课件30张PPT。三角形内角和定理人民教育出版社八年级数学上册第十一章第二节第一课时山西省吕梁市柳林县第二中学 赵海燕目 录 CONTENTS教材分析教学目标及重难点学情分析教学策略教学过程地位和作用 本节课是人教版八年级上册第十一章第二节第一课时，教学内容为三角形内角和定理的证明及其简单运用。三角形的内角和定理是计算角度的重要依据。
本节课的内容不仅是对平行线、平角、三角形相关知识的应用和深化，也是后续学习多边形内角和和外角和的基础。学情分析目标分析1、理解三角形内角和定理的证明方法与思路，能利用三角形内角和定理解决简单实际问题。
2、经历添加辅助线，利用平行线的性质证明三角形内角和定理的过程，渗透转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力。
3、经历三角形内角和定理证明的过程，培养学生善于观察、勇于探索的精神。
重点和难点通过添加辅助线构造辅助图形证明三角形内角
和定理探索三角形内角和定理的证明过程及应用教法 本节课通过教学生体验、教学生思考、教学生表达，从而提高学生的核心素养。课堂上运用了启发式教学法，以问题串的形式，引导并启发学生主动思考并尝试运用多种方法来证明三角形的内角和定理，使整个课堂生动有趣，极大限度地培养学生观察问题、发现问题、归纳解决问题的能力。学法 学生动手、动脑、动口、合作探究，积极参与知识获取的全过程，渗透多观察、多动脑的研讨式学习方法，培养学生学习数学的兴趣和合作探究精神。师提出问题，生大胆回答问题：有一块残缺的三角形木板，量∠A=100°,∠B=20°, 则这块三角形木板的第三个角的度数是多少？引出命题，出示目标 通过问题导入，激发学生的学习热情。学生能够很快进入学习状态，从心理上感知这节课的内容很简单，排除学生对几何证明的胆怯情绪。同时直截了当提出本节课学习目标，让学生带着目标去学习，更有针对性。
本环节的关键是：创设情境，引出课题，明确目标，规范表达。2 验证定理1、回忆以前学过的内容中哪里出现过180°？
2、三角形的三个内角的和与平角、补角有什么关系呢？你还记得小学是如何发现这个结论的吗？ 本环节的关键是：引导学生回忆小学熟知的验证方法“剪拼法”，将三角形三个内角的和与平角或补角联系起来。一：师生共同分析命题的题设和结论，教师提问：分析命题，寻求思路验证定理 二、动手操作：
学生取出课前准备好的三角形纸片，通过剪拼的方式验证三角形三内角和等于180°，小组合作完成操作，成果展示于黑板上，并由学生阐述操作思路。
这一环节关键在于让学生根据已有的经验，经历实验探究、直观想象、数学抽象，更为深刻地理解定理发生、发展的过程。2 验证定理 教师肯定了剪拼法的优势，追问：那我们就证明了“任意三角形的内角和都等于180°”吗？
对比剪拼的探索过程，让学生发现实验操作中可能存在着误差（平角、拼角），也有着局限性。进一步让学生了解到证明的必要性，而剪拼的方式为学生搭建了一个台阶，为下一步证明三角形内角和定理提供了思路和方法。 追问：你能从以下剪拼法中发现证明：“三角形内角和等于180°”的方法吗？活动一：师生共同分析一种拼图，得到相对应的一种证明方法 学生由合情推理过渡到演绎推理，由于学生对演绎推理比较陌生，通过问题串的形式对学生进行追问，突破难点，同时启发学生思考。
而教师强调辅助线的有关知识，让学生知道辅助线是以后解决几何问题的有力工具。追问：如何实现将三个角转换到同一顶点处形成平角？ 通过小组讨论，让学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法，从中获益；有意识地培养学生的说理能力、逻辑推理能力、语言表达能力以及一题多解的创新精神，让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中渗透初中阶段一个重要数学思想――转化思想，为学好初中数学打下坚实的基础。问题：如果最终平角的顶点依然选在点C处，你还有别的证明方法吗？活动二：一题多解 追问：平角的顶点既然可选在点C处，那么可否选在点A处呢？点B处呢？
追问：那剪拼的时候，我们可否将三个角都撕下来拼接到边上一个点处呢？三角形外呢？三角形内呢？如何“移角”呢？
