2019年沪科版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2019年沪科版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 418.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-31 16:37:25 | ||
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文档简介
2019年沪科版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长；
②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△ABC边AB上的高；
④线段CD是△BCD边BD上的高．
上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．13，12，20 C．8，7，15 D．5，5，11
4．如图，△ABC中，BD⊥AC，AE⊥BC，AE、BD交于点O，连接CO，∠ABC＝54°，∠ACB＝48°，则∠COD＝（ ）
A．51° B．66° C．78° D．88°
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（ ）
A．40° B．36° C．20° D．18°
6．如图所示，在?ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，BD分别交AN，CM于点P，Q．下列命题中不正确的是（ ）
A．BD⊥AN B．∠DAN＝∠BCM
C．BP＝DQ D．S?AMCN：S?ABCD＝1：2
7．下列命题中，是真命题的有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
②若a2＝b2，则a＝b；
③多边形的外角和与边数有关；
④若线段a、b、c，满足b+c＞a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；
⑤如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图是琳琳6个装好糖果的礼包盒，每盒上面的数字代表这盒礼包实际装有的糖果数量．她把其中的5盒送给好朋友小芬和小红，自己留下1盒．已知送的都是整盒，包装没拆过，送给小芬的糖果数量是小红的2倍，则琳琳自己留下的这盒有糖果（ ）
A．15粒 B．18粒 C．20粒 D．31粒
10．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（ ）
A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C
二．填空题（共8小题）
11．图中有 个三角形．
12．如图，点AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 ．
13．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△BEF（阴影部分）的面积等于 cm2．
14．三角形的三边长分别为5，8，2x+1，则x的取值范围是 ．
15．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ．
16．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是 命题（填“真”或“假”）
17．如图，用5种不同的颜色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，则所有不同的着色方法有 种．
18．一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有 家订户．
三．解答题（共8小题）
19．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．
（I）请用含m的式子表示△ABM的面积；
（II）当m＝时，在y轴上有一点P，使△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
21．若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|．
22．在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB
①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝ ；若∠B＝40°，则∠AFD＝ ；
②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．
23．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BC，CD上的点，连接EF，GH．
①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．
②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．
判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．
24．如图，△ABD和△ACE，有下列三个关系式①BD?AC＝AB?CE；②∠1＝∠2；③∠C＝∠B．选择其中两个式子作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，写出已知，求证并证明．
25．国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次手，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名得分总和，问前三名选手各得多少分？说明理由．
26．三个整数p、q、r满足条件0＜p＜q＜r，它们分别写在三张卡片上，A、B、C三人进行某种游戏，每次各摸取一张卡片，然后按卡片上写的数走多少步．在进行N次（N≥2）后，A已走了20步，B走了10步，C走了9步，已知最后一次B走了r步，问第一次谁走了q步？
2019年沪科版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长；
②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△ABC边AB上的高；
④线段CD是△BCD边BD上的高．
上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的高的定义即可判断②③④，根据两点间的距离定义即可判断①．
【解答】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确；
②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确；
③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确；
