课件15张PPT。19.1.1 变量与函数
（第2课时）人教版 数学 八年级下册
寻找变量之间的关系：
活动一
变化过程（一）：购买单价为2元/个的橡皮擦x个和单价为1元/支的铅笔y支，共花去50元钱.寻找变量之间的关系:
活动二
变化过程（二）：下面是武汉近几年的人口数量统计表，把年份和人口数分别记作两个变量x和y.
寻找变量之间的关系:
活动三
变化过程（三）：下图是自动测温仪记录的图象,它反映了武汉市秋季某天的气温T和时间t的关系. 购买单价为2元/个的橡皮擦x个和单价为1元/支的铅笔y支，共花去50元钱.归纳以上三个实例变量之间关系的共同特点？一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量， y是x的函数．
1.下列各曲线中，表示y是x的函数的是( ) 2.下面是某次数学测验中兴趣小组同学的成绩表，把学号和分数分别记做两个变量m和n.说法正确的是（ ）A. m是自变量,n是 m的函数
B. n是自变量, m是n的函数
C. A和B的说法都是正确的
D. A和B的说法都是错误的3.根据我们这节课所学的函数概念做出判断.
（1）关系式y=x2中，y是x的函数.
（2）关系式y2=x中，y是x的函数.
（3）正方形的边长为x，面积为s.
①s是x的函数;
②x是s的函数.4.再次回到抖音视频中，里程数是年份的函数吗？年份是里程数的函数吗？观察生活，尝试构建一个变化过程，使其中的变量关系可以用y=3x+1来描述.函数
解析式法
列表法
图像法函数y=3x+1
课题：19.1.1 变量与函数(第2课时)
李君（湖北省武汉七一华源中学）
教学内容及内容解析
（一）教学内容
《19.1.1变量与函数》是义务教育教科书人教版八年级上册第十九章第一单元第一小节，教师用书上建议本单元内容3个课时完成．第1课时介绍变量与常量的概念，第2课时介绍函数的概念，第3课时介绍函数解析式和求函数值.本节课是第2课时.
（二）内容解析
函数是描述现实世界运动变化规律的一个重要模型，它刻画了变化过程中变量之间的对应关系. 函数概念是数学学科的核心概念，本课时是在学生已经掌握了二元一次方程、找规律、不等式、变量与常量的概念基础上，继续探索变化过程中的变量及变量之间的关系，让学生初步体会函数概念，同时为后续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容做铺垫. 函数概念学习过程中充分渗透了数学抽象、数学建模、直观想象等数学核心素养.
本节课的重点确定为：从实例中两个变量的关系抽象出函数的概念.
教学目标及目标解析
（一）目标
（1）了解函数的概念.
（2）能结合具体实例概括函数概念.
（3）感受函数概念的形成全过程,体会变化与对应的思想,提升数学核心素养.
目标解析
（1）能从具体实例（包括解析式、表格、图像）中辨别变量之间的关系是否为函数关系，能举出函数实例.
（2）以若干典型具体实例为背景，学生通过独立思考和小组合作探究，展开分析各实例的属性，学会从中抽象变量之间的关系，树立辩证思维，概括共同本质属性，体会参与变量的发现和函数概念的形成的全过程,归纳得出“函数”概念.
（3）体会在不同背景下变量呈现的多种形式中发现变量之间的关系,从问题情境中抽象函数概念、从图像表达中发展直观想象、返回生活实例数学建模.提升学生的数学抽象、直观想象、数学建模等多方面数学核心素养.
学生学情分析
一方面：学生在小学阶段学习过正比例关系和反比例关系，在初中也学习过二元一次方程等知识，而且在生活中也具有对两个量之间关联的体验。另一方面：我所执教班级的部分学生有校外培优，提前接触过能用解析式表达的正比例函数、一次函数的相关习题。但是概括并理解函数概念，学习中会遇到很多困难，其中主要困难在于难以概括出“一个变量的值确定导致另一个变量的值唯一确定”这一核心.
