沪教版（五四制）七年级数学下册寒假复习 02-用数轴上的点表示实数及分数指数幂学案（含答案）

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日期
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课程编号
02
课型
新课
课题
用数轴上的点表示实数及分数指数幂
教学目标
用数轴上的点表示实数，并且会求任意一个实数的绝对值、相反数
两个实数的大小比较
求数轴上两点间的距离
4.分数指数幂的意义及计算
5.有理数指数幂的意义及计算
教学重难点
1.用数轴上的点表示实数以及数轴上两点间的距离
2.分数指数幂的意义及计算
3.有理数指数幂的意义及计算
教学安排
版块
建议时长
1
用数轴上的点表示实数
40min
2
分数指数幂
50min
3
随堂检测
30min
4
课后作业
30min
.
实数的绝对值、相反数
（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a的绝对值记作．
（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．实数的相反数是．
2、两个实数的大小比较
两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．
负数小于零；零小于正数．
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．
3、数轴上两点之间的距离
在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点之间的距离为
．
填空：
（1）的相反数是________；的相反数________；0的的相反数是________．
（2）的绝对值是_______；即∣∣=______；的绝对值是______；即∣∣=_____；
0的绝对值是________．
【难度】★
【答案】（1），，0；（2），，，，0．
【解析】负数的相反数和绝对值都等于它的相反数；正数的相反数和绝对值都等于它本身；
0的相反数和绝对值都等于0．
【总结】考察相反数和绝对值的求法．
不用计算器，比较下列每组数的大小：
（1）与； （2）与； （3）与； （4）与．
【难度】★
【答案】（1）>；（2）<；（3）>；（4）>．
【解析】负数比正数小；负数绝对值越大，反而越小；无理数比较大小可以采用平方法．
【总结】考察实数比较大小．
比较大小：
（1）_____； （2）_____；
（3）_____； （4）_____．
【难度】★
【答案】（1）<；（2）<；（3）>；（4）<．
【难度】★
【解析】负数比正数小；负数绝对值越大，反而越小；无理数比较大小可以采用平方法．
【总结】考察实数比较大小．
在数轴上表示的点可能是（ ）
【难度】★【答案】D
【解析】∵，∴在4到5之间，故选D．
【总结】考察实数比较大小和无理数在数轴上的表示方法．
如图，已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是、、、，O为原点，求线段OA、OB、OC、OD的长度．
思考：如何求线段BC，AB，AD，BD，AC的长度呢?
【难度】★★
【答案】，，，
，，，，，．
【解析】，，，，
，，，
，．
【总结】考察数轴上两点间距离的求法．数轴上的某一点到原点的距离等于它的绝对值；数轴上的两点之间的距离等于右边的点对应的实数与左边的点对应的实数之差．
下列各组数中，互为相反数的一组是( )
A．与 B．与 C．与 D．与2
【难度】★★【答案】A
【解析】B答案中相等，C答案中互为倒数，D答案中相等．
【总结】考察相反数、绝对值等定义．
填空：的相反数是________；绝对值是________；________；
________；若，则________．
【难度】★★
【答案】，，，1，．
【解析】．
【总结】考察相反数、绝对值的计算．
如果实数、在数轴上表示如图所示，那么下列结论中，哪些结论是错误的?
①；②；③；④．
【难度】★★【答案】④
【解析】∵，，∴，
∵，∴，
∴①②③正确，④错误．
【总结】考察数轴上实数比较大小．
在数轴上点A所表示的数是3，点B到点A的距离是，请写出点B所表示的数．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】设B所表示的数为，则由题意可得：
，解得：或
∴点B所表示的数为或．
【总结】考察数轴上两点之间的距离求法．
如图，实数在数轴上所对应的点是，化简代数式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵，∴，，
∴．
【总结】本题主要考查含绝对值的代数式的化简，注意先判定实数的正负．
用计算器，比较下列各组数的大小：
（1）与； （2）与；
（3）与； （4）与．
【难度】★★★
【答案】（1）＜；（2）＞；（3）＞；（4）＜．
【解析】（1）∵，，∴，∴；
，，∴；
，，∴；
，，∴，∴．
【总结】本题主要考察无理数的比较大小，平方法和立方法是常用的比较二次根式和三次根式的方法．
已知，，且，求的值．
【难度】★★★ 【答案】-1或-5
【解析】因为，，∴，．
因为，∴，∴或．
∴或．
【总结】考察绝对值的化简和开方运算的综合运用．
数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，点B关于点A的对称点为点C．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）求点C所表示的数是多少?
