数学活动 探究“杠杆原理”中的数学问题
教 学 设 计
一. 内容与内容解析
1. 内容
人民教育出版社九年级下册第二十六章反比例函数第19页数学活动（活动2），内容为：通过实验探究“杠杆原理”中的数学问题。
2. 内容解析
新课程标准将义务教育第三学段的数学教学内容分为“数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践”四个部分。其中，“综合与实践”是继“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”之后的进一步发展，在章末以“数学活动”的形式呈现，目的在于让学生参与活动过程，获得数学活动经验，培养学生发现数学问题的意识和应用意识。从而学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。
本节课是学生已具备“杠杆原理”和“反比例函数”的相关知识之后的一节数学活动课。主要是通过让学生经历实验、观察、猜想、验证、应用等实践过程，培养学生发现数学问题的意识，积累数学活动经验；同时引导学生利用反比例函数的知识解决问题，培养学生的应用意识。最终让学生学会用数学眼光观察，用数学思维思考，用数学语言表达。
基于以上分析，本节课的教学目标是：以数学活动为载体，让学生进一步认识反比例函数，同时教会学生用数学眼光观察，用数学思维思考，用数学语言表达。
二. 目标与目标解析
1. 目标
(1) 通过活动，让学生对反比例函数进行再认识，进一步理解反比例函数定义、图像、性质；
(2) 让学生经历实验、观察、猜想、验证、应用等实践过程，培养学生发现数学问题的意识和应用意识，同时积累数学活动经验；
(3) 通过活动，使学生初步学会用数学眼光观察，用数学思维思考，用数学语言表达。
2、目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能利用已有的函数知识，通过实验获得的数据进行画图，根据图像猜想出反比例函数，根据反比例函数的定义进行验证，最后应用性质解决问题。
达成目标（2）的标志是：通过课前的实验培训，学生能合作完成实验；通过老师的引导，学生能从实验数据中发现函数关系，通过画出的函数图像能猜想出反比例函数；最后能应用结论解决问题。
达成目标（3）的标志是：在学生经历了课中的这个活动的全过程后，能在课后实践作业中小组合作独立完成“等面积的长方形长与宽的关系”的探究。
三. 教学问题诊断分析
数学活动课的顺利实施是建立在学生能完成实验的基础之上的，然而学生的
动手能力参差不齐，导致他们在获取实验数据时，会有一定的困难，所以，我将
实验操作的规范性和小组内的配合放在课前进行培训。那么，在课中的实验操作
环节会比较顺利。
本次活动在验证反比例函数时，由于实验误差，两个变量的积只是围绕在一
个值周围，而不是等于这个值，所以学生很难理解“两个变量的乘积是一个不为零的定值”；另外，学生理解“函数图像和解析式一一对应”也会比较困难，所以验证反比例函数是本节课的重点。
数学活动课的最终目的就是教会学生用数学眼光观察，用数学思维思考，用
数学语言表达。对于这种意识层面的目标是最难实现的，所以，它不仅是本节课的难点，更是数学教育的难点。
四. 教学支持条件分析
1、利用课前实验操作培训，使课中实验操作能顺利进行，为后续的活动的进行提供保证。
2、小组实验所需要的数据，均是由小组成员商量确定的，同时老师采用学生实验的数据借助几何画板现场画图，都为了体现出用数学眼光观察的真实性。
3、本次数学活动是属于“靶向性活动”，所以活动的方案和报告都是由老师
进行设计，学生需要根据实验过程对活动报告进行完善。
五. 教学过程设计
根据以上的分析，我制定了六个教学环节：①情景引入课题；②活动一：通过实验获取数据；③活动二：通过观察、猜想、验证，得出结论；④活动三：应用结论解决问题；⑤归纳小结；⑥课后作业。
（一）情景引入
阿基米德曾说：“给我一个支点，我将撬起整个地球”。当然，这只是阿基米德先生的一首狂想曲，现实中是不可能实现的，但是其中所蕴含的杠杆原理却是物理学中的一颗闪亮的明珠，给我们生产生活带来很大帮助。所以，这节课老师想请大家和我一起通过实验来探索“杠杆原理”中的数学问题。
【设计意图】 引入阿基米德先生的名句，既能提高学生的兴趣，又能简单直接的切入课题。
（二） 活动一：通过实验获取数据
我们知道杠杆原理是：动力?动力臂=阻力?阻力臂。如果当阻力与阻力臂一定时，改变动力臂的大小，那么是否有相应的动力与之对应呢？接下来请大家根据我们课前的实验培训一起通过实验来寻找答案。
1、老师在实验前引导学生对实验的有效数据进行分析
2、课中学生分组进行实验。
具体实施方法：
L/cm
…
…
F/N
…
…
(1)每个小组在组长带领下选取恰当的L的值，并填入活动报告单的表格中；
(2)组长带领组员分工合作进行实验.
