课件22张PPT。反比例函数的图形与性质张天宁
兰州市第六十六中学1、列表3、连线2、描点531-3-1123456O-1-2-3-4-5-6123456-1-2-3-4-5-6一次函数
的
研究方法1、列表3、连线2、描点531-3-1123456O-1-2-3-4-5-6123456-1-2-3-4-5-6一次函数
的
研究方法123456O-1-2-3-4-5-6123456-1-2-3-4-5-6123456O-1-2-3-4-5-6123456-1-2-3-4-5-6思考1：当k＞0时，反比例函数的图象位置有何特点？思考2：当k＜0时，反比例函数的图象位置有何特点？123456O-1-2-3-4-5-6123456-1-2-3-4-5-6思考3：在自变量x增大时，函数图象对应的函数值如何变化？123456O-1-2-3-4-5-6123456-1-2-3-4-5-6思考4：在自变量x增大时，函数图象对应的函数值如何变化？123456O-1-2-3-4-5-6123456-1-2-3-4-5-6小结谢谢大家！ 反比例函数的图象与性质
（北师大版九年级下册第五章：章起始课单元建构）
兰州第六十六中学 张天宁
一、内容与内容解析
1.教学内容：
本节课的内容选自北师大九年级下册《反比例函数》章起始课单元建构。
1.内容解析：
本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准2011版》中的“数与代数”领域，是学生在已经学习了平面直角坐标系、一次函数的基础上，通过这一节课的学习使学生了解反比例函数的概念、反比例函数图象的画法和反比例函数的性质。它既是初中函数的图象和性质的拓展，又是今后继续学习“用函数观点看方程(组)与不等式”的基础，在本章中起着承上启下的作用。
反比例函数图象和性质，蕴含着丰富的数学思想和研究问题的方法，首先，通过对图象的研究和分析函数自身的性质，深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，渗透数形结合的思想。其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式”到“作图，再到“性质”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。再次，由y＝
6
??
和y＝－
6
??
这两个特殊的函数出发，研究具体的反比例函数，再总结出y＝
6
??
(k≠0)的图象的性质，体现由特殊到一-般的认识过程，体现解决问题时“ 先特殊化、简单化, 再一般化、复杂化”的基本策略和类比的研究方法。最后，对于反比例函数图象性质研究的过程中，由于k的符号不同，对函数图象产生相应的影响，得出相对应的结论,体现了分类讨论的研究方法。同时根据反比例函数点的特点观察点向坐标轴引垂线构造矩形的面积和K的关系。由此得出本节课的教学重点是反比例函数图象及其性质。
二、目标分析
●教学目标
1．知道反比例函数的图像是双曲线；
2．会用描点法画反比例函数图象；
3．理解反比例函数的图像的性质；
4．会利用反比例函数的图像的性质解决相关问题；
5．能利用信息技术探究反比例函数的图像的性质；
6．进一步领悟数形结合的思想.
●目标解析
(1)使学生理解由反比例函数的自变量取值范围导致的图象变成了两个分支，掌握k的正负对图象变化趋势和函数性质的影响。
(2)通过描点法来研究反比例函数图象，在动手绘制反比例函数的图象的过程中，让学生经历“作图→比较→讨论→归纳”的数学活动，通过对反比例函数图象的分析，归纳出反比例函数的性质，让学生经历知识的探究、归纳的过程，体会数形结合思想方法和分类讨论思想方法的应用，同时培养学生的观察能力和抽象概括能力。
(3)通过从具体反比例函数的图象特征抽象得到一般形式反比例函数的图象特征，进而得到函数的性质及K的几何意义．使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法。
(4)在探究反比例函数的图象和性质的活动中，通过动手实践，互相交流，使学生在探究的过程中，提高与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践的能力和探究精神。
三、教学问题诊断分析
学生在学习本节课之前已经学习过一次函数，具备了研究函数的基本技能，了解研究函数的一般过程都是从图象开始的。但是一次函数是无间断连续的，学生在本节课将遇到既是非直线性函数的图象，又是由断开的两支曲线组成双曲线，需要考虑自变量的取值范围，在理解上有一定的困难。此外反比例函数的增减性和以前学习的函数也有区别，两个分支要分开讨论，这对于学生的理解也是个难点。
由此得出本节课的教学难点是正确的画出反比例函数的图象,探究反比例函数的性质。
四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以《几何画板》为平台，绘制反比例函数图象，同时辅之以“点跟踪”等手段，通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当k值的变化时，对应的函数图象的变化规律，进而探究反比例函数的性质.