④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确．
综上所述，正确的是①②③④共4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查对三角形的角平分线、中线、高，两点间的距离等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】连接DE，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，结合三角形面积计算即可．
【解答】解：连接DE，作AF⊥BC于F，如图所示：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，AH＝FH，
∴△ADE∽△ABC，AH⊥DE，
∴△ADE的面积＝24×＝6，
∴四边形DBCE的面积＝24﹣6＝18，
∵HG＝BC，
∴DE＝HG，
∴△DOE的面积+△HOG的面积＝2×DE×AH＝△ADE的面积＝6，
∴图中阴影部分的面积＝18﹣6＝12，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线定理，证明三角形相似是解题的关键．
3．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．13，12，20 C．8，7，15 D．5，5，11
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形；
B、13+12＞20，能摆成三角形；
C、8+7＝15，不能摆成三角形；
D、5+5＜11，不能摆成三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4．如图，△ABC中，BD⊥AC，AE⊥BC，AE、BD交于点O，连接CO，∠ABC＝54°，∠ACB＝48°，则∠COD＝（ ）
A．51° B．66° C．78° D．88°
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝78°，延长CO交AB于F，推出CF⊥AB，于是得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝54°，∠ACB＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝78°，
延长CO交AB于F，
∵BD⊥AC，AE⊥BC，AE、BD交于点O，
∴CF⊥AB，
∴∠ACF＝90°﹣∠BAC＝12°，
∴∠COD＝90°﹣∠ACF＝78°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形的垂心，熟记三角形的三条高线相交于一点是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（ ）
A．40° B．36° C．20° D．18°
【分析】先根据∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，得出∠ACD﹣∠ABC＝36°，再利用角平分线的定义得：∠ACD﹣∠ABC＝18°，即∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝18°．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝36°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝18°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，关键是从∠ACD这个外角看到∠ECD，根据等量代换解决此题．
6．如图所示，在?ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，BD分别交AN，CM于点P，Q．下列命题中不正确的是（ ）
A．BD⊥AN B．∠DAN＝∠BCM
C．BP＝DQ D．S?AMCN：S?ABCD＝1：2
【分析】证出四边形AMCN是平行四边形，由平行四边形的性质得出选项B正确，由相似三角形的性质得出选项C正确，由平行四边形的面积公式得出选项D正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∵M、N分别是边AB、CD的中点，
∴CN＝CD，AM＝AB，
∴CN＝AM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，∠MAN＝∠NCM，
∴∠DAN＝∠BCM，选项B正确；
∴△BMQ∽△BAP，△DPN∽△DQC，
∴BQ：BP＝BM：AB＝1：2，DP：DQ＝DN：CD＝1：2，
∴DP＝PQ，BQ＝PQ，
∴DP＝PQ＝QB，
∴BP＝DQ，选项C正确；
∵AB＝2AM，
∴S?AMCN：S?ABCD＝1：2，选项D正确；
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7．下列命题中，是真命题的有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
②若a2＝b2，则a＝b；
③多边形的外角和与边数有关；
④若线段a、b、c，满足b+c＞a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；
⑤如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由平行线的性质得出①是假命题，⑤是假命题；由偶次方的性质得出②是假命题；由多边形的外角和等于360°得出③是假命题命题；由三角形的三边关系得出④是假命题；即可得出答案．
【解答】解：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；①是假命题；
②若a2＝b2，则a＝b；②是假命题；
③∵多边形外角和都为360度，
∴多边形的外角和与边数无关；③是假命题；
④若线段a、b、c，满足b+c＞a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；④是假命题；
⑤如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．⑤是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握平行线的性质、三角形的三边关系是解题的关键．
8．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜；真命题：
理由：∵a＞b，ab＞0，
∴a＞b＞0，
∴＜；
②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；
理由：∵ab＞0，
∴a、b同号，
∵＜，
∴a＞b；
③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；
理由：∵a＞b，＜，
∴a、b同号，
∴ab＞0
