沪教版（五四制）七年级数学下册寒假复习 03-实数的运算及有效数字学案（含答案）

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知识点1：实数比较大小
正数＞0＞负数；
比较两数大小是中学数学中的基本类型．基本技能，以下介绍几种常用的方法：
1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；
2．平方法：将两个数先平方，再来判定两个数大小的方法；
3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．即大于、等于、小于0可判定大于、等于、小于；
4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．即大于、等于、小于1，可判定正数大于、等于、小于正数；
5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的，两数，若，则；若，则．
知识点2：数轴上两点的距离公式
在数轴上，如果点A．点B所对应的数分别为a．b，那么A．B两点的距离．
知识点3：实数的运算
在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．
实数运算常用到的公式有：
第一组：；；
第二组：；．
填空：
1．在数轴上，原点左边是 实数，原点右边是 实数，原点为0；
2．数轴上右边的点所表示的数 左边的点所表示的数．
【难度】★【答案】1．负，正；2．大于．
【解析】考查实数的大小比较的最基本方法．
化简：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★【答案】（1）； （2）；（3）24；（4）；（5）；（6）18．
【解析】（2）原式=； （4）原式=；
原式=．
下列各式计算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★【答案】C
【解析】A、原式=2；B、原式；D、左边=，右边=2，所以不相等．
【总结】考查实数的基本运算，注意法则的准确运用．
比较下列各数的大小（填“＞”．“＝”或“＜”）
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） 4； （5） ； （6）π ．
【难度】★★【答案】（1）<； （2）>； （3）< ； （4）< ； （5）> ； （6）<．
【解析】（1）< ； （2）>；
< ； （4）；
（5）>； （6）<．
【总结】考查实数的比较大小，注意平方法是最常用的方法，一些常用的近似数要熟记．
比较大小：
（1）________（平方法）；
（2）（取倒法）________．
【难度】★★【答案】（1）< ； （2）<．
【解析】（1）∵，，
∴；
（2）∵ > ， ∴．
【总结】考查利用平方法比较实数的大小．
下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【难度】★★【答案】D
【解析】A、a、b可能一个为正一个位负，错；B、错；C、a可能是负数，错；D、正确．
【总结】考查实数的相关概念及运算，注意从多个角度去分析．
如果，，且，则________．
【难度】★★【答案】0．
【解析】∵，∴b=4，又∵ab<0，∴a=-4，∴．
【总结】考查实数的基本运算，注意判定a、b的符号．
化简：
（1）如果在数轴上表示两个实数的点的位置如图所示，化简：
（2）如图，实数在数轴上所对应的点是，化简代数式．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）1．
【解析】（1）由图易知， ∴=；
（2）由图易知，∴原式．
【总结】本题主要考查含绝对值的代数式的化简，注意判定绝对值里的数的正负．
计算：（1）； （2）．
【难度】★★【答案】（1）7； （2）0．
【解析】（1）原式=； （2）原式=．
【总结】考查实数的基本运算，注意符号的变化．
计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=； （4）原式=．
【总结】考查实数的基本运算，能简便运算时要简便运算．
计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）原式=；
原式=；
原式=；（4）原式=．
【总结】考查实数的基本运算，注意公式及法则的准确运用．
设的小数部分为，的小数部分为，求的值．
【难度】★★【答案】2．
【解析】∵， ∴， ，
∴，
∴，
∴．
【总结】本题综合性较强，主要考查了求一个无理数的整数部分和分数部分，要注意对方法的归纳总结．
若，则_________．
【难度】★★【答案】．
【解析】由二次根式的定义得：，， ∴．
【总结】本题主要考查平方根性质的运用及实数的基本运算．
已知，，且，求的值．
【难度】★★★【答案】10．
【解析】由题意，得：，又∵， ∴，∴x=10．
【总结】本题主要考查开方与乘方的综合运用，注意两者的区别．
化简下列各式：
（1）； （2）（其中）；
（3）．
【难度】★★★【答案】（1）； （2）； （3）见解析．
【解析】（1）原式=；（2）原式=；
（3）当时，原式； 当2 当x时，原式．
【总结】考查实数的基本计算及含绝对值的化简，注意要分类讨论．
已知，求的立方根．
【难度】★★★【答案】．
【解析】由题意，知：，∴．
∴， ∴的立方根是．
【总结】考查非负数的和为零的基本模型以及求实数的立方根的运算．
化简：________； ________．
【难度】★★★【答案】（1） ； （2）．
【解析】（1）原式；（2）原式=．
【总结】考查复合二次根式的化简，综合性较强，注意方法的总结，教师讲解时选择性讲解．
已知：，求（1）；（2）；（3）．
【难度】★★★【答案】（1）23； （2）； （3）
【解析】（1）；
∵，且， ∴；
∵，∴．
【总结】考查完全平方公式在实数运算中的运用，注意对符号的判定．
已知
【难度】★★★【答案】2017．
【解析】由题已知：，
∴，
∴，两边同时平方得，∴．
【总结】本题主要考查平方根有意义的条件，及平方运算的运用．
已知是实数，且，则的值为_________.
