课件19张PPT。乌鲁木齐市第四十二中学
刘贝贝第十一章 三角形11.3.2 多边形的内角和边内角外角对角线正方形长方形梯形任意四边形内角和为360°内角和是多少？学 生 作 业 展 示学 生 作 业 展 示学 生 作 业 展 示234n-22X180°=360°3X180°=540°4X180°=720°(n-2)X180°n14256n-33学 生 作 业 展 示1、八边形的内角和是_________.1080°2、已知一个多边形的内角和是540°，则这是_____边形.五解决问题，巩固提高解决问题，巩固提高例1 如图，在八边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做八边形的外角和.八边形的外角和等于多少？解：八边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.
8×180°-（8-2）×180°
=2×180°
=360°综合应用，能力提升1.(1)一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？
(2)一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，它是几边形？2.求图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F +∠G=（ ） 抓实：课本24页习题11.3 第3、4、5、6、7题.谢谢大家!数学是描述自然的符号——黑格尔乌鲁木齐市第四十二中学 刘贝贝
11.3.2 多边形的内角和
内容和内容解析
1.内容
多边形内角和公式，多边形外角和等于360°.
2.内容解析
多边形的内角和公式反应了多边形的边数与内角和之间的关系，是三角形内角和定理的应用、推广和深化，它源于三角形内角和定理又包含三角形内角和定理.多边形内角和公式为多边形外角和公式的学习提供知识基础.
多边形以三角形为基础，多边形的内角和与外角和都可以与三角形类比，多边形的对角线能把多边形分成几个三角形.因此，多边形的问题通常可以转化为三角形的问题来解决.
多边形内角和公式的探索过程体现了从特殊到一般的研究问题方法，涉及将多边形分割成若干个三角形的化归思想.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：多边形内角和公式的探究及其应用.
目标和目标解析
1.目标
探究并证明多边形内角和公式，体会化归思想和从特殊到一般的研究问题的方法.
运用多边形内角和公式解决问题，培养学生的应用意识.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能够以三角形内角和知识为基础，通过类比已有学习经验，将多边形分割成三角形探究多边形的内角和公式；通过多种转化方法的探究，让学生深刻体验化归及分类的思想，从特殊到一般的认识问题的方法，发展学生合情推理能力.
达成目标（2）的标志是:学生能在多边形的问题情境中，自觉地联想用多边形的内角和公式解决问题（如解决多边形外角和的问题）.
教学问题诊断分析
由具体的多边形内角和到n（n是不小于3的任意整数）边形内角和公式的获得，是一个由具体到抽象的推理过程.如何获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，如何确定分割后三角形的个数，这个过程不但结论随着多边形边数的变化而变化，而且还要关注从一个顶点出发的对角线数、分割的三角形数、内角和等,学生把握这一过程有一定难度.因此，教学中需要引导学生注意不同分割方法得到的三角形的个数和多边形内角和的关系.
因此，确定本节课的教学难点：学生获得将多边形分割成三角形解决问题的思路，确定分割后的三角形个数.
教学过程设计
1.课前准备
提前布置作业：探究四边形内角和是360°.
师生活动：通过学生的作业，老师可以了解他们探究四边形内角和是360°的方法，从学生已有的经验出发，为课堂上探究多边形内角和的方法指导做准备.
设计意图：学生在小学四年级上册人教版教材的练习题中探究过四边形的内角和，通过布置作业，让学生再现四边形内角和的探究方法，给学生充裕的时间去思考，可以看看学生通过最简单的多边形——三角形的学习还有没有别的探究方法，老师将学生的作业分类比较，为课堂上引导学生探究多边形的内角和做准备，从学生已有的学习经验出发，符合学生的认知规律.
2.设计情景，引出新课
从新疆魅力——特克斯八卦城引入多边形，带领学生复习三角形内角和定理和多边形相关概念，从特殊四边形内角和到任意四边形，发现四边形内角和是个定值，进一步探究其他多边形的内角和，引出新课.
师生活动：共同观看新疆特克斯八卦城的视频介绍.