∴组成真命题的个数为3个；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
9．如图是琳琳6个装好糖果的礼包盒，每盒上面的数字代表这盒礼包实际装有的糖果数量．她把其中的5盒送给好朋友小芬和小红，自己留下1盒．已知送的都是整盒，包装没拆过，送给小芬的糖果数量是小红的2倍，则琳琳自己留下的这盒有糖果（ ）
A．15粒 B．18粒 C．20粒 D．31粒
【分析】首先求出6个礼包盒一共有多少粒糖果；然后根据琳琳送给小芬的糖果数量是小红的2倍，可得琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是3的倍数；最后分别用6个礼包盒一共有糖果的总量减去每盒糖果的数量，求出琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是多少，即可判断出琳琳自己留下的这盒有糖果多少粒，据此解答即可．
【解答】解：6个礼包盒一共有糖果：
19+16+20+18+15+31＝119（粒），
（1）119﹣19＝100（粒），
因为100÷3＝33…1，
所以琳琳自己留下的这盒糖果不是19粒；
（2）119﹣16＝103（粒），
因为103÷3＝34…1，
所以琳琳自己留下的这盒糖果不是16粒；
（3）119﹣20＝99（粒），
因为99÷3＝33，
所以琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是99粒，
因为99÷3＝33（粒），99﹣33＝66（粒）
所以小芬的糖果数量是66粒，小红的糖果数量是33粒，
所以琳琳自己留下的这盒糖果是20粒；
（4）119﹣18＝101（粒），
因为101÷3＝33…2，
所以琳琳自己留下的这盒糖果不是18粒；
（5）119﹣15＝104（粒），
因为104÷3＝34…2，
所以琳琳自己留下的这盒糖果不是15粒；
（6）119﹣31＝88（粒），
因为88÷3＝29…1，
所以琳琳自己留下的这盒糖果不是31粒；
综上，可得
琳琳自己留下的这盒有糖果20粒．
故选：C．
【点评】（1）此题主要考查了推理与论证问题的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）判断出琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是3的倍数是解答此题的关键所在．
10．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（ ）
A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C
【分析】两人都猜对了一个队的名次，已知两队猜的第一名是错误的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是错误的．因此甲猜的第三项和乙猜的第四项是正确的，即这四个队的名次顺序为B、A、C、D．
【解答】解：由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第一名是B队．那么甲、乙的猜测情况可表示为：
甲：错、错、对、错；乙：错、错、错、对．
因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为B、A、C、D．
故选：A．
【点评】解决本题的关键，是要综合考虑两个人的猜测情况，以免造成多解和错解．
二．填空题（共8小题）
11．图中有 6 个三角形．
【分析】因为图中所有三角形都有一个共同的顶点，所以只看底边有几条线段就有几个三角形．
【解答】解：如图底边上有4个点，组成的线段的数量为：3+2+1＝6（条），
所以三角形的个数为6个
答：图中有6个三角形．
故答案为：6．
【点评】主要考查了三角形计数方法的应用，如果图形中的小三角形个数为n，则图中三角形的总个数就是1+2+3+…+n．
12．如图，点AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 2cm ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差＝AB﹣AC．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵AB＝10，AC＝8，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝10﹣8＝2（cm）．
故答案为：2cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△BEF（阴影部分）的面积等于 4 cm2．
【分析】由三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等，面积的和差求出△BEF（阴影部分）的面积等于4cm2．
【解答】解：如图所示：
∵点D是BC的中心，
∴BD＝CD，
∴，
又∵S△ABC＝16，
∴，
同理可得：
SBDE＝4，S△CDE＝4，
又∵S△BCE＝S△BDE+SCDE，
∴S△BCE＝4+4＝8，
又∵F是EC的中点，
∵＝，
故答案为4．
【点评】本题综合考查了三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等，面积的和差等相关知识，重点掌握三角形面积公式及等底同高的两个三角形的面积求法．
14．三角形的三边长分别为5，8，2x+1，则x的取值范围是 1＜x＜6 ．
【分析】根据三角形的三边关系定理可得8﹣5＜1+2x＜5+8，再解即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：8﹣5＜2x+1＜5+8，
解得：1＜x＜6．
故答案为：1＜x＜6．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
15．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ①② ．
【分析】由全等三角形的判定方法得出①②正确，③不正确．
【解答】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
理由：已知：如图1，2，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝AC，A'B'＝A'C'，BC＝BC，∠A＝∠A'，
求证：△ABC≌△A'B'C'，
证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
同理：∠B'＝90°﹣∠A'，
∵∠A＝∠A'，
∴∠B＝∠B'，
∵BC＝B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）
②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
理由：已知：如图3，4
在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD＝A'D'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，
求证：△ABC≌△A'B'C'
