课件25张PPT。6.2反比例函数图象与性质（二）云南省楚雄第一中学
石慧分北师大版初中数学九年级上册第六章反比例函数?教学目标：
1. 引导学生从表达式、表格、图象多角度观察、分析反比例函数的变化趋势，探究出反比例函数增减性、面积不变性。
2. 让学生经历知识的探究过程，掌握方法，积累经验，体验数形结合和分类讨论的数学思想和方法。
3. 培养学生多维观察、思考问题的习惯，发展学生的逻辑推理、直观想象的核心素养。探究并理解反比例函数增减性、面积不变性及其应用。反比例函数是在学生学习直线型函数（一次函数）的基础上第一次学习的曲线型函数，学生在认知上存在一定困难，因此，本节课的关键是能否让学生顺其自然地感悟反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题。如何通过数形结合的探究方法，让学生理解反比例函数的性质。教 学
过 程【第一环节：明确目标】提出
问题明确目标类比一次函数
研究方法列表??第三象限第一象限6321.5-1.5-2-3-6【第二环节：操作观察】表格数据分析变化表达式分析变化感知增减性用联系发展的眼光思考数学问题培
养引出重点教学内容的整体性?下降????【第三环节:探究新知一】利用图象探究反比例函数的增减性??注意：用增减性比较函数值大小，对应点必须在同一象限内.????上升??【第三环节:探究新知一】利用图象探究反比例函数的增减性请同学们反思：
1.你是如何用反比例函数的增减性比较大小的？
2.你认为有哪些易错点、易混点？?【第四环节:探究新知二】探究k的几何意义【第四环节:探究新知二】探究k的几何意义我收获了什么？【第五环节：回顾与思考】板书设计6.2反比例函数图象与性质（二）课外作业必做：课本P157第1,2,3,4题；
选做：阅读课本P156“读一读”类比方法复习引入问题串引导学生
从特殊到一般，
由直观到抽象，层层推进难度有层次
梯度的题目提炼、反思
学习过程敬指6.2反比例函数图象与性质（二） 教学设计
云南省楚雄第一中学 石慧分
一、教学内容、教学目标及其解析
函数是在探索具体问题中的数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已经有了初步的认识，在此基础上讨论反比例函数及其性质，可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，这对后继学习（如二次函数等）会产生积极影响。
本课时选自北师大版九年级上册第六章反比例函数第二节第二课时。课标要求是能根据图象和表达式 ??=
??
??
??≠0
探索并理解??>0和??<0时图象的变化情况。本节课主要是在第一课时（重点是会画反比例函数的图象）的基础上，引导学生从反比例函数的表达式、表格、图象三方面多角度观察、分析变化趋势，通过数形结合、分类讨论、类比猜想等方法发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流中增强学生对图象的感知能力，加深学生对反比例函数性质的理解和掌握。所以确定本节课的教学目标和重点如下：
教学目标：
1. 引导学生从表达式、表格、图象多角度观察、分析反比例函数的变化趋势，探究出反比例函数增减性、面积不变性。
2. 让学生经历知识的探究过程，掌握方法，积累经验，体验数形结合和分类讨论的数学思想和方法。
3. 培养学生多维观察、思考问题的习惯，发展学生的逻辑推理、直观想象的核心素养。
教学重点：探究并理解掌握反比例函数的增减性、面积不变性及其应用。
二、学生学情分析
学生曾学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概念和研究函数的方法有了初步的认识和了解。特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟。而且初三学生的分析、理解能力较原来有明显提高。通过前面几年的培养，我班学生具有较好的的自主探究和合作学习能力。在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图像和性质做好知识上和方法上的铺垫．
因为反比例函数是在学生学习直线型函数（一次函数）的基础上第一次学习的曲线型函数，学生在认知上存在一定困难，因此，本节课的关键是能否让学生顺其自然地感悟反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题。所以教学难点制定如下：
教学难点：如何通过数形结合的探究方法，让学生理解反比例函数的性质。
三、教学策略分析
基于以上分析，本节课通过问题串，层层递进启发学生思考，引导学生从特殊到一般，通过数形结合、分类讨论、类比猜想等方法，让学生在自主探究、合作交流中获取知识。探究过程中给予学生充分思考的时间和空间，积极创造条件和机会，让学生发表自己的见解，以调动学生的积极性。
四、教学过程设计
【第一环节：明确目标】
内容：
1.初二上学期我们学习了一次函数内容，它具体包括哪些知识？
2.类比一次函数研究方法，本节课我们将研究反比例函数的哪些内容？
教学策略：
开放问题，活跃学生思维，学生回答可能凌乱不系统，但通过交流碰撞，使学生达到“在上节研究出反比例函数的图象和对称性基础上，本节课将研究反比例函数的增减性等”共识，明确目标要求。
设计意图：
提出问题，类比一次函数研究方法，引导学生猜想出本课时将研究学习的内容，既明确了学习目标及任务，又激发了学习热情及主人翁意识，培养学生整体把握学习内容的意识。
【第二环节：操作观察】
内容：
1.画反比例函数??=
6
??