一题多解，拓宽学生解题思路，发散学生的思维，同时也培养学生分类讨论的数学思想，使学生的学力得到提升。
活动三：一题多解，拓宽思路例1：如图，在△ABC中∠BAC=40°,∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数？4 例题点拨 将学习的主动权交给学生，让他们成为课堂的“主角”，极大地调动了学生学习的主动性和积极性。教师：出示例题，学生独立思考后上台讲解思路，教师点拨书写注意事项，展示解题全过程。 4 例题点拨分析例题，强调步骤1、如图，求出x的值 2、如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．活学活用，展示反馈学生学案上完成，教师抽样展示共同纠错、适时评价。及时地进行查缺补漏。三角形
内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180 °6 课堂小结 教师小结，将所学的知识系统化、条理化板书设计敬请批评指正谢谢聆听《11.2.1三角形内角和定理》教学设计
赵海燕- 山西省吕梁市柳林县第二初级中学
一、内容和内容解析
1、内容
三角形内角和定理
2、内容解析
《三角形内角和定理》是人教版教材八年级上册第十一章《三角形》第二节的内容，它从另外一个角度，即“角”的角度刻画三角形的特征，是本章的重要内容，也是几何学习中必备的知识。本节内容的探究体现了由实验几何向论证几何的研究过程，充分体现了证明的必要性。
通过回顾小学的验证方法：剪拼法，结合七年级所熟悉的平行线的性质定理，学生突破原有的形象思维限制，从剪拼方式中获取证明中添加辅助线的思路和方法，引入几何证明的重要方法——添加辅助线法，从而为多边形内角和和外角和的学习作好铺垫，也为以后继续学习几何证明打下良好的基础。因此，本节课的内容在教材编排上起着承上启下的重要作用。
二、学情分析
学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的性质定理以及它的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质定理以及它的严格证明的基础上展开的，因此，学生具有较好的基础。
但证明三角形内角和定理需要添加辅助线，这是学生首次遇到添加辅助线的证明，学生会感觉到困难，此时就需要教师搭建阶梯，组织学生，逐步引导。通过“剪拼法”的活动作为铺垫，辅助线的引出显得比较自然，很容易过渡到几何证明的思路中，从而突破教学的难点。
三、目标和目标解析
1、目标：
（1）探索并证明三角形内角和定理。
（2）能利用三角形内角和定理解决简单的问题
2、目标解析
（1）学生通过“剪拼法”实验中得到“三角形三内角和是180°”，在实验的过程中发现操作的弊端和局限性，进而感受到证明的必要性，并从中发现证明时所添加的辅助线，结合平行线的性质证明三角形内角和定理。
（2）学生能运用三角形内角和定理解决简单的问题。
（3）经历探索与证明的过程，培养学生探索、归纳的能力，一题多解的能力、转化知识并解决问题的能力，发展学生的推理能力。
四、教学重难点
根据课程标准和教学内容，结合学生学情，本节课的教学重点和难点如下：
重点：探索三角形内角和定理的证明过程及应用
难点：通过添加辅助线构造辅助图形证明三角形内角和定理
五、教学策略分析
本节课通过教学生体验、教学生思考、教学生表达，从而提高学生的核心素养。课堂上运用了启发式教学法，以问题串的形式，引导并启发学生主动思考并尝试运用多种方法来证明三角形的内角和定理，使整个课堂生动有趣，极大限度地培养学生观察问题、发现问题、归纳解决问题的能力。
学生动手、动脑、动口、合作探究，积极参与知识获取的全过程，渗透多观察、多动脑的研讨式学习方法，培养学生学习数学的兴趣和合作探究精神。
六、教学过程设计：
1、问题导入：
问题1：有一块残缺的三角形木板，量得∠A=100°,∠B=20°, 则这块三角形木板的第三个角的度数是多少？
师生活动：解决上述问题，我们用到了小学已经知道的一个结论（或命题），即：三角形的三个内角和等于180°，但是这个命题一直未进行证明，本节课我们就来证明它。