（3）在数轴上描出点A，B，C．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）；
设点C所表示的数为，则由题意可得：
∴，解，
∴点C所表示的数是．
（3）数轴如下：

【总结】考察数轴上数的点的表示和两点间距离的求法．
有理数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：
，，其中m、为正整数，．
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数．
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂．
有理数指数幂的运算性质：
设，，、为有理数，那么
（1），；
（2）；
（3），．
把下列方根化为幂的形式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】考察分数指数幂的表示方法．
【总结】注意倒数的表示方法．
把下列分数指数幂化为方根形式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】考察分数指数幂与根式的互化．
【总结】注意倒数的表示方法．
计算（口答）：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★
【答案】（1）3；（2）11；（3）；（4）4；（5）5；（6）．
【解析】考察分数指数幂的运算方法．
【总结】注意在此类计算中，开偶次方运算的结果只有一个值，没有正负两个值．
计算下列各值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）16．
【解析】（3）；
（4）．
【总结】这个公式的运用还有另外一种形式：，对于数字的运算这种形式的应用比较方便．
计算下列各值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）6；（2）10；（3）2；（4）4．
【解析】（1）； （2）；
； （4）．
【总结】考察分数指数幂运算方法和有理数指数幂运算的性质的综合运用．
计算（结果表示为含幂的形式）：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）； （2）；
； （4）．
【总结】考察分数指数幂运算方法和有理数指数幂运算的性质的综合运用，注意结果用幂的形式表示．
把下列各式化成幂的形式：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）； （2）； （3）．
【总结】考察分数指数幂运算方法和有理数指数幂运算的性质的应用方法．特别注意（3），
的结果为一个非负数，但是指数幂如果约分后为，当为正数时，则结果为正数，当为负数时，则结果为负数，则有矛盾，所以结果要加绝对值，保证结果是非负数．
计算下列各值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）4．
【解析】（1）；
；
；
．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的运用，注意计算时要细心．
利用幂的性质计算（结果表示为含幂的形式）：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）； （2）；
；
（4）．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的运用．
已知，求的值．
【难度】★★★【答案】．
【解析】根据开平方根的性质可得：且，∴，代入原式中可得：．
∴．
【总结】考察开平方根的性质和幂指数的运算．
计算：
（1）； （2）．
【难度】★★★【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用．
利用幂的性质计算：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★★
【答案】（1）2；（2）；（3）．
【解析】（1）； （2）；
（3）．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的运用，综合性较强．
已知：，，求的值．
【难度】★★★【答案】．
【解析】．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的运用，注意计算时逆用了幂的运算性质，综合性较强，注意方法的总结和归纳．
填空题：
把下列方根化为幂的形式.
（1）_____； （2）_____； （3）_____； （4）_____．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】考察分数指数幂与方根形式的转化．
【总结】注意倒数形式的变化．
把下列方根化为幂的形式．
（1）； （2）； （3）．
【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（3）
【总结】有多个根号的时候从最里面的根号开始变形．
已知数轴上、、三点表示的数分别是，，，求与、与两点距离．
【难度】★【答案】，．
【解析】，．
【总结】考察数轴上两点之间的距离的求法．
（1）=________；=________；=________；
（2）当a【难度】★★
【答案】（1）；；；（2）．
【解析】非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．
【总结】本题一方面考查了实数的大小比较，另一方面考查了绝对值的化简，注，，这两个近似数经常会用到，需要熟记．
如果在数轴上表示、两个实数的点的位置如图所示，化简：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由数轴可知：，
∴，，
∴．
【总结】考察实数比较大小及含绝对值的代数式的化简．
计算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）125；（2）9；（3）；（4）．
【解析】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用，10以内的数的立方要熟记．
计算（将结果表示为方根的形式）：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）； （2）；
．
【总结】考察分数指数幂的运算及与根式的互化，注意最终结果要表示成方根的形式．
若、互为相反数，、互为倒数，求的值.
