课件13张PPT。提出问题-引入新课 投掷一小球，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行的高度y与飞行时间x之间满足函数关系 y= -x 2 +4x +5。
请问飞行第几秒时，飞行高度达到最大，最大是多少？问 题第二十二章 二次函数22.1.4 二次函数的图象和性质第6课时 二次函数y=ax2+bx+c
的图象和性质12如何将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式并借助它来研究函数的图象和性质。 经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质，并理解相关性质。
问题引导-展开新课之前我们研究函数都研究了它的哪些方面？问 题 解析式 图 象 性 质问题引导-展开新课你知道是怎样配方的吗？3. “化”：化成顶点式.1. “提”：提出二次项系数；2. “配”：括 号内配成完全平方式；将二次函数 转化为y=a(x-h)2+k 的形式1探究活动1：小组合作交流，将二次函数
进行配方，归纳配方的方法。问题引导-展开新课活动二：类比探究 y= = a(x-h)2 +k的图象和性质的过程和方法，探究二次函数 和 y = -2x 2 -4x+1的图象和性质。（分组合作交流，汇报探究成果）
二次函数 和 y = -2x 2 - 4x +1 的图象和性质2探究合作交流-归纳总结活动三：求二次函数y=ax2＋bx＋c的顶点式，画出简图，利用图象归纳性质，并将表格填写完整。（小组合作交流）活动合作交流-归纳总结归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 探究二次函数y= x2-6x+21的图像和性质利用新知-解决问题 例题：已知抛物线y= 2x 2 -4x -6
求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 投掷一小球，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行的高度y与飞行时间x之间满足函数关系 y= -x 2 +4x +5。
请问飞行第几秒时，飞行高度达到最大，最大是多少？问 题小球从飞出到落地需要多少时间？利用新知-解决问题师生互动-小结归纳 课堂小结
(1)这节课研究的主要内容是什么？(2)我们是如何研究的？过程和方法是什么？(3)在研究过程中你遇到了哪些问题？你是怎样解决的？布置作业-提高升华布置作业：
必做题：完成教材P41 T6（3）（4）、T7（2）
课外思考题：完成“洋葱数学”课后闯关练习
教 学 设 计
人教版·数学九年级上册第二十二章第一节
《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
宁夏石嘴山市八中 陈慧
二○一九年十月
一、教学内容分析
1、教材的地位与作用
从教学内容分析：本节课是新人教版数学，九年级上册第二十二章二次函数第一节二次函数的图象和性质第四课时的内容，本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质的基础上对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质进行研究。主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c向y=a(x-h)2+k转化，体会知识之间的内在联系。本节课的学习也为后续研究二次函数与一元二次方程关系，以及用二次函数解决实际问题提供知识基础。同时，二次函数是初高中衔接的重要知识，对高中学习函数有很大的帮助。因此，二次函数图象和性质的学习在本章当中起着承上启下的作用。
从教材的编写和意图分析：《数学课程标准2011版》第30页明确提出：“会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质”“会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题；”
二、教学目标
结合学生认知基础以及教学内容特点，依据《数学课程标准2011版》确立本节课的教学目标为：
（1）将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化为y=a(x-h)2+k的形式并借助它来研究函数的图象和性质。
（2）经历探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，并理解相关性质。
（3）在探索二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的过程中，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.
