课件32张PPT。义务教育课程标准实验教科书
（人教版）八年级上册 山西省朔州市朔城区第七中学 田文华 13.4最短路径“会求两点在直线l同侧的最短路径问题；通过查阅材料，了解将军饮马的故事，并能解决与将军饮马相关的一些最短路径问题两点之间，线段最短，连接直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短。第十三章轴对称课题学习 最短路径问题一、内容与内容解析 复习旧知平移轴对称旋转最短路径一、内容与内容解析教学重点1.会求两点在直线同侧的最短路径问题.2.通过求两点在直线同侧的最短路径问题，让学生体会求两点在直线同侧的最短路径问题实际上是借助于轴对称转化成了求两点在直线异侧的最短路径问题。一、内容与内容解析二、目标与目标解析 通过求两点在直线同侧的最短路径问题，感受到求线段和的最短路径问题实际上就是借助于轴对称将线段转化在一条直线上，根据两点之间，线段最短解决的。结合具体的生活情境，抽象出数学模型“两点在直线同侧，如何在直线上找一点，使得这一点与两点的连线段最短”经历探索解决数学问题
的过程，体会到两点在直线同侧的问题就是借助于轴对称转化成两点在直线异侧的问题学生在学习了“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上 各点的连线段中，垂线段最短”的最短路径问题的基础上，即将学习如何求两点在直线同侧的最短路径问题三、学生学情分析三、学生学情分析四、教学策略分析教师通过引导把问题一步一步进行分解，化大为小，化难为易，化繁为简，慢慢分析出解决问题的正确方法。同时还有学生自主探索，合作交流，上台展示的环节都是本节课的教学方法。32164情境抽象 模型产生联想旧知 解决问题典例剖析 巩固新知思维提升 层层递进创设情境 卷入课堂五、教学过程分析学以致用 归纳感悟5① 创设情境 卷入课堂用将军饮马引入新课① 创设情境 卷入课堂① 创设情境 卷入课堂 再由实际问题抽象成数学问题，积极指向本节课的主题。 由将军饮马的故事，激发了学生的学习热情；① 创设情境 卷入课堂②情境抽象 模型产生C③ 联想旧知 解决问题③ 联想旧知 解决问题④典例剖析 巩固新知③典例剖析 巩固新知④典例剖析 巩固新知③典例剖析 巩固新知④典例剖析 巩固新知两点在直线同侧求最短路径问题都是借助于轴对称转化成两点在直线异侧求最短路径的问题，再根据两点之间线段最短进而找出使路径最短的点。⑤思维提升 层层递进求两点在直线同侧的最短路径问题
即两条线段和的最短路径问题求三条线段和的最短路径问题即“两线一点”，“两线两点”问题⑤思维提升 层层递进⑤思维提升 层层递进⑤思维提升 层层递进输入 的值⑤思维提升 层层递进两点在直线同侧的最短路径问题两线一点问题两线两点问题⑤学以致用 归纳感悟⑥学以致用 归纳感悟实际
问题数学
问题解决
问题证明
最短建模应用⑤⑥学以致用 归纳感悟⑥学以致用 归纳感悟归纳：1.本节课探究将军饮马问题的基本过程是什么?
2.轴对称在探究问题中起什么作用? 抽象成数学问题联想旧知 借助于轴对称解决实际问题用旧知解决新问题⑥学以致用 归纳感悟六、目标检测感谢倾听!敬请指导！ 13.4课题学习 最短路径问题(第1课时)
山西省朔州市朔城区第七中学 田文华
一、内容和内容解析
1、教学内容
?最短路径问题?是人教版八年级上册第十三章第4节第1课时的内容.本节课的主要内容是解决由“将军饮马问题”引出的数学问题“两点在直线同侧求最短路径”以及“两线一点”,“两线两点”等最短路径问题.
2、教学内容解析
本节课是在学生学习了轴对称的知识以及“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等知识的基础上，展开了本节课的求最短路径问题，这节课是轴对称知识的一个很好的应用，进一步巩固了轴对称的知识，使轴对称知识更加灵活，并在学生头脑中打下扎实的基础。
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.