【设计意图】：让学生自主实践是数学活动课一个典型的特点，由学生自己选择L的值进行实验不仅能体现出这个特点，而且能使后面“用数学眼光观察”更具有真实性和广阔性；采用分小组合作完成实验，能让学生经历数据得出的过程，积累一定的基本活动经验
（三） 活动二：通过观察、猜想、验证，得出结论
这是你们其中一位同学的表格，现在请同学们仔细观察这个表格，认真思
考老师的问题。
1、展示某个学生的表格，引导学生观察，并发现其中蕴含的函数关系。
问1：这是一个变化的过程吗？
问2：存在几个变量？
问3：当确定L的一个值，是否有唯一的F值与之对应？
问4：F和 L是函数关系吗？
【设计意图】：通过问题串引导学生发现其中蕴含的函数关系，培养学生发现数学问题的意识，让学生感知用数学眼光观察世界。
2、每个学生根据自己的数据画出函数图像
（1）引导学生回忆画函数图像的步骤；
（2）让学生以“L”的数值为横坐标，“F”的数值为纵坐标，建立直角坐
标系。在坐标系中描出以表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点。
【设计意图】：引导学生应用已经学过的研究函数的一般方法来研究这个函数，培养学生用数学的思维思考。
3、选取一组学生画的函数图像展示；
4、采用学生的一组数据，老师利用几何画板现场画图；
5、引导学生通过图像猜想：F和L是反比例函数关系。
【设计意图】：让学生自主选择L值，展示学生画的函数图像，以及老师利用学
生的数据现场画图，都是为了体现出实验结果的真实性，从而使“用数学的眼光观察”具有真实性。
6、引导学生利用反比例函数的定义验证，得出FL=4.9这一函数解析式；而我们所画的图像就是反比例函数的一支
7、以任意一组学生的数据为点的坐标，在老师的图像中描出点，让学生观察这个点是否在函数图像上；
8、在老师所画的图像上任取几点，得出它的坐标，再让学生用计算器算出横纵坐标的积，发现都是围绕在4.9周围；
9、得出结论：杠杠原理中，当阻力和阻力臂一定时，动力和动力臂是反比例函数关系
【设计意图】：让学生体会探究问题的一般方法：观察、猜想、验证；同时体会函数的解析式和图像一一对应的关系。
（四） 活动三：应用结论解决问题
我们通过对实验数据进行观察、猜想、验证，得出了结论，现在请同学们根据这个结论解决下面的问题：
练习：在此实验中，当 L为50cm时，对应的拉力记为 F1 ，当L为24cm时，
对应的拉力记为F2 , 问：
(1) F1和F2 的大小关系；
(2) F1的值是多少？
思考：周末，老师去菜市场买鱼，不料老板的电子称坏了，只好找出很久以
前的“古董称”，这杆称配有0.5kg的秤砣，但是由于保存不当，上面的刻度已经看不见了。怎么办呢？正当老板着急的时候，他上初三的儿子出现了。只见他让爸爸提着称，挂上鱼，左右移动秤砣，直到秤杆平衡。然后他拿着直尺开始测量，最后通过计算，成功得出了鱼的重量。如下图：OA=10cm，OB=30cm根据数据，你们能算出这条鱼有多少千克吗？
【设计意图】：在“练习”中，设计了一个超出实验中杠杆的最大长度的动力臂，可以让学生明白：实验的局限性，以及用数学方法解决问题的优越性；“思考”中呈现的是一个生活中的问题，可以让学生体会到数学不仅源于生活，也能用于生活；这两个问题的设计都是为了培养学生的应用意识，体会用数学思维进行思考的优越性。（其中“思考”这个问题根据时间来决定是课中思考还是课后思考）
（五）归纳小结
1、学生分享自己的收获
知识上的、经验上的、意识上的 ……
2、老师提炼小结
这节课，我们一起经历了实验、观察、猜想、验证、应用的学习过程，初步建立了发现问题的意识和应用意识，同时获得了一些数学基本活动经验；在这个过程中，我们还进一步认识了反比例函数的定义、图像和性质以及探究函数的一般方法。这些学习方法和探究思路在我们今后的学习中，将会进一步的应用。达芬奇说：“数学是一切科学的基础”。所以，老师希望同学们学会用数学眼光观察，用数学思维思考，用数学语言表达；并且用心去感受数学的优越性！
【设计意图】：“学生分享”体现出学生的主体地位，“老师提炼”体现出老师的主导作用，既对本节课进行总结，又对学生的将来提出要求，体现出数学学习的延伸性。
（七）课后作业
请同学们仿照这节课探究模式，以现在的小组为单位合作完成教材P19 的“活动1”
【设计意图】：通过小组合作，在没有老师的指导下，独立完成一次探究，既能