【难度】★★【答案】1．
【解析】由题意可得：，，∴，
∴．
【总结】考察相反数和倒数的定义．
不用计算器，比较下列各组数的大小：
（1）与； （2）与； （3）与； （4）与．
【难度】★★【答案】（1）＜；（2）＜；（3）＞；（4）＜．
【解析】比较大小可以用平方法．
【总结】无理数比较大小可以用平方法，注意负数绝对值越大的反而越小．
数轴上的点A，B，C，D依次表示为，，，2．
（1）在数轴上指出A，B，C，D；
（2）求下列两点之间的距离：A与D，B与C．
【难度】★★
【答案】（1）数轴如下：

（2），．
【解析】（1），，，所以A、B、C、D如图所示；
，．
【总结】考察数轴上的点的表示方法及数轴上两点之间的距离．
在数轴上点A所表示的数是，点B到点A的距离是，请写出点B所表示的数．
【难度】★★【答案】或．
【解析】设B所表示的数为，则由题意可得：，
解得：或， ∴点B所表示的数为或．
【总结】考察数轴上两点之间的距离表示方法及根据距离求点所表示的数．
计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★★★
【答案】（1）3；（2）3；（3）；（4）；（5）400；（6）．
【解析】（1）； （2）；
；（4）；（5）；
（6）．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用．
已知，，求的值．
【难度】★★★【答案】．
【解析】．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的运用，计算时逆用了幂的运算法则，注意对方法的归纳总结．
利用幂的性质运算：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★★【答案】（1）；（2）4；（3）．
【解析】（1）；
；
（3）
．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用，本题综合性较强，计算量较大，计算时注意法则的准确运用，特别是（3）要化为同底数之后再进行计算．
已知：，，求的值．
【难度】★★★ 【答案】1．
【解析】∵，，∴，，
（第一个等式左右两边同时开次方，第二个等式左右两边同时开次方）
∴， ∴， ∴．
【总结】本题综合性较强，主要考察开方与乘方之间的关系，通过适当的变形，表示出的形式，要注意对方法的归纳总结．
下列说法错误的是( )
A．数轴上的点和全体实数是一一对应的 B．，为实数，则
C．实数中没有最小的数 D．实数中有绝对值最小的数
【难度】★【答案】B
【解析】B答案错误，因为不能确定的符号，所以不能确定大小．
【总结】考察实数和数轴的相关概念．
在实数范围内，下列判断正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【难度】★【答案】D
【解析】A答案错误，当均为负数时，则不成立；B答案错误，正确答案应为
或； C答案错误，正确答案应为或．
【总结】考察绝对值运算和开方运算．
求下列各数的绝对值和相反数：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★【答案】见解析．
【解析】（1）绝对值为，相反数为；（2）绝对值为，相反数为；
（3）绝对值为，相反数为；（4）绝对值为，相反数为．
【总结】考察绝对值和相反数的概念以及求任意一个实数的绝对值和相反数．
填空：
（1）负数与它的相反数之差的绝对值是______；
（2）绝对值小于的整数有______；
（3）点到原点的距离为，则点表示的实数为________；
（4）如果，，且，则_______；
（5）已知、互为相反数，、互为倒数，，，则式子 的值是_______．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5；（3）或；
（4）0；（5）．
【解析】（1）；（2）∵，∴绝对值小于的整数有-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5；（3）点表示的实数为或；
（4），，∵，∴，∴；
（5）由题意可得：，，，，
．
【总结】考察绝对值运算、实数比较大小等．
比较大小（用“<”或“>”或“=”填空）．
（1）2.2______； （2）_______；
（3）______； （4）______．
【难度】★★【答案】（1）＜；（2）＞；（3）＜；（4）＞．
【解析】（3）∵，，∴．
【总结】考察实数比较大小，注意选择恰当的方法．
如果实数b在数轴上对应的点到原点的距离等于，那么b的值是什么?
【难度】★★【答案】．
【解析】数轴上的点到原点的距离等于这个数的绝对值．
【总结】注意答案有两解．
已知数轴上、、、四点所对应的实数分别为，，，．
（1）在数轴上描出四个点的大致位置；
（2）求与，与两点的距离．
【难度】★★
【答案】（1）数轴如下图：
（2），．
【解析】（2），．
【总结】考察数轴上的点的表示和距离的求法．
、、三个数在数轴上的点如图所示，求．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由数轴可得：，
∴，，，
∴．
【总结】考察数轴上实数比较大小和绝对值运算．
用幂的运算性质计算：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★【答案】（1）1；（2）；（3）．
【解析】（1）；
；
．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用．
计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★★【答案】（1）；（2）9；（3）20；（4）-34．
【解析】（1）；
（2）； （3）
（4）．
【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用，注意计算时要细心一些．
若，，求的值．
【难度】★★★【答案】2或4．
【解析】由题意可得：，．
当时，；当时，；
当时，；
当时，，综上，的值为2或4．
【总结】考察平方根的求法及分类讨论思想的运用．
已知，求的值．
【难度】★★★【答案】．
【解析】由，得，所以．
∵，且，
∴．
【总结】本题综合性较强，主要考查了完全平方公式的运用，注意要判定所求的代数式的正负，然后再进行计算．