3、教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短问题”.
二、教学目标及其解析
1、教学目标：
（1）理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。
（2）能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
（3）通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2、目标解析：
要求学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
三、学生学情分析
八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学的意识比较薄弱，此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一些数学知识，但在数学的说理上还不规范，演绎推理能力有待加强。
学生已经储备了轴对称知识和“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”的相关知识，但是对于知识的运用比较抵触，不知道如何处理问题，所以本节课我们就加强知识的灵活应用和强化解决新问题的思想方法，使学生真正的强大，不仅仅是光有知识，而是既有知识又有思想和能力的强大型人才，为了使学生真正掌握本节课的方法，我还特别设计了不同的例题以及一些拓展型题目，但是，不管什么样的题目，方法总是相似的，不同的问题，相似的方法，提高学生的理性思维，学生学习数学的能力越来越强。
教学难点：
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
难点突破的方法：
两点在直线同侧求最短路径时，我们用轴对称变换把线段的长度不变，位置给改变，然后把所求线段和的最小值问题，转化成两点之间，线段最短。
教学策略分析
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少接触最值问题，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
解答“当A,B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C,使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。
教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明“最短”时，教师要适当点拔学生，让学生体会任意的作用。
五、教学过程设计
13.4课题学习 最短路径问题(第1课时)
一、复习回顾,引出新内容
前面我们学习了“两点的所有连线中,线段最短”,“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等问题,这就是最短路径问题，现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。
设计意图:回顾以前的知识，为本节课的学习奠定基础和创造条件。
二、探究(一)
如图，牧马人从城堡出发，到一条笔直的河边饮马，然后回到军营。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
1.你能将这个问题抽象为数学问题吗?
设计意图:让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小”问题
2.解决数学问题：
点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在直线l上的什么位置时，AC与CB的和最小？
/
教师可提示：
设想如果点A与点B在直线l异侧，应该怎样找到点C的位置。
如何将点B“移”到l的另一侧B'处，并且直线l上的任意一点C，
都有CB=CB'
你能利用轴对称的知识找出（2）中的点B'吗？
（4）对于（2）（3），学生独立思考后，尝试画图
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得出结论：只要做出点B关于l的对称点，就可以满足CB=CB'，再利用（1）的方法，连接AB'，AB'与直线l的交点即为所求。
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C． C
则点C 即为所求．
B′
设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供脚手架，将同侧难于解决的问题转化为异侧容易解决的问题。
3、证明AC+BC最短：
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证明： 在直线l上任取一点C'（与点C不重合），连接AC'. BC’. B’C’
由轴对称的性质知，BC=B’C, BC’=B’C’.
所以AC+BC=AC+CB'=AB'， AC'+BC'=AC'+B’C’.
在△AB’C’中，AB'
所以AC+BC 即AC+BC最短.
教师提出问题证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C'（与点C不重合），证明AC+BC 设计意图：通过证明让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。
4.巩固练习
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
2.如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再回到P处,请画出旅游船的最短路径.
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设计意图：第1题是两点在直线的同侧求最短路径的四种不同的作图方法，让学生从中选出正确的作法，起到巩固刚学新知识的作用，第1题从理论上知道了怎么作图，第2题让学生自己动手准确画图，通过先画示意图，再找出正确的作图方法，两个路径加以比较，能让学生更加明白这样作图的理由。
将军饮马探究(二)
如图，一个人骑马从A出发，他先使马到草地边 吃草， 再到河边 饮水，最后返回A，他怎样走才能使总路程最短？
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由求两条线段和的最小值问题，上升到求三条线段和的最小值问题，由作一次轴对称变为作两次轴对称问题，简称“两线一点”问题。
引导学生首先作出示意图，发现求三条线段之和最短，想到利用本节课探究（一）过程中的方法，借助于轴对称将其中的两条线段转化在直线的另一侧，再利用两点之间线段最短，找出三条线段的最短路径。
四．将军饮马之三:
牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.