问题1：你能从八卦城的鸟瞰图中找到哪些平面几何图形？
问题2：上一节课我们学习了哪些有关多边形的概念？
问题3：以四边形为例，当四边形的形状发生变化时，它的每条边的长度和每个内角的度数都有可能发生变化但是四边形的内角和不变，那么其它的多边形的内角和会是什么情况呢？
设计意图：1.通过介绍新疆特克斯八卦城，培养学生爱国爱疆意识，加深学生对中华文化的了解.
2.从特殊的四边形到任意的四边形，感知边的长度和每个内角的变化，但是内角和始终不变，明确探究多边形内角和的意义.
3.分析作业
师生活动：将学生探究四边形内角和的作业按不同方法进行分类分析，分析过程由学生合作交流并讲解，老师要及时纠正学生数学语言表达的准确性.
设计意图：让学生感受四边形内角和的不同探究方法，从学生熟悉的、已知的例子出发，建立四边形和三角形之间的关系，让学生体会化未知为已知的解决问题的方法.
4.探索五边形的内角和
问题1：在探究四边形内角和的作业中，同学发现了将四边形分割成两个三角形的方法（如图1），求得四边形内角和是360°，大家能用这样的方法继续探究五边形的内角和是多少吗？（如图2）
????????????????
问题2：你是如何添加辅助线的？分割成了几个三角形？
问题3：你还有别的方法探究五边形内角和吗？（如图3）
追问：当多边形的边数增加1时，多边形的内角和度数会怎样变化？
师生活动1：老师引导学生发现将多边形转化为三角形的思路，学生独立思考，探究五边形的内角和，引导学生说出分割方法是从多边形的一个顶点出发引对角线分割三角形，确定分割三角形的个数.
师生活动2：在学生独立探索的过程中发现学生的不同方法，及时补充，进一步让学生体会转化思想的重要意义.
设计意图：将研究方法进行迁移，类比学生在四边形内角和中出现的探究方法来探究五边形的内角和，符合学生的认知规律，为探究n边形的内角和奠定基础.
4.探索n边形的内角和公式
问题1：用这样的分割方法我们能从特殊到一般来探究n边形（n是不小于3的整数）的内角和吗？
追问1：在计算内角和的这一过程中，180°代表一个三角形的内角和，那么另外一个非常重要的数值是什么？（分割的三角形的个数）
追问2：如何确定三角形的个数？你能从图形的角度分析吗？
师生活动1：学生独立思考后与大家分享，师生共同分析思路，得到公式，引导学生从数和形两个角度确定从一个顶点引对角线分割的三角形的个数，从数的角度可以借助表格统计的数据分析（如图4），从形的角度就是所取顶点不能与它所在的两条边构成三角形，所以少了两个三角形（如图5），从而得到多边形的内角和公式为：（n-2）×180°.
???????????????????
????????????????????图????????????????????????????????????????????????????图???????????????????????????????????????????图?
师生活动2：老师结合学生作业中出现的探究四边形内角和的情况，让学生尝试用这些方法来探究五边形的内角和，如在五边形内部取一点，连接这个点与各个顶点，分割成五个三角形（如图6），内角和就是5×180°-360°，从而得到n边形的内角和计算方法，n
×180°-360°，为了计算简便，可以用运算律将这个式子化简为（n-2）×180°，与上一个方法得到的公式是一致的.这个过程要结合学生的作业情况完成，老师不要刻意去安排不同的分割方法.
设计意图：1.让学生进一步体会将多边形分割成几个三角形的化归过程，明确分割后的三角形个数与边的关系，得到多边形内角和公式，领会从具体到抽象的研究问题的方法.
2.让学生尝试用不同的方法分割多边形，加深对n边形内角和公式推理过程的理解.
5.巩固多边形内角和公式
练习1.八边形的内角和是_________.
练习2.已知一个多边形的内角和是540°，则这是_____边形.
师生活动1：学生独立完成，并口头说明理由.
师生活动2：学生互相出题练习，老师倾听帮助.
设计意图：1.从八卦城的平面图展开练习，与引课部分呼应，让学生感受数学与生活的紧密联系.
通过练习，让学生熟悉多边形内角和公式，已知边数会求多边形的内角和，知道内角和可以求多边形的边数.
6.结合实际计算多边形的外角和
例1 如图，在八边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做八边形的外角和.八边形的外角和等于多少？
师生活动1：老师给学生一个情境：我们要绕着八卦城的八条街道走一周，从一个顶点出发，沿各边走过各顶点，再回到点出发的顶点，转向出发时的方向，行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和.请学生完成八边形内角和的计算.