同时PPT出示学习目标
设计意图：通过提出问题，激发学生的学习热情。学生能够很快进入学习状态，从心理上感知这节课的内容很简单，排除学生对几何证明的胆怯情绪。同时直截了当提出本节课要研究的内容，让学生带着目标去学习，更有针对性。
问题2:老师刚给出的命题是文字性命题，证明文字性命题，我们应该经历哪些步骤？
师生活动：学生口头表述，学生于学案纸上完成，并请一位同学板书：
已知：△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
问题3:如何证明呢？想想如何出现180°？哪里出现过180°？
师生活动：教师引导，学生回答：平角或补角
追问1：三角形的三个内角的和与平角、补角有什么关系呢？你还记得小学是如何发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究。
师生活动：学生动手操作：剪拼法验证“三角形三内角和等于180°”。以小组为单位，让学生利用准备好的三角形纸片进行验证。
下图的两种方法是通过剪拼验证三角形的内角和为180°的基本方法：（指定每一小组均上台展示成果并阐述各自的剪拼思路）
追问2：剪拼的方法验证了手中的三角形纸片的“三个内角的和等于180°”，那么我们就可以得到“任意三角形的内角和都等于180°”吗？
师生互动分析：虽然通过剪拼的方法验证了手中三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的一小部分，而形状不同的三角形有无数多个，所以这些方法都有局限性。并且结论的得出是通过观察得到的，不具有说服力。紧接着，各个问题逐一解决，教师选择其中一种剪拼法为例去分析，与学生共同探究证明的方法。
设计意图：对比剪拼的探索过程，让学生发现实验操作中可能存在着误差，也有着局限性，进一步让学生了解到证明的必要性，而剪拼的方式为学生搭建了一个台阶，为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法。
问题4：从刚才的活动过程中，有其中的一种剪拼法是这样的（PPT展示），你能说出证明：“三角形内角和等于180°”这个结论的正确方法吗？
师生活动：教师启发：如何将感性变为理性。让学生把自已的想法与同伴交流，并请同学们将各自的想法变成现实。
追问1：要实现将三个角放在一起形成平角，如何实现平角？如何将三个角拼在一个顶点处？哪个更容易变为现实？
师生活动：明确1、平角的顶点及其形成平角的方向；2、通过拼图如何“移动”角。师生互动找到解决的办法。
师强调：在证明中，当原来的条件不够时，可添加辅助线，从而构造新图形，形成新关系，找到已知与未知之间的桥梁，把问题转化成自己会解决的问题，这是解决问题常用的方法之一，辅助线通常画成虚线。
学生完成第一种证明方法的完整步骤。
追问2：如果最终平角的顶点依然选在点C处，你还有别的证明方法吗？
师生活动：以小组为单位，讨论证明方法，讨论结束后，学生回答，师生共同核实其合理性。
追问3：平角的顶点既然可选在点C处，那么可否选在点A处呢？点B处呢？
师生活动：可以，并且如果选在A、B、C处时，相当于固定一个或者两个角，“移动”了另外的两个角或一个角。
追问4：那剪拼的时候，我们可否将三个角都撕下来拼接到边上一个点处呢？三角形外呢？三角形内呢？如何“移角”呢？
师生活动：可以，恍然大悟，方法很多，值得更深层次探究。“移角”是通过作平行线实现的。（分析结束后，可用PPT展示）
方法预设：方法1：
证明：过A点作DE∥BC
∵DE∥BC
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
方法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA
∵CE∥BA
∴∠B=∠2，∠A=∠1
∵∠BCA+∠1+∠2=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
追问2：你有其他的方法证明此定理吗?