【难度】★★★【答案】．
【解析】∵， ∴，
∴原式=．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用及实数的运算及化简，通过配完全平方求字母的值是实数运算中常用的方法，注意总结．
知识点：有关概念
1．准确数概念：
一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．
2．近似数概念：
与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．
☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．
☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）
3．精确度概念：
近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．
☆近似数的精确度通常有两种表示方法：
精确到哪一个数位；
保留几个有效数字．
4．有效数字概念：
对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．
下列数据中，哪些是近似数?哪些是准确数?
（1）上海科技馆的建筑面积约98000平方米；
（2）我们班9位同学的身高为1.65米；
（3）地球赤道的半径为6378千米；
（4）据国家统计局在2005年12月公布的经济普查结果，我国2005年GDP总量达到159878亿元．
【难度】★【答案】见解析．
【解析】（1）98000近似数；（2）9准确数，1.65近似数；（3）6378近似数；（4）2005、12
准确数，159878近似数．
已知，按四舍五入法取近似值．
（1）__________（保留五个有效数字）；
（2）_________（保留三个有效数字）；
（3）0.045267_________（保留三个有效数字）．
【难度】★【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453．
【解析】考查有效数字的概念及四舍五入法的运用．
月球沿一定的轨道绕地球运动，它在近地点时与地球相距363300km，在远地点时地球相距405500km．按下列精确度要求，用科学记数法表示这两个数的近似数：
（1）精确到万位； （2）保留三个有效数字．
【难度】★★
【答案】（1）、； （2）、．
【解析】考查科学记数法及有效数字表示．
下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字?
（1）5691； （2）0.0589； （3）650000；
（4）0.003亿； （5）．
【难度】★★
【答案】（1）个位，4个； （2）万分位，3个； （3）个位，6个
（4）十万位，1个； （5）千位，2个
【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．
已知圆锥，其中为底边圆半径，为圆锥的高.一圆锥形仓库，底边直径为，高为，若每立方米的货物重，则这个仓库堆有货物多少千克?（，结果精确到万千克）
【难度】★★【答案】3万千克．
【解析】kg≈3万千克．
【总结】考查基本公式的应用，注意精确度的要求．
在地面上围建一个花坛，底部形状设计如图，它的外周由圆弧ABC与正方形ADEC的三条边组成．已知圆弧的半径r=OA=AD，∠AOC=60°，正方形ADEC的面积为30，求花坛底部的周长（，保留三个有效数字）．
【难度】★★★【答案】45.1m．
【解析】∵正方形ADEC的面积为30平方米，∴AD=，
∴．
【总结】考查弧长和正方形的面积和周长，综合性较强
填空题：
数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为_________．
【难度】★【答案】9．
【解析】．
【总结】考查数轴上两点间距离的计算．
把用四舍五入法保留三个有效数字的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★【答案】D
【解析】考查四舍五入法及有效数字的概念．
精确到的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★【答案】C
【解析】末尾是6要进1，∴精确到0.01是0.60．
【总结】主要考查对精确度的理解，注意四舍五入的运用．
若有意义，则的值一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【难度】★【答案】C
【解析】∵有意义，∴，∴是非正数．
【总结】主要考查平方根的性质的运用．
数轴上表示实数的点在表示的点的左边，则的值（ ）
A．正数 B．负数 C．小于 D．大于
【难度】★【答案】C
【解析】由题已知：，∴原式=，
∴．
【总结】考查数轴上点的大小及含绝对值的计算及化简．
