课件23张PPT。重庆市珊瑚初级中学校 程小娟第一章
勾股定理 北师版八年级（上册）引入现实情境勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的应用1.1.1
探索勾股定理 重庆市珊瑚初级中学校
程小娟北师版八年级（上册） 活动一：
（1）请在方格纸上任意画一个直角三角形；
（2）用直尺测量它们的三条边长度；
（3）计算三边长度的平方；
（4）探究三边长的平方之间有什么数量关系．
探究活动二.（1）观察图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形B面积是 个单位面积．正方形C面积是 个单位面积．99918正方形A中含有 个小方格，
即A的面积是 个单位面积．探究 相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从用地砖铺成的地面中发现了直角三角形的某种特性．A、B、C的面积有什么等量关系？等腰直角三角形三边的数量关系：SA + SB= SC两直角边的平方和等于斜边的平方．SA + SB= SCABC+=1955年，希腊曾发行了一枚纪念邮票纪念毕达哥拉斯学派．
毕达哥拉斯定理（2）观察图1-3、图1-4，并填写下表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1-3图1-4169251910（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）小组活动：
组长分工，两人探究图1-3，两人探究图1-4．探究A、B、C面积的关系SA + SB= SC方法一：割方法二：补分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.方法总结认 识 赵爽“弦 图”探究 活动三： 如果直角三角形的两直角边分别为0.4个单位长度和0.6个单位长度，之前猜想的数量关系还成立吗？（请在方格纸中完成）探究A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1-5A、B、C面积的关系活动四：如图，完成表格，并回答A、B、C面积之间有什么数量关系？2810SA + SB= SC（特殊） （一般）探究??sA+sB=sC探究?????几何表述语言：探究勾股定理：跟踪练习：（口答）求下图中字母所代表的正方形面积． 应用625144【例1】
（1）求下列直角三角形的边长； 应用?已知直角三角形两边，可求第三边已知直角三角形两边关系和一边长，可求所有边长观察【变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB+AC＝8，求AC的长？可用勾股定理建立方程.方法小结:应用?整 理我学习了……
（知识）你还其他收获吗……我体会到……
（思想）教材第7页《漫画勾股世界》.读一读做一做完成教材第4页习题1.1的1，2，4题.试一试教材第4页习题4.1的3题.课后作业（必做）（选做）（必读）谢 谢 大 家!义务教育课程标准实验教科书北师大版 八年级上册第一章
第一节 探索勾股定理（第一课时）
重庆市珊瑚初级中学校 程小娟
一、教学内容解析
1. 内容
探索勾股定理（第一课时）
2. 内容解析
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关角的性质基础上进行学习的，它从边的角度进一步揭示直角三角形三边之间存在的数量关系，是解决直角三角形问题的依据之一．在数学发展史上，东西方很早就展开了对勾股定理的研究，产生了各种各样证明勾股定理的方法，并由此导出了无理数的概念，引发了数学史上的第一次数学危机．因此，勾股定理具有丰富的文化内涵，学习勾股定理可以引发学生对数学文化、数学历史的思考．同时，勾股定理的发现、验证中，蕴含着发展学生探究能力不可多得的思维材料．
本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级上册第一章《勾股定理》第一节第一课时．教材在编写时重视对学生动手操作能力和观察分析问题能力的培养，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过练习比较、推理论证，表征方式的转换，理解勾股定理。本节是已学习直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．
二、教学目标与目标解析
1.学习目标
（1）经历用方格子计算面积的办法探索勾股定理以及利用图形面积验证勾股定理的过程，渗透“特殊到一般”、“数形结合”的数学思想，培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生几何直观的数学素养．
（2）能准确利用文字语言、几何图形语言、字母符号语言表述勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单的计算和解释生活中的简单现象．
（3）利用古代中外勾股定理的发现故事，感受数学文化，热爱我国悠久文化的同时，学习多元文化，了解不同民族为人类的发展所做的贡献．
2.目标解析
勾股定理作为平面几何有关度量的最基本定理，既是对直角三角形的进一步探究，又是后续学习三角函数、四边形和圆，以及平面解析几何中两点间距离公式等的基础，它具有承上启下的作用．因此能准确地表述勾股定理，并能运用勾股定理进行简单的计算．