结合以上目标，我确定本节课的教学重点： 经历探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，并理解相关性质。
在教学中，利用“洋葱数学”“几何画板”“云校家软件”“教学助手”“智能手机”等多媒体工具辅助，让学生通过思考，动手操作探究新知，突破教学重点。
三、学情分析
知识储备方面：学生已经学习了一次函数的图象和性质，以及用配方法解一元二次方程，同时探究了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，这为学习二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质奠定了知识基础。
能力方面：九年级学生的动手操作、探索能力较强，已经具备了独立思考问题的能力，但面对形如y=ax2+bx+c的二次函数，要想将其转化为y=a(x-h)2+k的形式，这种转化思想的运用在学生学习过程中还有所欠缺。
年龄特点以及心理特征方面：这个年龄阶段的学生主见性强，爱发表见解，希望得到老师的肯定，但是他们对如何用配方法推导二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式仍然存在困难，这也是本节课学生的学习难点。
因此，我确定本节课的教学难点：将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化为y=a(x-h)2+k的形式并借助它来研究函数的图象和性质。
在教学中采用小组合作交流层层深入引导的方式突破难点。
四、教学策略
数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。教育家赫尔巴特指出教学要从儿童心理活动的规律出发进行，并提出著名的四段教学法，本节课我将引用赫尔巴特的四段教学法：情境创设---提问建模---解决问题---知识拓展。在教学过程中，学生通过“思考——探索——尝试——归纳” 自主参与知识的发生、发展和形成的过程。使学生真正成为教学的主体,从“被动学会”变成“主动会学”。 同时，培养学生简单的推理能力和逻辑思维能力，深刻理解数学转化思想和数形结合思想。
媒体应用：在教学中，利用“洋葱数学”布置课后作业统计完成数据，掌握学情。利用“几何画板”为学生展示几何图像动态特征，利用“云校家软件”、 “教学助手”、“智能手机”等多媒体工具展示小组探究成果。
五、教学过程
根据本节课的内容特点我采用以下六个教学环节来完成教学目标：
创设情景，引入新课
我们知道函数是刻画物体运动规律的一种模型，那我们先来看这样一道实际应用题：
投掷一小球，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行的高度y与飞行时间x之间满足函数关系y= -x 2 +4x +5。请问飞行第几秒时，飞行高度达到最大，最大是多少？
这个函数属于哪一类函数？答：一元二次函数。这个一元二次函数和我们之前研究的一元二次函数y=a(x-h)2+k从形式上有什么不同？这两个一元二次函数它们之间有什么区别和联系？如果我们把它的系数一般化为y=ax2+bx+c，我们应该怎样研究它？让我们一起走进今天的这节课y=ax2+bx+c的图象和性质。
【设计意图】以实际情景引入，从情景当中抽象出函数问题，对提出的问题使学生产生困惑，制造认知冲突，激发学生的求知欲望，教师适时诱导，引入新课。
（二）问题引导，展开新课
问题：之前我们研究函数都研究了它的哪些方面？
答： 解析式，图象和性质。
【设计意图】学生类比研究一次函数的过程和方法来归纳研究二次函数的过程和方法，使学生对研究二次函数y=ax2+bx+c有了一个系统的方法和策略。
我们先来研究一个具体的函数y=x2-6x+21，这个函数我们没有研究过，能不能用已学知识去解决？将这个式子化归到顶点式去研究。
探究一：将二次函数y=x2-6x+21转化为y=a(x-h)2+k的形式
活动一：小组合作交流，将二次函数y=x2-6x+21进行配方，归纳配方的方法。
将其配方得：
/
【设计意图】如何将一般式通过配方配成顶点式是本节课的教学难点，也是学生需要攻克的第一个难题。本环节设置为学生活动，充分发挥学生的主体地位，使学生在摸索中寻求答案，在学生探究的过程当中，如果遇到困难，老师给与适当的帮助，最后归纳配方的步骤和方法，培养学生动手操作能力，渗透化归思想。
探究二：二次函数y=x2-6x+21和y = -2x 2 - 4x +1的图象和性质。
活动二：类比探究 y= = a(x-h)2 +k的图象和性质的过程和方法，探究二次函数 和y=x2-6x+21和y = -2x 2 - 4x +1的图象和性质。（分组合作交流，汇报探究成果）
探究二：二次函数y=x2-6x+21和y = -2x 2 - 4x +1的图象和性质。（小组合作交流）
配方得：y = (x-6 )2 +3
问题2：（描点法作图）利用图象的对称性列表：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
描点并连线：
/
结合图象，归纳抛物线y=x2-6x+21的相关性质。
答：图象开口向上
对称轴为直线x=6，顶点坐标(6,3)
当x=6时，函数有最小值y=3.
当x＜6时，y随x增大而减小
当x＞6时，y随x增大而增大
配方得: y = -2(x+1 )2 +3
利用图象的对称性列表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-15
-5
1
3
1
-5
-15
…
描点并连线：
/
结合图象，归纳抛物线y = -2x 2 -4x +1的相关性质。
答：图象开口向下
对称轴为直线x=-1，顶点坐标(-1,3)
当x=-1时，函数有最大值y=3.