方法3：过点A作AD∥BC（如图）
∵AD∥BC，
∴∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°
方法4：
如图，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB
交AC于E，作DF∥AC交AB于F
∵DE∥AB
∴∠1=∠B，∠2=∠4
∵DF∥AC
∴∠3=∠C，∠A=∠4
∴∠2=∠A
又∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
设计意图：通过小组讨论，让学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法，从中获益；有意识地培养学生的说理能力、逻辑推理能力、语言表达能力以及一题多思、一题多解的创新精神，让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中渗透初中阶段一个重要数学思想―――转化思想，为学好初中数学打下坚实的基础。
思考的过程中，让学生感受到添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。
2、例题解析、简单运用三角形内角和定理
活动内容：
例1：如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数？
C
A B
师生活动： 学生自主分析：要求∠ADB的度数，已知∠B的度数，∠BAD的度数可以由∠BAC的度数得到，而∠ADB的度数又可以由△ABC的内角和来得到。（师生共同分析，PPT展示过程）
设计意图：通过例题的解析，让学生体会分析问题的基本方法，灵活运用三角形内角和定理来解决问题，达到活用知识的目的。
3、反馈练习
(1)如图，求出的值
(2)如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
师生活动：学生独立思考，教师搜集相应学案。完成后，学生展示，教师采用纠错模式，集体纠错，完善学案。
设计意图：通过练习题，巩固三角形内角和知识，培养学生思维的广阔性，教师能全面了解学生能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏。
4、课堂小结、布置作业
（一）课堂小结：
可采用师生互动，共同总结；也可采用先让学生归纳，然后教师再补充的方式进行。
1、辅助线的作法技巧：添加辅助线的实质是通过平行线来“移动”角——构造平角，或同旁内角。
2、三角形内角和定理的简单应用。
设计意图：将所学的知识系统化、条理化。
（二）布置作业
习题 第 1题
设计意图：作业的布置是对本节课的学习作出及时的反馈，有助于学生了解自己的学习情况，便于教师了解学生掌握的总体情况，可以及时适当的对教学作出调整。
七、板书设计：
11.2.1 三角形内角和定理
1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
2、剪拼法拼图的展示
3、证明的全过程，完整步骤的书写展示。
八、目标检测设计
1、求出下列各图中的x值．
2、如图2，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
《三角形内角和定理》
（人教版八年级数学上册第十一章第二节第一课时）
课例点评 山西柳林县教研员 李法科
本节课目标明确、清晰，定位准确。教学设计思路明了，从学生已有知识和经验出发，设置符合学生认知的新问题，很好地处理了小学与初中的衔接。教学内容把握准确，突出重点，难点突破有力，教学效果好。整节课，教师的教态大方，积极引导学生参与，学生的积极性得到充分体现。教学程序的设计与动作充分体现了“实践---理论---实践”的学习方法，符合学生的认知规律，同时也突出了本节课的重点。特别在辅助线的画法上让学生感受到了平行线的妙用，为学生后续的学习增强了自信。
由小学到中学知识的衔接导入课题。
从一个小学生可以容易解决的问题入手，很自然地引入了“三角形内角和等于180度”这个命题，不仅激发学生的学习热情，而且能够让学生很快进入学习状态。同时教师直截了当提出本节课要研究的内容，让学生带着目标去学习，更有针对性。
从小学到中学知识的衔接中去探究证法，突破难点。
通过学生小学已有的直接经验---剪拼法的操作及其展示，同时教师适时引导，学生直观感受，剪接法虽然验证了这个命题，但是这种验证的方法是有弊端的，它是通过观察、而不是通过推理论证得出，它是不严谨的，要科学合理，我们就要努力达到以下几点：一、三角形的任意性；二、将三角形三个内角转换到同一顶点处；三、在这个顶点处形成平角。目标明确，突破了本节课的难点，寻求到了证明的第一种方法。
一题多解，多解归一。
本节的难点是添加辅助线，在师生共同探究出第一种证明方法之后，教师大胆放给学生去交流讨论，并让学生展示出自己的思维过程。在这个过程中留给了学生充足的时间进行不同证明方法的尝试，发散了学生的思维，巩固和规范了学生的证明过程，为今后的进一步学习打下坚实的基础。学生自己探究、自己发现、自己交流、自己总结的方法，让学生在探究过程中感受收获的喜悦，体验解决问题的成就感，从而实现本节课的情感目标。在三角形内角和定理的证明这一环节，学生很感兴趣，探究比较积极，通过小组探究、交流，最终都能得出正确的结论，达到预期效果。有些学生想不到的地方，教师引导的相当到位，思维逐步散开来，突破难点。最终将多种证法归结到一点，那就是通过作平行线这种辅助线达到最终的目的。