本课是本章的第一课时，学习内容主要是探索勾股定理而不是证明，因此需要学生通过“观察——操作——猜想——验证”的过程，在此过程中自然发展发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力．体会从特殊到一般、数形结合的思想，以及对勾股定理历史的认识．
三、学生学情分析
我任教的学校是重庆市首批示范初中，所教学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已经学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积的割补法解决问题的意识和能力还有待提高．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．
综合以上分析，确定了如下的教学重点和教学难点．
教学重点：探索和验证勾股定理．
教学难点：在方格纸上利用割补法计算面积探索勾股定理．
四、教学策略分析
本节课中采用启发式教学方法，小组讨论式合作学习方法，合理地使用多媒体和教具分解学生学习的难度．
学生遇到的第一个难点可能是在方格纸中，求利用一般直角三角形斜边构造的正方形的面积．解决这个难点的策略是设置问题台阶，先通过求等腰直角三角形斜边构造的正方形面积时，启发学生用多种方法：数格子和拼图；再通过小组合作研究“割”、“补”的方式；最后在交流展示时，利用喷绘纸描出“割”、“补”后的所求的正方形的面积，同时将面积的表示方法展示在黑板上帮助学生理解．
第二个难点可能是在直角边是小数的情况下探究勾股定理．解决这个难点的策略是引导学生回忆画数轴时如何根据实际情况选取单位长度，学生选取合适单位长度，坐标纸中完成画图，能帮助学生有效完成探究．
同时，利用板书和课件能生动、有效地帮助学生有条理开展探究活动和梳理本节课的主要学习内容，板书与课件随着学生的思维同步展开．
五、教学过程设计
（一）引入
1．幻灯片展示2002年国际数学大会的会标：
会标中四个直角三角形中的三边存在怎样的数量关系？《周髀算经》中谈到“勾三股四弦五”（画出图形），为什么两直角边分别是3和4，斜边一定是5？
【设计意图】看到会标，部分学生会想到“勾三股四弦五”．这样以学生的认知为基础引入，激发学习兴趣的同时，自然向学生渗透与勾股定理有关的历史文化，增强民族自豪感．根据教材的介绍，此时，老师可直接告诉学生：事实上，古人发现，直角三角形三条边长度的平方存在一种特殊的关系．为活动1为什么要计算直角三角形的三边平方作铺垫．
2．引出课题《探索勾股定理》——研究直角三角形三边关系．简单介绍本章内容：探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决有关问题，以此加深对直角三角形的认识．
【设计意图】本节是勾股定理的章起始课，应该让学生简单了解本章的学习内容和学习目标，明确探索和学习勾股定理的必要性．
（二）探究
活动1：（1）请在方格纸上任意画一个直角三角形；
（2）用直尺测量它们的三条边长度；
（3）计算三边长度的平方；
（4）探究三边长度的平方有什么数量关系．
师生活动：学生先自己操作，然后老师展示几何画板度量，得到基本的猜想．
问：通过计算，你画的直角三角形三边长度的平方有什么数量关系？
【设计意图】有学生会猜想到直角三角形三边平方的关系．要验证猜想结果的正确性，需要我们动手操作验证．自然想到画一个直角三角形，通过度量、计算边长的平方，初步获得结论．（因为度量存在一定的误差）我再通过几何画板出示一组直角三角形，让学生进一步观察与猜想．
再让学生回忆小学知识：正方形的面积等于边长的平方，因此直角三角形三边的平方结果可以借用正方形的面积来表示，利用几何直观，我们将计算边长的平方转化为计算正方形的面积．学生在方格纸中计算正方形的面积，是有一定基础的．这样既避免了由测量带来的误差，也拓展了计算面积的方法，自然引出活动2．
活动2：（1）观察图1-1，
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积 ；
正方形B的面积是 个单位面积，正方形C的面积是 个单位面积.
师生活动：学生口答图1-1、图1-2的面积，发现A，B，C面积之间的关系，并回答C的面积是如何计算得到的．
问：A、B、C面积之间的关系能不能分别用中间那个直角三角形的边长表示？
【设计意图】等腰直角三角形比较特殊，从“形”上来看，体现探究的过程是一个从特殊到一般的过程，自然引出下一个活动：一般直角三角形的探究．而C的面积，学生有多种算法，本例比较特殊，用凑整的方法较为简单．但学生用补成正方形或是分割成三角形的计算方法，应该要给予展示和鼓励，从而为图1-3和图1-4中C面积的计算方法做铺垫．
此时，可介绍古希腊著名数学家毕达哥拉斯从用地砖铺成的地面中发现了等腰直角三角形的某种特性．在西方，勾股定理也称为毕达哥拉斯定理，为纪念毕达哥拉斯学派，1955年，希腊曾发行了一枚邮票．在探究中自然介绍与勾股定理有关的西方文化知识．
（2）观察图1-3，图1-4，并填写下表：
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
图1-3
图1-4
小组活动：4人小组，两人探究图1-3，两人探究图1-4，主要展示C面积的算法
方法总结：
方法一（割）：分割为四个直角三角形和一个小正方形．
方法二（补）：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积．
问：直角三角形周边的三个正方形的面积与中间那个直角三角形三边的关系．