师生活动2：学生互相交流，由学生板书计算外角和的过程，并讲解.老师引导学生抓住每一个外角和它相邻的内角和为180°这一关键点.
师生活动3：师生共同完成n边形的外角和计算，并板书.得出结论：多边形的外角和为360°.
设计意图：1.本题的设计从生活情境中出发，引起学生对解决实际问题的兴趣，激发学生的求知欲.
2.通过合作交流发现图形中每一个内角和相邻外角互补的关系解决问题，从八边形到任意多边形的外角和都等于360°，再次体会从特殊到一般的推广方法.
3.老师板书n边形的外角和证明过程，强调书写的规范性和严谨性.
7.综合应用
练习1.(1)一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？
(2)一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，它是几边形？
练习2.求图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）.
师生活动：学生合作完成两道练习，第一题较简单，
可以采用同学之间互相批阅讲解的方式进行，第二题
需要学生讨论交流，用实物投影展示做法.
设计意图：第一题运用多边形内角和公式和外角和360°解决问题，促学生方程思维提升.第二题再次让学生感受转化思想解决问题的重要性.
8.课堂小结
问题1：本节课你掌握了哪些知识点？
问题2：这节课我们采用什么方法探究多边形内角和的？
追问：这样探究多边形内角和的方法体现了什么数学思想？
问题3：同学们还能从本节课的探究与练习中体会到什么数学思想方法？
设计意图：老师引导学生从知识技能、探究多边形内角和基本思路与途径，以及本节课蕴含的数学思想方法三方面进行小结，使学生对本节课的探究过程有系统的认识，思考每个环节提炼出数学思想方法，对学生今后学习与图形有关的知识有很大的帮助.
9.布置作业
作业分为抓实、提升、放开三部分，学生根据自己的掌握情况任选两项完成.
抓实：课本24页习题11.3 第3、4、5、6、7题.
提升：
1、已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，则这个多边形是_____边形．
2、一个正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形的边数是________.
3、小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680°，你能否求得正确结果呢？
4、已知∠1=65°，求图中∠A+∠B+∠C＋∠D＋∠E＋∠F=____.
放开：
1、尝试用课堂上出现的点在边上和没有出现的点在外部的做法分割三角形，得到多边形的内角和公式.
2、一块长方形木板，锯掉一个角后，剩下的多边形的内角和是多少度？
3、如图，连接正十边形的对角线AC与BD交于点E，则∠AED=_______°.
设计意图：作业分层布置，为了体现教学内容与学生能力水平的相一致，让不同程度的学生课后能得到不同的发展.
乌鲁木齐市第四十二中刘贝贝《多边形的内角和》评课稿
从整堂课的教学流程可以看出本节课问题的设计、探究方法环环相扣，层层递进。每一个环节都能体现学生的思考生成与教师的引导推进。
?、精心设计了贴近学生生活的实际情境。
采用大美新疆特克斯八卦城的平面图形引课，让学生在美景和美文中既感受家乡的美，又从中发现隐含的数学元素，巧妙的用“八卦城”过渡到练习与例题。促使学生在学习中体验数学的应用价值和感受知识的“再创造”过程。
2、引导学生从已有知识经验过渡到进一步学习的发展过程。
教学设计体现关注学情，以学定教。教师安排探究四边形内角和的前置作业，学生自主研究他们熟悉的四边形内角和知识，从中获得探究n边形内角和的学习经验，教师引导学生选择作业中的第一种做法，从一个顶点出发连对角线，分割三角形得到n边形内角和公式，然后对比展示学生的第二种和第三种做法，从中发现在多边形内部任取一点分割三角形的方法，运用类比方法，获得从特殊到一般的规律。
3、及时捕捉学生课堂上的思维动态优化方法。
教师关注学生生成性资源，具有较高的敏感度。尤其关注课堂中学生说与练的生成，例如在探究从一个顶点引对角线分割三角形得到五边形内角和过程中，学生说到可以将五边形分割成一个三角形和一个四边形，老师及时作出补充，鼓励学生运用化未知为已知的方法解决问题，培养学生解决问题的优化意识。