证明：∵AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴BD＝BC，B'D'＝B'C'，
∵BC＝B'C'，
∴BD＝B'D'，
∵AB＝A'B'，AD＝A'D'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）
③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；
例如：两直角三角形的斜边都是10，斜边的中线都是5，而其中一个直角三角形的两锐角是30°和60°，另一个直角三角形的两锐角是40°和50°
故答案为：①②．
【点评】本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是 假 命题（填“真”或“假”）
【分析】由题意得出∠1＝∠3，即可得出命题是假命题．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，
∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是假命题；
故答案为：假．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
17．如图，用5种不同的颜色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，则所有不同的着色方法有 540 种．
【分析】根据题意，从区域A开始，依次分析区域B、C、D、E的着色方法的数目，可得区域A有5种选法，区B有4种选法，区域C有3种选法，区域D有3种选法，区域E有3种选法，进而由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于区域A，有5种颜色可选，即有5种着色方法，
对于区B，与区域A相邻，有4种颜色可选，即有4种着色方法，
对于区C，与区域A、B相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，
对于区域D，与区域B、C相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，
对于区域E，与区域D、C相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，
则不同的着色方案有5×4×3×3×3＝540种；
故答案为540．
【点评】本题是推理与论证综合题目，主要考查分步计数原理的运用，是涂色问题；注意解题时认真审题，理解“相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用”的含义．
18．一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有 6 家订户．
【分析】在题目中，缺少吴家订的报纸种数和报纸F的订户，可将它们设为未知数，然后根据报纸的总数相同来列等量关系；可得出关于两个未知数的等量关系式，然后根据每户至少订一种报纸，可求出报纸F的订户数．
【解答】解：缺少吴家订的报纸种数，设为x；缺少报纸F的订户，设为y，
那么报纸总种数应相同，得：1+4+2+2+2+y＝2+2+4+3+5+x，解得y＝x+5，
由题意得吴家至少订一种报纸，那么y至少等于6．因此报纸F共有6家订户．
【点评】解决本题的关键是找到等量关系：报纸被订的总份数应该和六户人家订的总数相同．
三．解答题（共8小题）
19．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．
【分析】依据DE∥AC，DF∥AB，即可得到∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，再根据∠ADE＝∠ADF，即可得出∠DAF＝∠EAD，进而得到AD是∠BAC的角平分线．
【解答】解：AD是△ABC的角平分线．
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，
又∵∠ADE＝∠ADF，
∴∠DAF＝∠EAD，
又∵∠DAF+∠EAD＝∠BAC，
∴AD是∠BAC的角平分线．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．
（I）请用含m的式子表示△ABM的面积；
（II）当m＝时，在y轴上有一点P，使△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
【分析】（I）过M作ME⊥x轴于E，根据三角形的面积公式即可得到结果；
（II）设BM交y轴于点C，设P（0，n），求出当m＝﹣时，S△ABM＝3，由△BMP的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积＝3，求出PC＝，用待定系数法求出直线BM的解析式为y＝x﹣，得出OC＝，再分两种情况进行计算，即可得出结果．
【解答】解：（I）如图1所示，过M作CE⊥x轴于E，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝4，
∵在第三象限内有一点M（﹣2，m），
∴ME＝|m|＝﹣m，
∴S△ABM＝AB×ME＝×4×（﹣m）＝﹣2m；
（II）设BM交y轴于点C，如图2所示：
设P（0，n），
当m＝﹣时，M（﹣2，﹣），S△ABM＝﹣2m＝3，
∵在y轴上有一点P，使得△BMP的面积＝△ABM的面积相等＝6，
∵△BMP的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积＝PC×2+PC×3＝3，
解得：PC＝，
设直线BM的解析式为y＝kx+d，
把点M（﹣2，﹣），B（3，0）代入得：，解得：，
∴直线BM的解析式为y＝x﹣，
当x＝0时，y＝﹣，
∴C（0，﹣），OC＝，
当点P在点C的下方时，P（0，﹣﹣），即P（0，﹣）；
当点P在点C的上方时，P（0，﹣），即P（0，）；
综上所述，符合条件的点P坐标是（0，﹣）或（0，）．
【点评】本题是三角形综合题型，考查了绝对值、算术平方根的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数形结合的数学思想．
21．若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|．
【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴原式＝|a﹣（b+c）|+|b﹣（c+a）|+|（c+b）﹣a|
＝b+c﹣a+a+c﹣b+c+b﹣a
＝﹣a+b+3c．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
22．在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB
①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝ 115° ；若∠B＝40°，则∠AFD＝ 110° ；