无论为何实数，的值一定是（ ）
A．大于15 B．大于等于15 C．小于15 D．小于等于15
【难度】★★【答案】B
【解析】，∴大于等于15
【总结】考查完全平方公式的应用．
比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和； （3）和．
【难度】★★【答案】（1）> ； （2）> ； （3）>．
【解析】（1）∵，∴；（2）∵，∴；
（3）∵，∴．
【总结】考查实数的比较大小．
已知两数在数轴上表示如下：化简：．

【难度】★★【答案】0
【解析】由图知，∴原式=0．
【总结】考查数轴上点的大小及利用平方根的性质进行化简．
若，则化简_________．
【难度】★★【答案】1．
【解析】∵，，∴，∴原式=．
【总结】主要考查利用平方根的性质化简代数式及求值．
若，则_________．
【难度】★★【答案】4．
【解析】由题已知：，∴，，∴．
【总结】本题一方面考查平方根的性质，另一方面考查非负数的和为零的基本模型的运用．
若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★【答案】B
【解析】．
【总结】考查完全平方公式的应用．
计算：
； （2）；
； （4）；
（5）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）1； （5）．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
原式=；（4）原式=；
（5）原式==．
【总结】考查实数的基本运算，注意公式及法则的准确运用．
设的小数部分为，取的值是（ ）
A． B． C．是一个无理数 D．无法确定
【难度】★★★【答案】B
【解析】∵， ∴的整数部分为2，∴，
∴原式=．
【总结】本题主要考查求无理数的整数部分与小数部分的运用．
计算下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★★【答案】（1）4； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）原式=；
原式=；
原式=；
原式=．
【总结】本题主要考查实数的综合运算，包含了零次幂及平方根和立方根的综合运算，综合性较强，计算时注意符号的确定及法则的准确运用．
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近似数0.0010000有______个有效数字．
【难度】★【答案】5
【解析】考查有效数字的概念．
把用四舍五入法保留三个有效数字的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★【答案】D
【解析】考查四舍五入及有效数字．
计算的结果是_________．
【难度】★【答案】．
【解析】原式=．
【总结】考查平方根及立方根的综合运算．
计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★【答案】（1）； （2）； （3）； （4）7．
【解析】（1）原式=；（2）原式=；
（3）原式=；（4）原式=．
【总结】本题主要考查实数的运算，注意公式和法则的准确运用．
比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和 ； （3）和．
【难度】★★【答案】（1）> ； （2）> ； （3）<．
【解析】（1）， ∴；
， ∴；
，∴．
【总结】本题主要考查实数的比较大小．
已知在数轴上的位置如图所示，化简：．
【难度】★★【答案】．
【解析】由图知，
∴原式=．
【总结】考查数轴上的点的大小比较，及利用平方根的性质进行化简．
计算下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）17．
【解析】（1）原式=；
原式=；
原式=；（4）原式=．
【总结】本题主要考查实数的运算，注意能简便运算的时候要简便运算．
已知：分别是的整数部分和小数部分，求的值．
【难度】★★★【答案】1
【解析】∵， ∴的整数部分为1，即a=1，∴，
∴原式=．
【总结】本题主要考查求无理数的整数部分与小数部分，以及实数运算的综合运用．
已知，且，求的值．
【难度】★★★【答案】．
【解析】，∴．
【总结】考查完全平方公式在实数运算中的运用．
已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于，是的一个平方根，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵x、y互为相反数，∴x+y=0； ∵互为倒数， ∴ab=1；
∵c的绝对值等于5， ∴； ∵是z的一个平方根，∴z = 9，
∴原式=．【总结】本题考查的知识点比较多，包含了相反数、倒数的概念及实数的基本运算．