；
（3）若，则x的平方根是 ．
【难度】★★
【答案】（1）1或5；（2），；（3）±4．
【解析】（1）由题意可得，，∴；
（2）∵，∴的平方根是，算术平方根是；
由题意可得：，则，所以16的平方根是±4．
【总结】本题主要考查平方根的运算和性质，注意题（2）中实际上问的是5的平方根，而不是25的平方根．
计算：
（I）求下列各数的平方根:
(1)0； (2)； (3)； (4)．
（II）求下列各数的立方根：
(1)0.216； (2)； (3)； (4)．
【难度】★★
【答案】（I）(1)0； (2)； (3)； (4)±4．
（II）(1)0.6； (2)； (3)； (4)．
【解析】（I）（4），则其平方根为±4；
（II）（4），故0.064的立方根是0.4．
【总结】考查平方根、立方根的求法，注意任何一个非负数的平方根都有两个，任何一个实数都有立方根．
（1）若，化简=__________________；
（2）已知是小于1的正数，则 ．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）∵， ∴；
（2）∵是小于1的正数，∴， ∴．
【总结】考查平方根的运算，注意的运用．
简答：
（1）已知某数的平方根是与，求这个数；
（2）已知与是同一个数的平方根，求这个数．
【难度】★★
【答案】（1）16；（2）64或16.
【解析】（1）由题意可得：，∴，∴，则这个数为16．
当时，∴，∴，则这个数为64；
当时，∴，∴，则这个数是16，
故这个数为64或16．
【总结】本题主要考查平方根的概念和性质，要充分理解本题的两种说法的不同，对于（2）要注意分类讨论．
下列说法：
①16的4次方根是2；②的运算结果是；
③当n为大于1的奇数时，对任意实数有意义；
④当n为大于1的偶数时，只有时有意义．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
【难度】★★【答案】D
【解析】①错误，正确应为±2；②错误，正确应为2；③正确；④正确；故选D．
【总结】考查开方运算，注意偶数指数幂开方结果为两个值且被开方数为非负数．
求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）2；（3）；（4）；（5）2．
【解析】（1）； （2）；
；（4）；
（5）．
【总结】本题主要考查开方的运算，注意符号的变化．
比较大小：
_____； _____；_____（填“>”“<”“=”）．
【难度】★★【答案】<，>，>．
【解析】，绝对值大的负数反而小．
【总结】本题主要考查无理数的大小比较．
填空：
（1）的整数部分是______，小数部分是_______；
（2）的整数部分是______，小数部分是_______．
（3）适合于不等式的整数有 ．
【难度】★★★
【答案】（1）8，；（2），；（3）3、4、5．
【解析】（1）∵，∴整数部分为8，小数部分为；
∵，∴整数部分为，小数部分为；
∵，所以满足题意的整数为3、4、5．
【总结】考查无理数比较大小的运用，注意常见的平方数，例如4、9、16、25、36、49、64、81等．
填空：
已知，，，则________，________；
已知，，则______，________；
已知，，，则__________，
___________．
【难度】★★★
【答案】（1）1.23，1230000； （2）24.93，0.7882； （3）6.127，．
【解析】（1）11.09往左移动一位小数点为1.109，则中123往左移动两位小数点为1.23；
故，同理可得：；
中6.213往右移动两位数为，则2.493往右边移动一位数为24.93；
中62.13往左移动两位数为，则7.882往左边移动一位数为0.7882；
中0.23往右移动三位数为，则0.6127往右边移动一位数为6.127；
中23往右移动三位数为，则2.844往左边移动一位数为28.44；
则
【总结】本题主要考查开方运算的运用，注意观察被开方数与方根之间的小数点移动的关系．
已知，且，求的平方根．
【难度】★★★
【答案】±1．
【解析】∵，∴．∵，∴，∴，
所以的平方根为±1．
【总结】本题主要考查平方根的运算及运用，注意符号的要求．
若，且，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵， ∴．
∵，∴， ∴．
【总结】本题综合性较强，主要考查完全平方公式与平方根的综合运用，注意讨论取值范围．
数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；
应用：与整式、分式的综合应用．
当为什么数时，下列各式有意义．
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★
【答案】（1）为任意实数；（2）为任意实数；（3）；
（4）为任意实数；（5）；（6）．
【解析】开奇数次方的被开方数为任意实数，开偶次方的被开方数为非负数．
【总结】考查开方运算的条件．
（1）若有意义，则的取值范围是 ；
（2）为何值时，有意义?