②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，由三角形内角和定理求出∠B＝50°，由平行线的性质得出∠EDB＝∠C＝30°，由角平分线定义得出∠BAG＝∠BAC＝50°，∠FDG＝∠EDB＝15°，由三角形的外角性质得出∠DGF＝100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；
若∠B＝40°，则∠BAC+∠C＝180°﹣40°＝140°，由角平分线定义得出∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，由三角形的外角性质即可得出结果；
②由①得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，由三角形的外角性质得出∠DGF＝∠B+∠BAG，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）由（1）得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠BDH＝∠EDB＝∠C，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，
则∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C＝30°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠BAG＝∠BAC＝50°，∠FDG＝∠EDB＝15°，
∴∠DGF＝∠B+∠BAG＝50°+50°＝100°，
∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝100°+15°＝115°；
若∠B＝40°，则∠BAC+∠C＝180°﹣40°＝140°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，
∵∠DGF＝∠B+∠BAG，
∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝∠B+∠BAG+∠FDG＝∠B+（∠BAC+∠C）＝40°+×140°＝40°+70°＝110°；
故答案为：115°；110°；
②∠AFD＝90°+∠B；理由如下：
由①得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，
∵∠DGF＝∠B+∠BAG，
∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝∠B+∠BAG+∠FDG＝∠B+（∠BAC+∠C）＝∠B+（180°﹣∠B）＝90°+∠B；
（2）如图2所示：∠AFD＝90°﹣∠B；理由如下：
由（1）得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠BDH＝∠EDB＝∠C，
∵∠AHF＝∠B+∠BDH，
∴∠AFD＝180°﹣∠BAG﹣∠AHF
＝180°﹣∠BAC﹣∠B﹣∠BDH
＝180°﹣∠BAC﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣∠B﹣（∠BAC+∠C）
＝180°﹣∠B﹣（180°﹣∠B）
＝180°﹣∠B﹣90°+∠B
＝90°﹣∠B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
23．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BC，CD上的点，连接EF，GH．
①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．
②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．
判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．
【分析】①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，证明△EFN≌△HGM（ASA），即可得出EF＝GH；
②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，证明Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），得出∠OGQ＝∠PQF，证出∠PQF+∠PFQ＝90°，即可得出结论．
【解答】解：上述两个命题成立；理由如下：
①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图所示：
则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，
∴∠OGQ+∠OQG＝90°，
∵EF⊥GH，
∴∠PFQ+∠PQF＝90°，
∵∠OQG＝∠PQF，
∴∠OGQ＝∠PFQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴FN＝GM，
在△EFN和△HGM中，，
∴△EFN≌△HGM（ASA），
∴EF＝GH；
②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图所示：
则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴FN＝GM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴FN＝GM，
在Rt△EFN和Rt△HGM中，，
∴Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），
∴∠OGQ＝∠PQF，
∵∠OGQ+∠OQG＝90°，∠OQG＝∠PQF，
∴∠PQF+∠PFQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴EF⊥GH．
【点评】本题考查了命题与定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
24．如图，△ABD和△ACE，有下列三个关系式①BD?AC＝AB?CE；②∠1＝∠2；③∠C＝∠B．选择其中两个式子作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，写出已知，求证并证明．
【分析】证明△BAD∽△CAE，根据相似三角形的性质证明．
【解答】解：如果∠1＝∠2；∠C＝∠B，那么BD?AC＝AB?CE，
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，又∠C＝∠B，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝，即BD?AC＝AB?CE．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
25．国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次手，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名得分总和，问前三名选手各得多少分？说明理由．