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将军饮马之三是将军饮马之二的变形，把上面问题中的一个点变成了两个点，将草地和河抽象成直线，分别从A，B两点作草地和河的对称点A'，B'，连接A'，B'与草地和河的交点，即为最短路径的点。
设计意图：拓展学生的思路，强化解题方法和解题策略。
五、归纳：
1.本节课探究将军饮马问题的基本过程是什么?
2.轴对称在研究问题中起了什么作用？
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设计意图：充分发挥学生的主体地位，由学生归纳总结，反思，提高学生的概括表达能力。
六、目标检测设计：
1 . 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
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2. 如图，?ABC中，在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小。
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设计意图：1题是两点在直线同侧求最短路径与其它几何图形结合，培养学生在稍微复杂的图形中求最短路径的能力，2题是利用轴对称和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”解决的，解题的方法仍然是先画示意图，进而找出正确的作图过程，设计这组测评题目的主要目的是促使学生巩固和消化课堂上所学的知识和技能，深刻理解和掌握课堂上老师传授的数学思想方法，并能运用它解决数学问题，同时也拓展了学生的思维。
?最短路径问题?点评稿
2011年版?数学课程标准?中增设了“综合与实践”这种新的学习内容和形式———数学活动课，其目的是让学生经历实践与研究的历程，使学生形成对数学的正确态度，发展学生应用数学的能力。
本节课由著名的将军饮马问题卷入课堂，并将实际问题抽象成我们的数学问题，接下来解决这个新的数学问题，联想旧知，找出解决问题的突破口，同时借助于轴对称变换，问题得以解决，还在直线l上另找一点进行了证明，更加肯定了解决新数学问题的正确性。下一步做了两个与之对应的练习，使得新内容加以巩固，接着是两个将军饮马问题的拓展型问题，一方面起到了巩固解决新学问题的解题技能的作用，另一方面拓展了学生的思维和视眼，这是由刚才求两条线段和最短上升成了求三条线段和最短的过程，本节课内容的设计呈现一个螺旋式上升的过程，同时为学生的思维创新提供了空间。
本节课教师对教材理解透彻，教学目标明确，教学过程有条理，衔接自然，同时应用了多媒体教学手段，使课堂容量增大，课堂内容明了，教育教学的各个环节都处理的非常恰当，教师的主导作用与学生的主体作用很好的结合，教师积极引导学生思考问题，解决问题，在此过程中注重自主探究与合作交流，同时通过学生动脑，动手，动口，培养了学生的思维能力，动手实践操作的能力，语言表达能力，教学效果良好。
这节课所有的知识都是在旧知识的基础上生成的，教师对旧知识的复习引导的比较到位，根据解决新内容遇到的问题及时联想旧知，把问题一步一步进行分解，化大为小，化难为易，化繁为简，慢慢分析出解决问题的正确方法，教师的引导非常到位，让学生体会到了解决问题的正确方法，培养学生遇到问题正确面对，冷静思考，寻找问题的突破口。这节课的流程是由实际问题引入抽象成数学问题，解决新的数学问题，证明解决问题方法的正确性，然后应用新技能解决一些问题，这个过程的本质也是一个从建模到应用的过程，本节课的线条非常明确。
听了这节课后我的感受是，这是一节数学功底比较扎实的课，这节课的内容难度较大，这位教师的授课对于学生来说能有这么好的引导和启发，就很不错了，学生接受的效果也很好，通过拓展提升的问题可以知道他们的心灵也受到了触动，因为在求三条线段和的最短路径问题时，学生反映出了要将三条线段转化在一条直线上，根据两点之间线段最短解决呀，我认为这是这位教师本节课教学的成功之处，能够唤醒学生的思维，就很了不起了。
虽然这是一节成功之课，但也有一些遗憾之处，由于是借班学生，对学生的具体情况估计不够充分，教学时出现了前松后紧的情况，导致后面练习的时间有点紧，没能够让更多的学生展示出他们的想法和作法。
教研组长：高菊梅
