沪教版（五四制）七年级数学下册寒假复习 04-实数复习学案（含答案）


1.实数的分类
2．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法．
★数轴三要素：______________________________；
3．相反数：a，b互为相反数 a+b=0；
4.绝对值：|a|=___________；
5．倒数：a，b互为倒数 即：ab=1；
6．近似数、有效数字：常见的近似数一般是按某种要求采用四舍五入法所得的数，有效数字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字；
7．科学计数法：N=________×__________.
填空：
这些数中：
有限小数有_________________________________________________；
无限小数有_________________________________________________；
有理数有________________________________________________；
无理数有_______________________________________________；
实数有_______________________________________________；
小数有______________________________________________．
【难度】★【答案】略．
【解析】有限小数：；无限小数：；
有理数：；无理数：；
实数：；
小数：．
【总结】小数不一定是分数，但分数一定是小数；；有理数包含无限循环小数，所以注意也是有理数．
请你辨别：
如图1是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形
/
图1
边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个．
【难度】★【答案】3、6．
【解析】∵， ∴有理数3个，无理数6个．
【总结】考查有理数与无理数的概念及运用．
下列语句正确的是（ ）
A．3.78788788878888是无理数
B．无理数分正无理数、零、负无理数
C．无限小数不能化成分数
D．无限不循环小数是无理数
【难度】★【答案】D
【解析】A、3.78788788878888是有限小数，无理数是无限不循环小数，错；B、0是有理
数，错；C、无限循环小数可以化成分数，错；D、正确．
【总结】考查实数的基本概念及分类．
填空：
（1）在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________；
（2）已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________；
（3）设实数a≠0，则a与它的倒数、相反数三个数的和等于____________，
三个数的积等于______．
【难度】★【答案】（1）0、-1； （2）正数； （3）、．
【解析】考查实数的基本概念及一些特征数，要熟记．
填空：
实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a___________0，a+b _______0，
________0，化简=________．
【难度】★★【答案】<、>、<、．
【解析】由图可知：，且，
∴，，， ．
【总结】考查数轴的认识及含绝对值的化简．
比较下列各式的大小：
（1）－2与－； （2）与1.4．
【难度】★【答案】（1）> ； （2）>．
【解析】∵，
∴，， ∴；(2)∴．
【总结】本题主要考查实数的比较大小，对于常见的无理数的近似值要熟记．
指出下列近似数分别精确到哪一位，并回答有几个有效数字?
（1）98.765； （2）98.765万； （3）12.30亿； （4）．
【难度】★★【答案】 略．
【解析】（1）千分位，5个；（2）十位，5个；（3）百万位，4个 ；（4）百分位，5个．
【总结】本题主要考查有效数字及精确度的综合运用．
当人造地球卫星的运行速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时，它能环绕地球运行，已知第一宇宙速度的公式是v1= (米/秒），第二宇宙速度的公式是v2= (米/秒)，其中g=9.8米/秒，R=6.4×106米.试求第一、第二宇宙速度（结果保留两个有效数字）．
【难度】★★【答案】，．
【解析】第一宇宙速度：；
第二宇宙速度：．
【总结】考查实数的基本运算在实际问题中的运用，注意对精确度的要求．
三个数在数轴上的点如图所示，化简：．
【难度】★★【答案】．
【解析】由图知，∴原式=．
【总结】考查数轴上的点的大小比较及绝对值的化简．
点A、B在数轴上所对应的实数分别为，点C也在数轴上，且CA为AB的三分之一．求：B、C之间的距离?