当x＞-1时，y随x增大而减小
当x＜-1时，y随x增大而增大
【设计意图】之前学生已经研究了二次函数y= = a(x-h)2 +k的图象和性质，这为研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质奠定基础。小组合作，对a>0和a<0这两类二次函数图象和性质进行研究，充分发挥学生的主体地位，以小组为单位，结合图象归纳性质，展示小组探究成果。既培养了学生对语言的组织能力，又培养了学生思维逻辑能力，整个过程渗透数形结合思想。
（三）合作交流，归纳总结
探究三：归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质。
活动三：求二次函数y=ax2+bx+c的顶点式，画出简图，归纳性质并将表格填写完整（小组合作交流）。
/
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为，顶点坐标为
归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质:
/
/
/
【设计意图】针对所提出的问题，可能部分同学感到有些困难，因而教师在巡视过程中，应给予帮助，适当鼓励，学生通过小组合作交流，最后归纳总结出二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质。这样既能激发学生对知识的求知欲望，又能培养学生合作交流的能力和逻辑思维能力。
（四）利用新知，解决问题
例题：已知抛物线y=2x2-4x-6
写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
方法总结：.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定
（1）当二次函数y=ax2+bx+c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程；
（2）当a、b、c比较复杂时，可直接用公式来确定：
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为，顶点坐标为
【设计意图】例题知识点概括全面，培养学生的逻辑推理能力，提高做题能力。同时培养学生一题多解的能力。
练习：投掷一小球，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行的高度y与飞行时间x之间满足函数关系 y= -x 2 +4x +5。
请问飞行第几秒时，飞行高度达到最大，最大是多少？
小球从飞出到落地需要多少时间？
【设计意图】解决课前留下的问题，起到前呼后应的作用，体现了数学源于生活最终服务于生活。同时设置问题2为下节课二次函数与一元二次方程的关系埋下伏笔
（五）师生互动，小结归纳
(1)这节课研究的主要内容是什么？
(2)我们是如何研究的？过程和方法是什么？
(3)在研究过程中你遇到了哪些问题？你是怎样解决的？
【设计意图】利用问题串的方式进行课堂小结，问题指向性明确。正对老师提出问题，对本节课的学习做一个系统的归纳!
（六）布置作业，提高升华
完成教材P41 T6（3）（4）、T7（2）
课外思考题：完成“洋葱数学”课后闯关练习
板书设计
/
【设计意图】好的板书相当于一个微型教案，此板书简洁明了，结构清晰，能清楚地反映出本节课所研究的内容，同时展示了对函数研究的过程和方法。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质——学案
石嘴山市第八中学 陈慧
一、学习目标
1．如何将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化为y=a(x-h)2+k的形式并借助它来研究函数的图象和性质。 (难点)
2．经历探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，并理解相关性质。(重点)
二、探究新知
活动一：小组合作交流，将二次函数y=x2-6x+21进行配方，归纳配方的方法。
活动二：类比探究 y= = a(x-h)2 +k的图象和性质的过程和方法，探究二次函数y=x2-6x+21和y = -2x 2 - 4x +1的图象和性质。（分组合作交流，汇报探究成果）
配方得:
利用图象的对称性列表：
x
…
…
y
…
…
描点并连线：
/
结合图象，归纳抛物线y=x2-6x+21的相关性质。
配方得:
利用图象的对称性列表：
x
…
…
y
…
…
描点并连线：
/
结合图象，归纳抛物线y = -2x 2 - 4x +1的相关性质。
活动三：求二次函数y=ax2+bx+c的顶点式，画出简图，归纳性质并将表格填写完整（小组合作交流）。
配方得：
简图：当a>0
简图：当a<0
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
开口方向
顶点坐标
（ ， ）
（ ， ）
对称轴
X=
X=
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .
最值
当x= 时，y有最 值为
当x= 时，y有最 值为
三、能力提升
例题：已知抛物线y=2x2-4x-6, 写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．
四、布置作业
必做题：完成教材P41 T6（3）（4）、T7（2） 课外思考题：完成“洋葱数学”课后闯关练习
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 点评稿
本节课从研究函数的三个方面解析式，图象和性质入手，来讨论二次函数一般式的图象和性质。
二次函数，基本的初等函数之一，对高中指数函数，对数函数，幂函数的学习有指导作用。函数的学习，尤其是二次函数是学生普遍感觉抽象难懂的知识。
本课时的主要任务是探究二次函数的一般式的图象和性质。以现实生活为背景，体现了数学源于生活最终服务与生活的理念。在教学过程当中，不仅要让学生参与到函数图象和性质的探索中，更重要是让学生学会如何去研究函数。整节课注重学生的自我学习培养，和小组合作学习的落实。同时 能运用现代化的教学手段教学，尤其是能用几何画板对函数图象进行动态演示，将抽象的问题直观化，为突破本节课的教学重难点奠定基础。
整节课以学生探究为主，教师引导为辅。在探究中注重数学方法的总结和数学思想的渗透。数学方法：通过研究具体数字的二次函数的图象和性质，类比研究它的方法和过程从而归纳出一般二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质。数学思想：①探究一般式的图象和性质时将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化为y=a(x-h)2+k的形式并借助它来研究函数的图象和性质，渗透化归思想。②通过画出二次函数图象，结合图象归纳相关性质，渗透数形结合思想。