本节课的难点确定为：理解函数概念中的“单值对应”.
教学策略分析
基于本课重难点，依据知识发展的过程和学生的认知规律，本课时设计了三个层次的活动帮助学生逐步抽象概括出函数的概念.
①活动一：用解析式表达的角度理解两个变量之间的关系。
②活动二：纠正了“能解析式表达的才是函数”，函数也可以用图表来表达。
③活动三：存在不同的自变量的值都恰好对应着相同的函数值，逐步认识函数概念中的“单值对应”.
（2）本节课采用课前预习、课堂展示、课后拓展。自主学习与合作学习，通过学习共同体对学生学习产生推动作用，在辨析中质疑、在交流中碰撞，实现师生智慧互激、共同发展.把课堂交给学生，不同认知基础的学生通过合理分组、明确分工、难度适中且可操作性的数学活动，都有学习机会和提升空间.
五、教学过程设计
（一）背景引入、提出概念
上节课我们认识了变量与常量，这节课我们专门研究变量。请大家观看一段抖音，通过视频提供的信息寻找变量。
今天我们继续聚焦这些生活中变化的例子，进一步探索变量与变量之间的关系，认识函数。
板书：第二课时：变量与函数
设计意图
情境引入并复习上一节课所学内容，引起合理的选择性注意，起先行组织者作用
（二）真情实景、抽象概念
同学们，大家看到学习单上有3个探索活动，同一个变化过程中有几个变量？同一个变化过程中的变量之间有什么关系？大家在课前预习的基础上，小组交流整理，稍后我们请三个组代表分别展示成果。
活动一(买文具问题)：
橡皮擦单价为2元/个、铅笔的单价为1元/支，李老师买这两种文具刚好花完50元钱.
若买x个橡皮檫，买y支铅笔.
这个变化过程中，你能找到常量和变量吗？各有几个变量？其中一个变量的变化是怎样影响另一个变量的变化的？
设计意图
结合生活中的实例，尝试用解析式表达的角度理解两个变量之间的关系，完成对函数概念内涵的第一次抽象认识.
活动二(人口数量问题):
下面是武汉近几年的人口数量统计表，把年份和人口数分别记作两个变量x和y.
年份x
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
人口数y(万人)
1012
1022
1033
1060
1074
1091
1106
(1)表中的两个变量x和y之间有什么关系呢？
(2)对于表中的每一个确定的年份x，都有对应着的一个确定的人口数y吗？有几个?
设计意图
结合简单实例，让学生思考这些变量之间很难列式子表达. 当一个变量取定一个值时，除了解析式还可以通过查表或通过看图唯一确定另一个变量的值. 对函数从表达式角度的理解过渡到函数是两个变量之间相互依赖关系的认识，完成函数概念内涵的第二次抽象认识.
活动三(气温图问题):
下图是自动测温仪记录的：武汉市秋季某天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：
思考：
（1）天气温度随 的变化而变化，即随 的变化而变化； （2）当时间取定一个确定的值时，对应的温度的取值是否唯一确定？
(例如，当=12时23分28秒时，所得温度的取值是唯一、还是有多个值？)
设计意图
结合简单实例，让学生对函数的认识从变量之间的依赖关系(y一定随x的变化而变化)，过渡到两个变量的对应关系(存在不同的自变量的值都恰好对应着相同的函数值)，完成函数概念内涵的第三次抽象认识.
（三）合作探究、形成概念
1.你能归纳出这些变化过程中变量之间关系的共同特点吗?
归纳共同特点：
①与有没有常量无关、必须有两个变量
②与能不能用解析式表示无关
③取定其中一个变量确定值，另一个变量唯一确定.
2.函数的概念：
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
发生在我们身边的这些变化都表现为变量的对应关系，这种对应关系常常用函数模型来描述，而函数概念的形成却经历了一个长期发展的过程，根据课前预习，你能概述函数概念的发展历程吗？请我们兴趣小组的代表为大家展示
设计意图
关于函数概念的发展历史、函数中文名字的由来的探索，使学生触摸史实背后的价值.