【难度】★★【答案】或．
【解析】因为AB的距离为，所以当C在A、B之间时，BC=；
当C在点A的左侧时，BC=．
【总结】考查数轴上点两点间的距离的计算，注意分类讨论．
比较下列各式的大小：
（1）和；（2）和；（3）和．
【难度】★★【答案】（1）< ； （2）<； （3）<．
【解析】（1）∵， ∴；
∵， ∴；
∵，
又，，
而99×98>120×77 ，
∴，
∴．
【总结】考查实数的比较大小，作差法和平方法是常用的方法．
已知5+的小数部分为a，的小数部分为b，求：
（1）的值； （2）的值．
【难度】★★★【答案】（1）1； （2）．
【解析】∵，∴，
∴； ．
【总结】考查实数的运算及无理数的整数部分和小数部分的确定．
当时，求：
．
【难度】★★★【答案】．
【解析】原式 =
== =．
【总结】本题综合性较强，涉及到了二次根式的化简，教师选择性的讲解，解题方法则类似“分数的裂项”思想进行化简．
化简下列各式：
（1）； （2）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）见解析．
【解析】（1）原式=；
当时，原式； 当3 当时，原式．
【总结】考查利用“零点分段发”化简含绝对值的代数式，注意要分类讨论．
1．平方根，_________；
2．立方根:若；
3．N次方根: 实数a的奇数方根有且只有一个，用表示；
★实数a的偶数方根有两个，为、-，其中a＞0；
负数的偶次方根不存在；
零的n次方根等于零，；
(a≥0)， (a＞0)，其中m、n为正整数，n＞1．
判断题：
（1）－0.01是0.1的平方根．（ ）（2）－52的平方根为－5．（ ）
（3）0和负数没有平方根．（ ） （4）因为的平方根是±,所以=±．（ ）
（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数．（ ）
【难度】★【答案】（1）×； （2）×； （3）×； （4）×； （5）√．
【解析】（2），负数没有平方根，×；
（3）0的平方根是0，×；
（4），表示的是的算术平方根，×．
【总结】考查平方根的概念及其性质．
判断题：
（1）如果b是a的三次幂，那么b的立方根是a；（ ）
（2）任何正数都有两个立方根，它们互为相反数；（ ）
（3）负数没有立方根；（ ）
（4）如果a是b的立方根，那么ab≥0．（ ）
【难度】★
【答案】（1）√； （2）×； （3）×； （4）√．
【解析】（1）正确；（2）任何正数都只有一个立方根，错；（3）负数有立方根，错；
（4）一个数的立方根与它具有相同的正负形，对．
【总结】考查立方根的概念及性质．
若，，则a+b的值为（ ）
A．0 B．±10 C．0或10 D．0或－10
【难度】★★【答案】D
【解析】∵，∴，， ∴，∴或0．
【总结】考查平方根及立方根的基本概念及性质．
下列说法中，正确的是（ ）
A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C．负数没有立方根D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1
【难度】★★【答案】D
【解析】A、负数没有平方根，错；B、0的立方根是0，错；C、负数有立方根，错．
【总结】考查平方根及立方根的性质的运用．
将下列式子化成分数指数幂的形式：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）； （4）； （5）．
【解析】（1）；
（2）原式=；
（3）原式=;（4）；
（5）．
【总结】本题主要考查分数指数幂与根式的互化，注意计算过程中的恒等变形．
（1）若有意义，则x范围是________；
（2）如果a＜0，那么=________，()2=________．
【难度】★★【答案】（1）； （2）、．
【解析】（1）∵有意义，∴；
（2）∵a＜0，∴，．
【总结】考查平方根的意义及性质的运用．
用“<”、“>”或“=”号填空：
（1） ____； （2） ____；
（3）－ ____； （4）－ ____．
【难度】★★【答案】（1）<； （2）>； （3）<； （4）<．
【解析】（1）∵，∴；
∵，∴；
∵，∴；
∵，∴．
【总结】考查立方根与平方根的大小比较，注意方法的总结．
解答：
（1），求x和y的值；
（2）已知，求a+b的值．
【难度】★★【答案】（1）； （2）或．
【解析】（1）由题意知：，∴；
由题意知：，∴=，
∴．
【总结】考查非负数的和为零的基本模型的运用．
（1）已知和分别是某整数的平方根，求这个整数；
（2）已知+|b3－27|=0，求(a－b)b的立方根．
【难度】★★★【答案】（1）1； （2）-7．
【解析】（1）由题意，得：，∴这个整数是1；
（2）由题意，得：，∴，
∴．
【总结】考查正数的平方根互为相反数的运用及非负数的和为零的基本模型的计算．
解答：
已知：=102，=0.102，求x的值；
已知：，，，求的值．
【难度】★★★【答案】（1）0.010404； （2）262.1．
【解析】（1）∵， ∴；
（2）．
【总结】本题主要考查根据已知条件进行求值，主要是总结根号里面的数的小数点移动位数与相应的结果的小数点移动位数间的关系．
实数的运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；若有括号，先算括号内的值；同一级运算应从左至右，按顺序进行；若需改变运算顺序，必须依据运算律进行.