让他们内化本节课的内容，又能进一步培养学生的探究能力和应用意识，从而进一步体会用数学眼光观察，用数学思维思考，用数学语言表达的优越性。
六、板书设计
附件：
数学活动报告
活动名称：探究“杠杆原理”中的数学问题
活动原理：F阻L阻=F动L动
活动器材：铁架台、杠杆、钩码、滑轮 、测力器、计算器、直尺、铅笔
活动方式：分组进行，六人一组；
一号
二号
三号
四号（组长）
五号
六号
关注左侧钩码的位置
固定滑轮
拉动测力器，并改变测力器到支点的距离
观察平衡、读出数据
记录数据
用计算器验证数据的有效性
活动过程：
1.实验：【有效数据范围：F?L的范围 】
L/cm
…
…
F/N
…
…
2.画图
以“L”为横坐标，以“F”为纵坐标建立直角坐标系，并描点画图
3.得出结论
在杠杆原理中，当阻力和阻力臂一定时，动力和动力臂是
5.应用结论
在不使用测力器的情况下，当表中的L为50cm时，需要多大的拉力才能
使杠杆平衡？
【思考】
周末，老师去菜市场买鱼，不料老板的电子称坏了，只好找出很久以前
的“古董称”，这杆称配有0.5kg的秤砣，但是由于保存不当，上面的刻 度已经看不见了。怎么办呢？正当老板着急的时候，他上初三的儿子出现了。只见他让爸爸提着称，挂上鱼，左右移动秤砣，直到秤杆平衡。然后他拿着直尺开始测量，最后通过计算，成功得出了鱼的重量。如图：OA=10cm，OB=30cm。根据数据，你们能算出这条鱼有多重吗？
《探索“杠杆原理”中的数学问题》 点评稿
本节课以“积累活动经验、培养应用和创新意识”为宗旨，注重情境体验、问题引领、合作交流、情感互动，通过体现数学本体问题情境活动的探究，使学生历经获得数学活动经验，让学生在实践中再次回顾研究函数的一般思路，领悟函数与生活的关系。
一、重体验，体现活动过程的开放性
通过“当阻力和阻力臂一定时，探索动力和动力臂的对应关系”的任务主动参与活动，自主设计实验所需数据，小组合作完成数据收集，再从数学的角度观察数据，体会用数学的眼光观察世界的乐趣。
二、重思考，体现问题设计的层次性
通过观察数据得出函数关系，再通过画图猜想出反比例函数，然后利用反比例函数的定义进行验证，体现出研究函数的数形结合思想，最后应用数学的方法解决问题。这一过程的呈现，为学生打开了智慧之门，让学生初步学会用数学的思维思考世界。
三、重表达，体现数学本体的逻辑性
学生合作完成实验，讨论验证猜想、归纳交流分享，为学生搭建好数学语言的平台，强调书写规范、合理叙述、符合逻辑、解决问题等，实现三种语言之间的相互转化，整个过程既表达方式多样，积累丰富的活动经验。
总之，本节课以数学活动为载体，通过培养学生“用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达”来逐渐提高学生的数学能力和素养，促使学生的持续发展和终身学习。
课件9张PPT。
给我一个
支点，我
能撬动整
个地球.
探究“杠杆原理”中的数学问题人民教育出版社九年级下册 执教者：成 薇实验内容和原理2. 实验原理：实验内容：将50g钩码固定在杠杆的左侧距离中心10cm处，改变右侧
测力器与中点的距离 L动，在平衡状态下，得出对应的 F动。3. 有效数据分析：规定： 实验误差范围为±0.3左边： 阻力?阻力臂：所以，右边： 动力?动力臂的实验结果应该在 4.6~5.2 之间 根据杠杆原理： F阻L阻 = F动L动右边： 动力?动力臂也为 4.90.05? 9.8? 10= 4.9F阻? L阻 = F动? L动做一做观察猜想验证捋一捋 练习：在此实验中，当 L为50cm时，对应的拉力记为 F1 ，当L 为24cm时，
对应的拉力记为F2 , 问：
(1) F1和F2 的大小关系； (2) F1 的值是多少吗？活动2试一试小 结 请同学们仿照这节课探索方法，以现在的小组为单位合作完成教材P19 的“活动1” 作业作 业谢谢聆听！ 周末，老师去菜市场买鱼，不料老板的电子称坏了，只好找出很久以前“古董称”，这杆称配有0.5kg的秤砣，但是由于保存不当，上面的刻度已经看不见了。怎么办呢？正当老板着急的时候，他上初三的儿子出现了。只见他让爸爸提着称，挂上鱼，左右移动秤砣，直到秤杆平衡。然后他拿着直尺开始测量，最后通过计算，成功得出了鱼的重量。如下图：OA=10cm， OB=30cm根据数据，你们能算出这条鱼有多少千克吗？思考思 考