【分析】由已知，现设一个运动员的得分讨论分析，进一步讨论推理论证8个运动员的得分范围，最后确定前三名的得分．
【解答】解：设第i个运动员为Ai，得分为ai（i＝1，2，7，8），则a1＞a2＞…＞a7＞a8，由于8名选手每人参加7局比赛，胜的最多者得7分，
即a1≤7，共赛局，总积分为28分，
所以a1+a2+…+a7+a8＝28①
因为每局得分为0，，1三种，
所以a1～a8只能在{0，，1，1.5，2，2.5，6，6.5，7}中取值，又知a4＝4.5，a2＝a5+a6+a7+a8②
若a3≥5.5，则a2≥6，a1≥6.5?a1+a2+a3≥6.5+6+5.5＝18
由①，a4+a5+a6+a7+a8≤10，但a4＝4.5，
所以a5+a6+a7+a8≤10﹣4.5＝5.5这与a2≥6矛盾，
故a3＜5.5
但a3＞a4＝4.5，
所以a3＝5
这时a1+a2+a5+a6+a7+a8＝28﹣5﹣4.5＝18.5
也就是a1+2a2＝18.5
若a2＝5.5?a1＝18.5﹣11＝7.5＞7≥a1，这不可能
若a2≥6.5?a1＝18.5﹣2a1≤18.5﹣13＞5.5＜a2，矛盾．
所以，只能a2＝6
此时a1＝18.5﹣2×6＝6.5
所以，前三名选手得分依次为6.5，6，5．
【点评】此题考查的知识点是推理与论证．解题的关键是分情况讨论及推理论证．
26．三个整数p、q、r满足条件0＜p＜q＜r，它们分别写在三张卡片上，A、B、C三人进行某种游戏，每次各摸取一张卡片，然后按卡片上写的数走多少步．在进行N次（N≥2）后，A已走了20步，B走了10步，C走了9步，已知最后一次B走了r步，问第一次谁走了q步？
【分析】根据卡片上的内容和游戏规则得到有关p、q、r的关系式，然后根据每个人所走的步数逐个分析后作出选择即可．
【解答】解：根据题意有：N（p+q+r）＝39，
∵N≥2，
∴N＝3．
p+q+r＝13．
由于A三次走了20步，因而r≥7．
如果r＝7，
那么A三次走的步数只能是6+7+7＝20，
这与p+q+r＝13矛盾，
从而r＞7．
由B三次走10步，且最后一次走了r步，
因p、q≥1，必有r≤8，
因此r＝8，p+q＝5，
由此p＝1，q＝4或p＝2，q＝3．
但由A三次走了20步，
只能得p＝1，q＝4．
现将已推算出各次每人走的步数列表：
A B C
一 8 1 4
二 8 1 4
三 4 8 1
观察此表知，第一次走q步的是C．
【点评】本题考查了推理性的问题，解决本类题目的关键是正确的理解题意，弄清关系，此类题目属于中档题型．
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长；
②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△ABC边AB上的高；
④线段CD是△BCD边BD上的高．
上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．13，12，20 C．8，7，15 D．5，5，11
4．如图，△ABC中，BD⊥AC，AE⊥BC，AE、BD交于点O，连接CO，∠ABC＝54°，∠ACB＝48°，则∠COD＝（ ）
A．51° B．66° C．78° D．88°
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（ ）
A．40° B．36° C．20° D．18°
6．如图所示，在?ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，BD分别交AN，CM于点P，Q．下列命题中不正确的是（ ）
A．BD⊥AN B．∠DAN＝∠BCM
C．BP＝DQ D．S?AMCN：S?ABCD＝1：2
7．下列命题中，是真命题的有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
②若a2＝b2，则a＝b；
③多边形的外角和与边数有关；
④若线段a、b、c，满足b+c＞a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；
⑤如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图是琳琳6个装好糖果的礼包盒，每盒上面的数字代表这盒礼包实际装有的糖果数量．她把其中的5盒送给好朋友小芬和小红，自己留下1盒．已知送的都是整盒，包装没拆过，送给小芬的糖果数量是小红的2倍，则琳琳自己留下的这盒有糖果（ ）
A．15粒 B．18粒 C．20粒 D．31粒
10．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（ ）
A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C
二．填空题（共8小题）
11．图中有 个三角形．
12．如图，点AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 ．
13．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△BEF（阴影部分）的面积等于 cm2．
14．三角形的三边长分别为5，8，2x+1，则x的取值范围是 ．
15．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ．
16．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是 命题（填“真”或“假”）
17．如图，用5种不同的颜色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，则所有不同的着色方法有 种．
18．一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有 家订户．
三．解答题（共8小题）
19．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．
（I）请用含m的式子表示△ABM的面积；
（II）当m＝时，在y轴上有一点P，使△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
21．若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|．
22．在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB
①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝ ；若∠B＝40°，则∠AFD＝ ；
②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．
23．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BC，CD上的点，连接EF，GH．
①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．
②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．