图象的步骤是什么？
列表 第三象限 第一象限
x
…
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
…
??=
6
??
…
…
2.观察上表，当??>0时，随着??值的增大，?? 值有怎样的变化？当??<0时呢？
3.你能从“反比例”的角度由表达式??=
6
??
分析“增减性”吗？
4.若是??=
?6
??
，它的增减性又如何？你是怎么分析的？
列表 第二象限 第四象限
x
…
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
…
y=
?6
??
…
1.5
2
3
6
-6
-3
-2
-1.5
…
5.我们还可以从哪个角度探究函数的增减性？
教学策略：
通过回顾练习上节的画函数y=
6
x
与函数y=
?6
x
图象的过程，引导学生观察列表数据取正值即在第一象限时的增减性，再用对称性，扩展到取负值即在第三象限时的增减性。接着引导表达式分析法扩展到比例系数为负时的情形，进而感知反比例函数的增减性。
设计意图：
基于学生已学知识（画函数图象、反比例函数的对称性），引出本节重点学习内容探究反比例函数的增减性，这样体现了教学内容的联系性、整体性与发展，意在培养学生用联系发展的眼光思考数学问题。
【第三环节：探究新知一：利用图象探究反比例函数的增减性】
内容1：
1.（1）观察函数??=
6
??
的图象，回答：
在每一象限内：
①图象从左到右成什么趋势？
②随着??值的增大，??值是怎样变化的？
③如图，A（
??
1
，
??
1
），B（
??
2
，
??
2
)在第一象限，如何用
??
1
，
??
2
，
??
1
，
??
2
的大小关系表示这一性质？
（2）观察函数??=
2
??
，??=
4
??
图象：
在每一象限内：
①图象从左到右成什么趋势？
②随着??值的增大，??值是怎样变化的？
③在每一象限内也具有和??=
6
??
类似的性质吗？
/
（3）当??>0,对任意的函数??＝
??
??
?，在每一象限内都具有这个性质吗？为什么？
教学策略：
1.设置问题串，层层推进，能有效的激发学生的思考热情；
2.从问题（1）到问题（2）到问题（3），让学生直观观察函数的增减性，循序渐进地引导学生完成??>0时反比例函数增减性的探究；
3.问题（1）③引导学生利用不等式表达增减性，建立不等式模型。
设计意图：
引导学生从直观观察函数图象开始，逐步上升到理性分析，顺应学生思维的发展，在有效问题的引领下，发展学生的直观想象、数学抽象的核心素养。
内容2：
2.类比前面的探究方法，观察??=
?6
??
图象，小组讨论后，回答：
（1）在每一象限内：
①图象从左到右成什么趋势？
②随着??值的增大，??值是怎样变化的？
③如图，A（
??
1
，
??
1
），B（
??
2
，
??
2
)在第四象限，如何用
??
1
，
??
2
，
??
1
，
??
2
的大小关系表示这一性质？
（2）观察函数??=
?2
??
， ??=
?4
??
图象，回答：
在每一象限内：
①图象从左到右成什么趋势？
②随着??值的增大，??值是怎样变化的？
③在每一象限内也具有和??=
?6
??
类似的性质吗？
（3）当??<0,对任意的函数??＝
??
??
?，在每一象限内都具有这个性质吗？为什么？
3.类比正比例函数??=????,如何理解反比例函数??=
k
x
的增减性？
教学策略：
类比问题1的探究方法，得出??<时反比例函数增减性。再对比分析正反比例函数增减性，加深学生对增减性的理解。
设计意图：
通过设置和问题1相似的问题串，意在降低学生的探究难度，让学生充分体会类比、归纳的思想方法，培养学生会用分类讨论、数形结合、类比猜想等数学思想方法解决问题。继续发展学生的直观想象、数学抽象等核心素养。
内容3：
4.性质应用：
1.反比例函数??=
??
??
(??是常数， ??≠0)的图象经过点(1，4)，那么这个函数图象所在的每个象限内，??的值随??值的增大而________．(填“增大”或“减小”)
2.比较大小：
(1) 已知点 (-2,
??
1
), (-1,
??
2
)都在反比例函数??=
?3
??
的图象上，
则y1 y2 ；
(2) 已知点 (1,
??
3
), (2,
??
4
)都在反比例函数??=
?3
??
的图象上，
则y3 y4；
(3)你能比较
??
1
,
??
2
,
??
3
,
??