（3）使得有意义的条件是 ．
【难度】★【答案】（1）且；（2）；（3）且．
【解析】（1）∵且，∴且；
∵且，∴；
∵且，∴且．
【总结】考查分式有意义的条件和开方运算有意义的条件的综合运用．
填空：
（1）的立方根与的平方根之和为 ；
（2）若与互为相反数，则的平方根为 ．
【难度】★★【答案】（1）或0；（2）±1．
【解析】（1）的立方根是，的平方根是±2，两者之和为或0；
（2）∵+=0， ∴且， ∴，，
∴，故的平方根为±1．
【总结】本题主要考查平方根、立方根的求法和性质，注意题（1）中，实质上是求4的平方根，而非16；题（2）主要是考查非负数的和为零的基本模型．
已知是的算术平方根，是的立方根，求的值．
【难度】★★【答案】3．
【解析】由题意有：，，则，， ∴，．
所以A为1，B为2，∴．
【总结】本题主要考查平方根、立方根的综合运用．
已知，求的值．
【难度】★★【答案】．
【解析】由题意可得：，
∴，，∴．
【总结】本题一方面考查平方根的性质，另一方面考查分式值为零的条件，解题时注意从多个角度去考虑．
若，求的立方根．
【难度】★★★【答案】2．
【解析】由题意，可得：， ∴，，
∴，所以的立方根为2．
【总结】本题主要考查平方根有意义的条件及求立方根的运算的综合运用．
已知分别是484，784的算术平方根，而是-343的立方根，试求代数式的值．
【难度】★★★【答案】1
【解析】由题意可得：，，，
∴．
【总结】考查平方根和立方根的求法，以及公式的综合运用．
填空题：
数，，，，，，中，无理数的个数为
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【难度】★ 【答案】B
【解析】，，是无理数．
【总结】考查无理数的概念．
填空：
（1）的平方是_________，的平方根是_________；
（2）的平方根是_________，的平方根是_________；
（3）的立方根是_________，的立方是_________；
（4）_________的四次方根为．
【难度】★【答案】（1）81，±3；（2）±3，；（3），9；（4）256．
【解析】（1），则平方为81，的平方根为±3；
（2），则其平方根为±3；，则其平方根为
（3），则其立方根为；，则其立方为9
（4）因为，所以256的四次方根为．
【总结】本题主要考查次方根的运算，注意分清楚n的奇偶性．
判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由．
（1）无限小数都是无理数 ( )
（2）若a表示一个实数，则－a表示一个负数 ( )
（3）数轴上的点与有理数一一对应 ( )
（4）任何实数的偶次幂是正实数 ( )
（5）在实数范围内，若，则 ( )
【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×．
【解析】（1）×，无限小数也有无限循环小数，为无理数；
×，若a表示一个负数，则－a表示一个正数；
×，数轴上的点与实数一一对应；
×，不为零的一个数的0次幂为1；
（5）×，若，则或．
【总结】考查实数的分类，绝对值及次方的运算．
写出两个在3和4之间的无理数________．
【难度】★【答案】．
【解析】这样的无理数有无数个，只要在到之间的开方开不尽的数字都符合题意．
【总结】考查无理数的大小比较．
下列等式：①，②，③，④
⑤，⑥，正确的有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【难度】★【答案】A
【解析】①错误，，②正确，③正确，④正确，⑤错误，，⑥正确．
【总结】考查次方根的运算．
一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．1，-1或0
【难度】★【答案】B
【解析】一个数的平方根是它本身，则这个数为0，注意1的平方根为±1，不为它本身．
【总结】考查平方根的定义．
下列各组数中互为相反数的是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★【答案】A
【解析】B、C、D答案中两数值相等．
【总结】考查次方根运算及相反数的意义．
把、、、、从小到大排列（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★★【答案】A
【解析】，∴；∵，，∴
∴．
【总结】考查实数比较大小的方法：平方法等的运用．
如果是实数，那么下列说法正确的是（ ）
A．是奇数 B． C． D．
【难度】★★【答案】C
【解析】A错误，是偶数时结果为偶数；B错误，是0时结果为相等；D错误，是0
时结果为相等．
【总结】考查实数比较大小和开方运算．
求下列各数的值：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）0.1；（3）4；（4）4；（5）；（6）1；（7）2；（8）4.