另外为了最大程度节省课堂时间和方便展示，为每位孩子准备好图象的学案。
2．教学重点、难点
●教学重点：
1．建构反比例函数的概念。
2．反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析，归纳函数的性质．
3．通过反比例函数图象，归纳总结K的几何意义．
●教学难点：
1．由实例归纳反比例函数的本质属性，生成概念。
2．反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质归纳总结．
3．从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
●突出重点、突破难点的策略：
根据九年级学生的认识特点，乐于动手操作探究，易于在实践中归纳总结，故而本节课采用以实验探究法为主的教学方法.教学中，通过动手操作活动，精心设计了一个又一个带有操作性、启发性和思考性的问题，引导学生动手操作，思考问题，同时教师适时地引导，在画板动态演示中逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，形成生动活泼的、主动的和富有个性的学习活动，从而掌握角平分线的性质，并能运用性质解决简单的问题．
四、教法学法
1.教法学法：
本节采用“探究——发现”模式.教师的教法突出学生探究活动的组织设计与方法的引导， 学生的学法突出动手操作活动，在探究中发现并掌握相关知识．
2.课前准备：
教具：教材，课件，电脑，三角板.
学具：教材，刻度尺，三角板，作图学案.
五、教学程序
●教学流程
环节１ 归纳本质属性，生成概念．
师生活动：
问题1．老师在黑板上写的y＝
2
??
，y＝
4
??
，，??＝
6
??
这都是两个变量x和y的关系，他们能构成函数关系吗？
问题2．追问：当自变量x给定一个值，因变量y都有唯一的值与它对应吗？
学生：学生通过探索发现y与x构成函数的关系．厘清函数的概念，特别是“单值对应”的函数本质．
问题3．我们一起具体来研究??＝
6
??
的x与y的值的对应关系（教师黑板上列表，学生完成值）．
x
－6
－3
－2
－1
1
2
3
6
…
y＝
问题4．观察这三个函数y＝
2
??
，y＝
4
??
，，??＝
6
??
，如果表示为xy＝2 ，xy＝4，xy＝6，当一个变量增大时，另一个变量如何变化？
学生：通过问题3，引导学生具体发现这三个关系式都是y是x的函数，通过问题4，引导学生发现这两个变量x和y的变化步调相反，构成反比例．
问题5．师生共同建构反比例函数的概念．
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示y＝
??
??
(k为常数，且k≠0)，我们就说y是x的反比例函数．
环节2 类比探究，研究函数性质．
c
问题6．我们如何研究y＝
??
??
函数的性质呢？
学生：学生讨论从特殊到一般，取特例．
问题7．我们通过取特例??＝
6
??
，大家想一想我们前面学过其他函数吗？
问题8 ．引导学生思考回忆研究一次函数的方法．
学生：学生思考画一个函数的图象的步骤:列表——描点——连线 ，作出图象再研究函数的性质．
教师通过多媒体引导学生思考：
【设计说明】带领学生一起动态回顾为什么一次函数的图象是一条直线（动态演示）．
问题9．我们用描点发画出y＝
4
??
，，??＝
6
??
的图象．
【设计说明】分两组分别画y＝
4
??
和??＝
6
??
的图象，做两组实验，让学生们对比观察．
x
y＝
x
y＝
//
问题10．大家作出的图象有什么特点？
学生：学生发现所作的图象都是两支曲线．
问题11．追问：老师看到有的同学作出的折线段，有问题吗？
学生：讨论描出的点比较少．
教师画板展示：
教师引导学生发现随着点的数量增多，作出的图象是两支双曲线．
问题12．同学们展示交流画的图象的位置和性质．
学生：学生发现所作的图象都是双曲线，都在第一、三象限．
问题13．我们做的图象的k＝4，k＝6，大家很容易观察到图象的位置，那k＞0的图象我们可以作出猜想吗？
学生：学生猜想图象都是双曲线，都在第一、三象限．
教师多媒体展示：
教师引导学生k＜0函数的位置．
问题14．观察反比例函数 y＝
4
??
，，??＝
6
??
的图象，利用你手中的工具，动动手，动动脑，动动口，你能得到哪些性质？
学生：教师启发学生观察、思考，组织学生小组探究，引导学生归纳性质。
【设计说明】使学生经历从“特殊—一般”的过程探究的过程中，重视学生对图象的观察与思考，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生分组讨论，由感性认识上升到理性感知,培养了学生的团结合作精神。
归纳：当k>0时（1）函数图象分别位于第一、三象限；
（2）在每个象限内，y随x的增大而减小
教师引导学生类比研究k＜0函数的位置和函数的性质．
【设计说明】经历描点法画反比例函数图象的过程可以使学生反比例函数图象有一个初步的感性认识，理解用描点法画函数图象的内涵，体会变化与对应的思想，为进一步研究函数的图象做准备。利用坐标纸，可以避免学生在自己建立坐标系时因为各种原因造成的图象不精确提高绘图的精确程度；可以节省自己建立坐标系画图的时间；有利于小组成员互相检查与交流，同时引导学生研究函数的位置及性质．
环节3 深入研究，探究K的几何意义．
师生活动：
问题1．观察y＝
??