4
的大小吗？
请同学们反思：1.你是如何用反比例函数的增减性比较大小的？
2.你认为有哪些易错点、易混点？
教学策略：
先让学生独立完成，然后再小组交流，每名成员完成一个题目的讲解，力争让所有学生都积极地投入到知识的学习中。问题2（3）蕴含分类讨论思想，教学中让学生独立思考，然后交流各自的想法，关注学生思维的广度和深度。
设计意图：
及时运用、巩固所学的知识，加深学生对反比例函数性质的理解。题目难度有梯度，考察角度多样，让不同学生都有相应收获，不断拓展学生思维的广度，渗透分类讨论的数学思想。课堂上以小组合作展示的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，调动每个学生的主观能动性，夯实基础，培养能力。
【第四环节：探究新知二：探究k的几何意义】
内容1：
1.如图，已知点??
??,??
是反比例函数?? =
6
??
的图象上任意一点，过P点分别向??轴、??轴作垂线，垂足分别为M、N，得矩形OMPN；
（1）若??
3,2
，则矩形OMPN面积为 ；
（2）若??
?3,?2
，则矩形OMPN面积为 ；
（3）当点??
??,??
在函数图象上运动时，矩形OMPN面积为一个定值吗？
2.若点??
??,??
是反比例函数??=
??
??
(??≠0)的图象上任意一点，过P点分别向??轴、??轴作垂线，垂足分别为M、N，那么矩形OMPN的面积是一个定值吗？
教学策略：
1. 给出具体的反比例函数 ，让学生求解后讲解，自然发现矩形面积是一个定值，进而由探究问题1（3）的欲望，学生讲解后，教师进行方法的总结和点拨．
2．在前面探究的基础上，对于一般的反比例函数 ，可以让学生充分利用小组成员间的合作，探究、归纳、概括出一般性的结论——矩形面积总等于|k|，教师在整个过程中要给以适时的点拨和及时的总结．
设计意图：
在探究了具体函数的基础上，再由特殊到一般，由具体到抽象，进一步探究 ，符合学生的认知规律．继续培养学生类比猜想，逻辑推理的能力。
内容2：
3.性质应用：
1.如图,点P是反比例函数一支图象上的一点,过点P分别向??轴、 ??轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的表达式是 .
2.如图，??
??,??
是反比例函数???=
4
??
的图象在第一象限分支上的一个动点，过点P作PA⊥??轴于点A，连接PO，三角形OAP的面为 ．
3.如图，在反比例函数??=
2
??
??>0
的图象上，有点
??
1
、
??
2
、
??
3
、
??
4
，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作??轴与??轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为
??
1
、
??
2
?、
??
3
?，则
??
1
+
??
2
+
??
3
= .
第1题 第2题 第3题
请同学们反思：
以上反比例函数面积不变性应用，你有什么收获？
教学策略：
和第三环节一样让同学们在应用中深刻理解反比例函数性质，并且练习完成后进行反思，以达到巩固新知的目的。
设计意图：
三个题目难度由低到高，第1题由面积不变性求k值，第2题由k值求面积，第3题需要一定的迁移。通过面积不变性在双曲线与矩形、直角三角形关系上的应用，提高学生解决问题的能力。。
【第五环节：回顾与思考】
内容：
本节课你收获了什么？
教学策略：
引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结．
设计意图：
引导学生关注数学的学习过程，及时总结、反思、交流，同时重视小组内的合作和交流，倾听小组成员的评价、建议，取长补短，共同提高．
布置课外作业：
必做：课本P157第1,2，3,4题；
选做：阅读课本P156“读一读”
【板书设计】
指导教师点评：
“反比例函数的图象与性质（二）”课堂教学评价
教师准确地把握了国家义务教育《数学课程标准》和教材,教学目标确定具体恰当，学情分析准确到位，切合学生的实际.
本节课首先用类比的方法复习引入，既实现了课时间的无缝对接，又注意培养学生的数据分析核心素养；接着通过几组问题串引导学生从对图象的直观观察开始，逐步上升到理性的分析，顺应学生思维的发展，在有效的问题引领下，由特殊到一般，由直观到抽象，层层推进，循序渐进完成探究，意在降低学生的学习难度，让学生在熟悉的问题中，利用类比猜想得出要求的结论，培养学生会用分类讨论、数形结合、类比猜想等数学思想方法解决问题，同时发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模核心素养。
几个环节中通过让学生解答难度有层次梯度的题目，并以小组合作讲解的形式相互帮助解决问题，既让不同学生都有相应收获，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”，又让每个学生都融入到表达与倾听中，调动每个学生的主观能动性，夯实基础，同时还注意拓展学生思维的广度与宽度．
最后引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结．既引导学生关注数学的学习过程，又及时总结、反思、交流，同时重视小组内的合作和交流，倾听小组成员的评价、建议，取长补短，共同提高．
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