计算：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=．
【总结】考查实数的运算．
计算：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★【答案】（1）； （2）； （3）10； （4）4．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=； （4）原式=．
【总结】考查实数的运算，注意法则的准确运用．
计算：
（1）； （2）．
【难度】★★【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式=；（2）原式=．
【总结】考查实数的运算，包含了整数指数幂的运算及其绝对值的化简．
计算：（1） （2）．
【难度】★★【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题主要考查有理数指数幂的运算，注意性质的准确运用．
计算：
（1）； （2）（）．
【难度】★★★【答案】（1）； （2）0．
【解析】（1）原式；
（2）原式=．
【总结】本题综合性较强，主要考查含有字母的根式的化简，教师可以选择性的讲解．
先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，使得
，，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，，由于4+3=7，
即，
∴==
（1）由上述例题的方法化简：；
（2）化简：①； ②．
【难度】★★★【答案】见解析
【解析】（1）；
(；
(．
【总结】本题主要考查学生的阅读理解能力，根据题目中给出的方法，对平方根进行化简，主要是利用完全平方的思想结合平方根的性质进行化简．
填空题：
判断正误：
（1）有理数包括整数、分数和零；（ ）
（2）无理数都是开方开不尽的数；（ ）
（3）不带根号的数都是有理数；（ ）
（4）带根号的数都是无理数；（ ）
（5）无理数都是无限小数；（ ）
无限小数都是无理数．（ ）
【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）√；（6）×．
【解析】（1）有理数包括整数和分数，零是整数，错；（2）无理数是无限不循环小数，错；
没带根号，是无理数，错； （4）是有理数，错；
无理数是无限不循环小数所以无理数是无限小数，对；
无限循环小数是有理数，错．
【总结】考查实数的相关概念，注意进行正确的辨析．
m是一个整数的平方数，那么和m相邻且比它大的那个平方数是（ ）
A．m+2+1 B．m+1 C．m2+1 D．以上都不对
【难度】★【答案】A
【解析】∵， ∴A正确．
【总结】本题主要考查对平方数的理解．
下列各式中，无意义的是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★【答案】A
【解析】∵， ∴无意义，故选A．
【总结】考查平方根的定义及有意义的条件．
如果+有意义，那么代数式|x－1|+的值为（ ）
A．±8 B．8 C．与x的值无关 D．无法确定
【难度】★【答案】B
【解析】由题意知，∴原式．
【总结】考查平方根被开方数的非负性．
4、、15三个数的大小关系是（ ）
A．4<15< B．<15<4
C．4<<15 D．<4<15
【难度】★【答案】A
【解析】，故选A．
【总结】考查平方根的比较大小．
（1）若，，则=______；
（2）若与是互为相反数，则=______．
【难度】★★【答案】（1）； （2）9．
【解析】（1）原式=；
（2）由题意，知：，
∴．
【总结】考查实数的运算及对相反数的理解及运用．
计算：
（1）（+）（－）； （2）－－2．
【难度】★★【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题主要考查实数的运算．
一个正方体的体积是28360厘米3，试估算正方体的棱长(可用计算器，保留3个有效数字)；
【难度】★★【答案】30.5cm．
【解析】，即正方体的棱长约为30.5厘米．
【总结】考查实数的运算在实际问题中的运用，注意对有效数字的准确理解．
计算：
（1）； （2）．
【难度】★★【答案】（1）16； （2）3．
【解析】（1）原式=；（2）原式=．
【总结】考查实数的运算，注意对整数指数幂及零次幂的准确计算．
（1）若x、y都是实数，且y=++8，求x+3y的立方根；
（2）若+有意义，求的值．
【难度】★★★【答案】（1）3； （2）．
【解析】（1）由题意，知：，， ∴；
（2）由题意，知:．
【总结】本题一方面考查平方根有意义的条件，另一方面考查立方根的计算．
解答：
（1）已知，求的平方根；
（2）已知，求的算术平方根．
【难度】★★★【答案】（1）； （2）．
【解析】（1），
∴的平方根为；
∵，
∴，所以ab的算术平方根为．
【总结】本题综合性较强，主要考查对平方根及算术平方根的理解，计算时注意方法的灵活性，千万不要死算．
/
写出下列数字精确到哪一位，有效数字有几个?分别是什么?