【解析】（3）； （4）；
（7）； （8）．
【总结】考查次方根的运算．
已知，求的四次方根．
【难度】★★
【答案】±2．
【解析】由题意有：且，∴且，
∴，∴的四次方跟为±2．
【总结】考查平方根有意义的条件及四次方根运算的综合运用．
因为，所以，同样，因为，所以由此猜想___________________．
【难度】★★★
【答案】111111111．
【解析】找规律有多少个1．
【总结】找出数字的运算规律，注意进行分析归纳．
已知的整数部分为，小数部分为，求的值．
【难度】★★★
【答案】1．
【解析】∵， ∴的整数部分为3，小数部分为，
即． ∴．
【总结】本题综合性较强，主要是考查如何求一个无理数的整数部分和小数部分，另外还考查了简单的实数运算，注意能简便运算时要简便运算．
/
下列各根式无意义的是（ ）
B． C． D．
【难度】★【答案】C
【解析】C答案中被开方数为-25，为负数．而被开方数应为非负数．
【总结】考查被开方数有意义的条件．
下列结论正确的是（ ）
A．一个正分数的正的平方根比原数大
B．因为实数的开方和乘方是逆运算，所以
C．若是的立方根，则也是的立方根
D．任何实数都有两个平方根
【难度】★【答案】C
【解析】A错误，例如的正平方根比原数小；B错误，当为偶数且为负数时表达式没
有意义；D错误，负数没有平方根，0的平方根只有0．
【总结】考查平方根、立方根的概念．
一个数的立方根是它本身，则这个数的平方根是（ ）
A．1或-1 B．0或-1 C．-1或1 D．1，-1或0
【难度】★【答案】D
【解析】一个数的立方根是它本身，则这个数为0，1，-1，而-1没有平方根，0的平方根为
0，1的平方根为±1，则选D．
【总结】考查平方根、立方根的特征，注意非负数的平方根有两个，互为相反数．
若，则（ ）
A． B． C． D．
【难度】★【答案】C
【解析】∵，∴，∴．
【总结】考查n次方根的运算．
把下列各数分别填入相应的集合里：

正数集合｛ ｝；
分数集合｛ ｝；
有理数集合｛ ｝；
无理数集合｛ ｝．
【难度】★
【答案】正数集合｛ ｝；
分数集合｛｝；
有理数集合｛｝
无理数集合｛ ｝
【解析】有理数分为整数和分数，小数（包括有限小数和无限小数）都是有理数．
【总结】考查实数的分类．
判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．
（1）0是最小的实数 ( )
（2）0是绝对值最小的实数 ( )
（3）不存在绝对值最小的无理数 ( )
（4）不存在绝对值最小的实数 ( )
（5）不存在与本身的算术平方根相等的数 ( )
（6）比正实数小的数都是负实数 ( )
（7）非负实数中最小的数是0 ( )
【难度】★★
【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）×；（5）×；（6）×；（7）√．
【解析】（1）×，负数比0小；（2）√；（3）√；（4）×，绝对值最小的实数为0；（5）×，存在，0和1；0和1的算术平方根与本身相同；（6）×，除负实数还有零；（7）√．
（n是正整数）的值是（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．以上都可能
【难度】★★【答案】D
【解析】当时，结果为0，当为负数时，结果为负数；当为正数时，结果为正数．
【总结】考查开方运算的性质．
填空：
（1） ， ；
（2）的四次方根是 ，的六次方根是 ；
（3）奇次方根是本身的实数有 ．
【难度】★★
【答案】（1）-6、0；（2）、；（3）0、1、-1．
【解析】（1）∵，且，∴；
∵，∴其六次方根为．
【总结】考查n次方根的运算．
若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★【答案】B
【解析】在分母上，所以不能为0．
【总结】考查绝对值的运算．
计算：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）
【难度】★★
【答案】（1）16；（2）-0.7；（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）3；（8）2．
【解析】（5）；（6）；（8）．
【总结】考查n次方根的运算，注意运算符号的变化．
已知：，求的5次方根．
【难度】★★★【答案】1．
【解析】∵，
∴，∴且，则，
∴，则的5次方根为1．
【总结】考查完全平方公式的逆用及方根的运算．
x、y分别是的整数部分和小数部分，求的值．
【难度】★★★【答案】1
【解析】∵，∴， ∴，
∴．
【总结】本题主要考查如何求一个无理数的整数部分和小数部分，以及无理数的相关运算．
若，求的值．
【难度】★★★【答案】．
【解析】∵，
∴且且， ∴
∴．
【总结】本题综合性较强，一方面考查了几个非负数的和为零的基本模型，以及开立方的运算．