判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．
24．如图，△ABD和△ACE，有下列三个关系式①BD?AC＝AB?CE；②∠1＝∠2；③∠C＝∠B．选择其中两个式子作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，写出已知，求证并证明．
25．国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次手，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名得分总和，问前三名选手各得多少分？说明理由．
26．三个整数p、q、r满足条件0＜p＜q＜r，它们分别写在三张卡片上，A、B、C三人进行某种游戏，每次各摸取一张卡片，然后按卡片上写的数走多少步．在进行N次（N≥2）后，A已走了20步，B走了10步，C走了9步，已知最后一次B走了r步，问第一次谁走了q步？
2019年沪科版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长；
②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△ABC边AB上的高；
④线段CD是△BCD边BD上的高．
上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的高的定义即可判断②③④，根据两点间的距离定义即可判断①．
【解答】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确；
②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确；
③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确；
④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确．
综上所述，正确的是①②③④共4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查对三角形的角平分线、中线、高，两点间的距离等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】连接DE，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，结合三角形面积计算即可．
【解答】解：连接DE，作AF⊥BC于F，如图所示：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，AH＝FH，
∴△ADE∽△ABC，AH⊥DE，
∴△ADE的面积＝24×＝6，
∴四边形DBCE的面积＝24﹣6＝18，
∵HG＝BC，
∴DE＝HG，
∴△DOE的面积+△HOG的面积＝2×DE×AH＝△ADE的面积＝6，
∴图中阴影部分的面积＝18﹣6＝12，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线定理，证明三角形相似是解题的关键．
3．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．13，12，20 C．8，7，15 D．5，5，11
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形；
B、13+12＞20，能摆成三角形；
C、8+7＝15，不能摆成三角形；
D、5+5＜11，不能摆成三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4．如图，△ABC中，BD⊥AC，AE⊥BC，AE、BD交于点O，连接CO，∠ABC＝54°，∠ACB＝48°，则∠COD＝（ ）
A．51° B．66° C．78° D．88°
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝78°，延长CO交AB于F，推出CF⊥AB，于是得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝54°，∠ACB＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝78°，
延长CO交AB于F，
∵BD⊥AC，AE⊥BC，AE、BD交于点O，
∴CF⊥AB，
∴∠ACF＝90°﹣∠BAC＝12°，
∴∠COD＝90°﹣∠ACF＝78°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形的垂心，熟记三角形的三条高线相交于一点是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（ ）
A．40° B．36° C．20° D．18°
【分析】先根据∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，得出∠ACD﹣∠ABC＝36°，再利用角平分线的定义得：∠ACD﹣∠ABC＝18°，即∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝18°．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝36°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝18°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，关键是从∠ACD这个外角看到∠ECD，根据等量代换解决此题．
6．如图所示，在?ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，BD分别交AN，CM于点P，Q．下列命题中不正确的是（ ）
A．BD⊥AN B．∠DAN＝∠BCM
C．BP＝DQ D．S?AMCN：S?ABCD＝1：2
【分析】证出四边形AMCN是平行四边形，由平行四边形的性质得出选项B正确，由相似三角形的性质得出选项C正确，由平行四边形的面积公式得出选项D正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∵M、N分别是边AB、CD的中点，
∴CN＝CD，AM＝AB，
∴CN＝AM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，∠MAN＝∠NCM，
∴∠DAN＝∠BCM，选项B正确；
∴△BMQ∽△BAP，△DPN∽△DQC，
∴BQ：BP＝BM：AB＝1：2，DP：DQ＝DN：CD＝1：2，
∴DP＝PQ，BQ＝PQ，
∴DP＝PQ＝QB，
∴BP＝DQ，选项C正确；
∵AB＝2AM，
∴S?AMCN：S?ABCD＝1：2，选项D正确；
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7．下列命题中，是真命题的有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