【难度】★【答案】略
【解析】万位、4个；百万分位、3个；个位、5个；千分位、6个．
【总结】考查对有效数字及精确度的理解．
填空：
（1）的平方根是___________； （2）的平方根是_________ ；
（3）的立方根是___________； （4） 的次方根是_____________；
（5）的六次方根是____________； （6）的5次方根是_____________．
【难度】★【答案】略．
【解析】（1），8的平方根是；
，0.3的平方根是；
因为，所以8的立方根是2； （4）的次方根是；
的六次方根是； （6）的5次方根是．
【总结】考查求n次方根的运算，注意非负数的偶次方根有两个，互为相反数．
数轴中有3个点，其中点的算术平方根是3，点表示的是面积为10的正方形的边长，点表示的是9.8的正平方根，将、、从小到大排列．
【难度】★
【答案】．
【解析】由题意，知：， ∴．
【总结】考查实数的比较大小．
按要求写出下列数字：
（1）987654321 精确到百位；
（2）0.0012345 保留四个有效数字．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）0.001235．
【解析】有效数字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字．
【总结】考查对有效数字及精确度的理解．
将下列分数指数幂化成方根的形式：
（1）； （2）； （3）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（3）原式=；（4）原式=．
【总结】考查(a≥0)， (a＞0)，其中m、n为正整数，n＞1的运用．
计算：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）16．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】考查实数的运算，注意对零次幂的正确理解及完全平方公式的准确运用．
在数轴上的位置如图所示，化简：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由图知：，所以，
∴原式=．
【总结】本题一方面考查数轴上的点所表示的数的大小比较及平方根性质和绝对值化简的综合运用．
物体自由下落的高度h(米)和下落时间t(秒)的关系是：在地球上大约是h=4.9t2,在月球上大约是h=0.8t2,当h=20米时，
（1）物体在地球上和在月球上自由下落的时间各是多少？
（2）物体在哪里下落得快？
【难度】★★
【答案】（1）地球秒，月球5秒； （2）地球．
【解析】（1）地球上：秒，
月球上：秒；
（2）物体在地球上落得快．
【总结】考查实数的基本运算．
已知的小数部分是，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵， ∴，
∴．
【总结】考查无理数的整数部分和小数部分的计算及实数的综合运算．
（1）已知，求的平方；
（2）已知 求的立方根．
【难度】★★★
【答案】（1）243； （2）8．
【解析】（1）由题意，知：，
∴，∴；
由题意，知：，
∴=，
∴， ∴， ∴， ∴．
【总结】本题综合性较强，考查偶次方根有意义的条件，计算时注意对符号的判定．
已知，且，求的平方根．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，即，
∴，故的平方根是．
【总结】本题考查的知识点较多，包含了实数的运算及平方根的求解，注意认真分析题意．
已知的绝对值相等，互为倒数，的绝对值等于2，是的一个立方根，求的值．
【难度】★★★
【答案】1．
【解析】∵x、y绝对值相等，∴=0， ∵互为倒数， ∴ab=1，
∵c的绝对值等于2，∴， ∵4是z的一个立方根，∴z = 64，
∴原式=．【总结】考查相反数、倒数的概念及实数的基本运算．