引发冲突、辨析概念
1.下列各曲线中，表示y是x的函数的是( )
2.下面是某次数学测验中兴趣小组同学的成绩表，把学号和分数分别记做两个变量m和n.
学号m
1
2
3
4
5
6
7
分数n（分）
107
116
120
96
99
107
98
A. m是自变量,n是 m的函数
B. n是自变量, m是n的函数
C. A和B的说法都是正确的
D. A和B的说法都是错误的
3.根据我们这节课所学的函数概念做出判断.
关系式y=x2中，y是x的函数吗？
关系式y2=x中，y是x的函数吗？
正方形的边长为x，面积为s.
s是x的函数吗？x是s的函数吗？
再次回到抖音视频中，里程数是年份的函数吗？年份是里程数的函数吗？
设计意图
从解析式、图像和表格三个方面设计问题，通过正例反例的呈现，引发让学生对函数的认知冲突，辨析概念，加深对函数的理解。
归纳小结、拓展概念
课前大家预习了函数，也在学习单上写上了自己的困惑，今天这节课你的困惑解决了吗？
现在老师考验一下大家，既然函数是从生活情境中抽象出来的，你们能不能又把它放回到生活情境中去呢？尝试构建一个变化过程，使其中的变量关系可以用y=3x+1来描述.
介绍艾宾浩斯遗忘曲线
4.直观想象，感受取得的成绩与付出努力的关系
设计意图
让学生会用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学语言表达世界.培养学生直观想象的数学核心素养，体现数学育人价值.
结束语：希望大家好好学习，幸运是努力的函数，越努力越幸运。（点明课题、启迪人生）
六、课堂教学目标检测
1.一辆汽车从甲地开往乙地，开始3小时内以50千米 / 时的速度前进，但因为汽车出现故障，进行维修花去了2小时，接着以75千米 / 时的速度前进，经过2小时到达乙地．
（1）请用图象和表格表示汽车行驶的路程与时间的关系．
（时）
1
2
3
4
5
6
7
（km）
路程S和时间t具有函数关系吗？如果具有函数关系，请指出其中的自变量与函数．
你还可以怎么提问？
（选做）尝试构建一个变化过程，使其中的变量关系可以用，来描述、
尝试构建一个变化过程，使其中的变量关系可以用来描述.
设计意图
题1让学生充分体验生活实例中函数的多种表达方式，立体全方位认识函数.
题2进一步感知函数的概念，也为后面学习的二次函数、反比例函数提供生活背景.
李君老师的《变量与函数》(第2课时）的点评
武汉市第三初级中学 桂文通
1.还原概念生命活力
本节课以“函数”教学为核心，引导学生开展概括活动，将凝结在“函数”概念中的数学思维活动打开，以若干典型具体实例为载体，引导学生展开分析各实例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出“函数”概念.
2.凸显数学文化魅力
本节课很好地渗透了数学核心素养，合理地介绍函数概念的发展历史、函数一词的由来等数学史料，不但使学生了解函数概念的发展过程，而且还引导学生透过史实，触摸到史实背后的价值和观念，使其构成一种更有教育意义的积极影响；教师用激励性语句“幸运是努力的函数”结束新课，意味深长，不但点明课题，而且启迪人生.
3.引导学生参与学习
本节课通过学生的课前的自主学习（思考平板上的3个问题、对函数概念的历史追溯）、课中的学生交流展示（前面三个活动小组代表的分享、函数概念的概括与辨析）、课后的自我反思（学习困惑和收获的分享），让学生参与概念的形成、发展和应用的过程.重视自主学习与合作学习，努力体现学习共同体对学生学习的推动作用，在辨析中质疑、在交流中碰撞，很好地实现师生智慧互激、共同发展.