6
的图象，每个点向坐标轴引垂线得到的矩形的面积有何特点？
///
问题2．能推广到一般吗？
教师展示：
//
学生：学生观察猜想，证明．
【设计说明】学生借助函数图象，利用分类讨论的思想，正确理解反比例函数的K的几何意义，主要加强学生逻辑推理的能力．
环节4 回顾反思，课堂小结
1通过本节课的学习，你对反比例函数有哪些新的认识？
2.回顾整个初中阶段所学的函数，你能总结出研究函数的一般思路吗？
重点关注： ①学生是否养成归纳、整理、总结的好习惯
②评价学生是否掌握了学习函数的一般思路。
【设计说明】教师引导学生归纳本节课的知识要点和学习经验，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面的认识，更为以后学习其他函数奠定了基础。
板书设计
§26.1.2反比例函数的图象和性质
1.反比例函数 练习1. 多媒体
2.
2.反比例函数图象、性质 3.
图象：
性质：（1）当k>0时
（2）当k<0时
教学反思
“反比例函数的图象与性质”是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。本节课在反比例函数图象的画法这一难点的处理上，通过类比一次函数、二次函数的研究方法，完成列表、描点、画出反比例函数图象的过程，在这一过程中展示个别学生出现的问题，由小组讨论交流，再由教师利用多媒体演示列表、描点、连线过程，及时矫正，学生很容易发现自己画图中的错误，最后概括总结水到渠成。其次，通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能够主动地去观察、感受、讨论、发现、探究、总结，表现了他们的学习兴趣和信心.最后在练习时给出有梯度的练习，以满足不同层次学生学习的需要. 教学过程中对于“数”与“形”的转化，是贯穿始终的一条主线.本课的教学设计与实施中，通过“描点法”作图、观察几个具体的反比例函数的图象、课件演示展示“由动点生成函数图象”，很好地反映了“数”、“形”之间的这种内在的联系.本节课从提出问题到解决问题的过程当中，提供了“阶梯”式的问题串，使每一个学生都能够在活动中既有成功的体验，也有面临挑战的机会和经历，锻炼了学生克服困难的意志，增强了学生的自信心。
《反比例函数的图象和性质》课例点评
兰州66中 张天宁
本节课以新课程标准为指导，通过单元整体建构，在引导学生探究反比例函数的图象和性质的过程中，类比一次函数的探究方法，从画函数图象入手，到利用函数图象探究发现性质，再到新知的巩固和应用。条理清晰，重点突出，难点分散。充分锻炼了学生数学的思维， 渗透了基本的数学思想方法，很好地达到了教学目标。本节课有以下的特色和亮点:
1.深刻理解教学，单元整体建构.
单元教学，基于数学知识的内在联系，深入研究教学内容，整合教材内容，学生之前通过函数知识积累而来的--些研究方法、在反比例函数起始课就从学生研究经验出发，从一个简单的生活情境引出反比例函数的定义，再由简单出发，研究图像和性质.整节课自然而成，新知自然而然地生成并渐次推进，很好地诠释了 “学程重生成”．
2．动态展示，凸显过程教学
凸显过程教学，让数学思考贯穿教学全程作为以思维性见长的学科，数学课堂留给学生的不能只是单纯的知识，教师在课堂上要更多地关注知识背后所承载的数学方法、思维素养和数学思考.就反比例函数图像的教学而言，其教学价值绝不仅仅是让学生掌握通过列表、描点、连线进行画图的技能，更体现在学生画图过程中的数学思考.以往数形结合方法的应用，更多的体现在“由形到数”，借助直观图形解决数学问题，而本节课改进后的教学设计，引导学生在画图之前先从解析式的角度研究函数图像的性质，根据函数性质想象图像的形状，经历“由数想形一画图操作”的探究过程，教师的教学从只教方法、操作步骤的教学走向了教学生智慧的教学，学生在知识学习中提升了数学思维能力，本节课的教学价值远高于学会模仿画图这一程序性操作的价值.若干年后，当学生的知识都已遗忘，研究问题的方法却会永记心间，内化为自觉思考的能力.数学思维的深浅度是衡量数学教学有效性的试金石教学过程中，通过同台演示，展示了动态生成过程，设置合理的问题，营造浓厚的学习氛围，让学生经历知识的再发现再创造过程，自主完成知识的建构，培养数学思维的深刻性.
3．积累基本活动经验，提升学生的核心素养
新课程标准(2011年版)指出 数学教学应根据具体的教学内容,注意使学生在获得间接经验的同时,也能够有机会获得直接经验.”本节课教学中既有老师的适时引导，又有学生独立思考和合作交流；既有学生作函数图象的“做数学”,获得直接的实践经验，又在研究函数性质时“想数学”，获得间接思维经验;既有基本知识、基本技能训练,又有基本数学思想的渗透、基本活动经验的积累.学生在动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动中，有足够的时间和空间亲身感悟,这样不但获得了知识,更重要的是积淀了数学活动的经验.正如章跃如教授所说,这些经验的积累和数学思想的感悟,无形中提高了学生的解题能力,最重要的是通过自己的思考,变成了自己的东西,变成了一种习惯,慢慢地就内化成了学生的一种素养,这样,数学核心素养的培养也就水到渠成了.