师生活动：本活动中，学生的难点是如何通过割补法求C的面积．因此教学过程中安排了小组活动．课堂中，黑板上会贴上图1-3，图1-4这两个基本图形的喷绘纸，学生用记号笔标记如何用割补法求C的面积．此时，教师引导学生观察国际数学大会的会标就是方法1中的图，并进一步说明，此图是中国古代数学家赵爽首先绘制的，我们称此图为“勾股圆方图”，赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明，比西方国家早了1000多年，下节课我们将来具体研究．
【设计意图】对一般直角三角形的探究进一步说明结论的正确性，体现从特殊到一般的数学思想．从毕达哥拉斯发现勾股定理，到引出赵爽弦图，再一次让学生了解勾股定理悠久的历史文化，了解不同民族为人类的发展所做的贡献，渗透爱国主义教育，并为下一课时用“面积法”证明勾股定理奠定基础．
活动3：如果直角三角形的两直角边分别为0.4个单位长度和0.6个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？
【设计意图】活动2中，直角三角形的直角边都是整数，为了进一步体现结论的一般性，本活动设计了直角边是小数的情况，从“数”验证结论的一般性．直角边是小数的情况，学生可能会比较困难，此时，引导学生回忆画数轴时如何根据实际情况选取单位长度，学生选取合适单位长度，并在方格纸中完成画图，能帮助学生有效完成探究．
活动4：如图，请回答A，B，C面积之间的关系
【设计意图】活动2和活动3中，直角三角形的直角边都是有理数，为了进一步体现结论的一般性，本活动设计了直角三角形三边都是无理数的情况．从教材的安排来看，实数是在勾股定理学习之后呈现的，因此在教学中学生对本图了解即可，这也是无理数发现的过程．再回到活动1中几何画板的展示，拖动直角三角形的顶点，进一步让学生了解在任意边长的情况下，直角边的平方和仍然等于斜边的平方．从等腰直角三角形到一般直角三角形，从直角边是整数到小数再到无理数，活动中体现了基于数学核心素养“直观想象”的教学理念．同时，在本活动中完善了探究方法：观察——操作——猜想——验证．
通过活动2、3、4，得到如下结论：
结论：SA+SB=Sc
隐去直角三角形周边的正方形，得到勾股定理：
☆勾股定理：如果 的两直角边分别为和，斜边为，那么 ．
几何语言：
∵ ，
∴ ．
归纳总结勾股定理过程：
（1）结合探索过程，学生用自己的语言叙述，直角三角形的两条直角边与斜边的关系；
（2）阅读教材，勾画关键词；
（3）结合图形，用数学符号表示勾股定理．
（三）应用
跟踪练习：教材第3页随堂练习第1题（口答）
【例1】（1）求下列直角三角形的边长．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB=3，，求AC的长．
【设计意图】本例是勾股定理的简单运用．通过讲解，一是老师示范解答过程；二是让学生知道：在直角三角形中，如果知道两条边的长，可用勾股定理求出第三边长．
【变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB+AC＝8，求AC的长．
【设计意图】利用勾股定理建立方程求边长是常见的方法．
【例2】理解“勾三股四弦五”
老师展示肢体语言，同时让学生跟着一起做。
【设计意图】把中国古代的数学文化用自己的肢体语言展示出来，不但能帮助学生理解勾股定理，同时比较形象地展示了数学与我们身体的关系，感受中国悠久的数学文化历史．
（四）整理
1．你学习了什么知识？
2．你体会到了什么数学思想方法？
3．你还有什么收获？
师生活动：老师和同学补充总结完之后，展示勾股树，展现勾股定理的数学美．
六.课堂教学目标检测
必做：1．阅读教材第7页《漫画勾股世界》．
2．完成教材第4页习题1.1的1，2，4题．
选做：教材第4页习题1.1的第3题．
【设计意图】课堂教学目标检测分为必做题和选做题，满足不同层次学生的学习需求，让不同层次的学生都能通过作业有所收获．特别是选做题，此题具有一定的开放性，学生在多种方案的寻求中，进一步加深对勾股定理的理解，发散学生的数学思维和创新意识．
点评稿
程小娟老师是重庆市珊瑚初级中学的一位优秀青年教师，她执教的《探索勾股定理（第一课时）》是北师大版八年级上册第一章第一节的内容。教学中，目标清晰具体、重点突出、难点预测到位、教学过程安排合理，注重学生学习主体地位的体现、落实数学核心素养，体现了教师良好的专业素养，教学效果好。主要有以下特点：
创设情境，彰显数学文化
设计2002年国际数学大会情境，通过对《周髀算经》中“勾三股四弦五”的解读，引入勾股定理。探究过程中，结合知识的生成情况，自然渗透与勾股定理相关的中西方数学文化知识，感受我国伟大的数学成就。
探究过程，落实数学素养
探索勾股定理由四个探究活动组成，学生经历“观察——操作——猜想——验证”的学习过程，掌握获取新知识的方法。学生通过画图，分割和补全图形，对图形观察、归纳、总结、提炼。在动手过程中，“割补法”贯穿于探究活动的始终，强化了几何直观的学习。
问题解决，突显主体地位
从等腰直角三角形到一般直角三角形，直角边长从整数到小数再到无理数，设计问题难度层层递进，为学生解决问题设置思维的“阶梯”。教师启发、学生自主探究、小组合作讨论、师生交流展示，问题的解决始终以学生为主体。让学生自主提炼勾股定理的文字语言、结合图形转化为数学符号语言，以及用肢体语言展示“勾三股四弦五”的过程，都是为了帮助学生实现理解勾股定理。
四、归纳整理，提炼数学思想
以探究勾股定理为载体渗透从特殊到一般的数学思想，从 “形”到“数”两个方面验证勾股定理体现了数形结合的思想，在利用勾股定理解决问题过程中渗透了方程的思想。老师展示的勾股树，渗透了数学的美。