②若a2＝b2，则a＝b；
③多边形的外角和与边数有关；
④若线段a、b、c，满足b+c＞a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；
⑤如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由平行线的性质得出①是假命题，⑤是假命题；由偶次方的性质得出②是假命题；由多边形的外角和等于360°得出③是假命题命题；由三角形的三边关系得出④是假命题；即可得出答案．
【解答】解：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；①是假命题；
②若a2＝b2，则a＝b；②是假命题；
③∵多边形外角和都为360度，
∴多边形的外角和与边数无关；③是假命题；
④若线段a、b、c，满足b+c＞a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；④是假命题；
⑤如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．⑤是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握平行线的性质、三角形的三边关系是解题的关键．
8．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜；真命题：
理由：∵a＞b，ab＞0，
∴a＞b＞0，
∴＜；
②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；
理由：∵ab＞0，
∴a、b同号，
∵＜，
∴a＞b；
③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；
理由：∵a＞b，＜，
∴a、b同号，
∴ab＞0
∴组成真命题的个数为3个；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
9．如图是琳琳6个装好糖果的礼包盒，每盒上面的数字代表这盒礼包实际装有的糖果数量．她把其中的5盒送给好朋友小芬和小红，自己留下1盒．已知送的都是整盒，包装没拆过，送给小芬的糖果数量是小红的2倍，则琳琳自己留下的这盒有糖果（ ）
A．15粒 B．18粒 C．20粒 D．31粒
【分析】首先求出6个礼包盒一共有多少粒糖果；然后根据琳琳送给小芬的糖果数量是小红的2倍，可得琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是3的倍数；最后分别用6个礼包盒一共有糖果的总量减去每盒糖果的数量，求出琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是多少，即可判断出琳琳自己留下的这盒有糖果多少粒，据此解答即可．
【解答】解：6个礼包盒一共有糖果：
19+16+20+18+15+31＝119（粒），
（1）119﹣19＝100（粒），
因为100÷3＝33…1，
所以琳琳自己留下的这盒糖果不是19粒；
（2）119﹣16＝103（粒），
因为103÷3＝34…1，
所以琳琳自己留下的这盒糖果不是16粒；
（3）119﹣20＝99（粒），
因为99÷3＝33，
所以琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是99粒，
因为99÷3＝33（粒），99﹣33＝66（粒）
所以小芬的糖果数量是66粒，小红的糖果数量是33粒，
所以琳琳自己留下的这盒糖果是20粒；
（4）119﹣18＝101（粒），
因为101÷3＝33…2，
所以琳琳自己留下的这盒糖果不是18粒；
（5）119﹣15＝104（粒），
因为104÷3＝34…2，
所以琳琳自己留下的这盒糖果不是15粒；
（6）119﹣31＝88（粒），
因为88÷3＝29…1，
所以琳琳自己留下的这盒糖果不是31粒；
综上，可得
琳琳自己留下的这盒有糖果20粒．
故选：C．
【点评】（1）此题主要考查了推理与论证问题的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）判断出琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是3的倍数是解答此题的关键所在．
10．A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（ ）
A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C
【分析】两人都猜对了一个队的名次，已知两队猜的第一名是错误的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是错误的．因此甲猜的第三项和乙猜的第四项是正确的，即这四个队的名次顺序为B、A、C、D．
【解答】解：由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第一名是B队．那么甲、乙的猜测情况可表示为：
甲：错、错、对、错；乙：错、错、错、对．
因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为B、A、C、D．
故选：A．
【点评】解决本题的关键，是要综合考虑两个人的猜测情况，以免造成多解和错解．
二．填空题（共8小题）
11．图中有 6 个三角形．
【分析】因为图中所有三角形都有一个共同的顶点，所以只看底边有几条线段就有几个三角形．
【解答】解：如图底边上有4个点，组成的线段的数量为：3+2+1＝6（条），
所以三角形的个数为6个
答：图中有6个三角形．
故答案为：6．
【点评】主要考查了三角形计数方法的应用，如果图形中的小三角形个数为n，则图中三角形的总个数就是1+2+3+…+n．
12．如图，点AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 2cm ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差＝AB﹣AC．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵AB＝10，AC＝8，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝10﹣8＝2（cm）．
故答案为：2cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△BEF（阴影部分）的面积等于 4 cm2．
【分析】由三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等，面积的和差求出△BEF（阴影部分）的面积等于4cm2．
【解答】解：如图所示：
∵点D是BC的中心，
∴BD＝CD，
∴，
又∵S△ABC＝16，
∴，
同理可得：
SBDE＝4，S△CDE＝4，
又∵S△BCE＝S△BDE+SCDE，
∴S△BCE＝4+4＝8，
又∵F是EC的中点，
∵＝，
故答案为4．
【点评】本题综合考查了三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等，面积的和差等相关知识，重点掌握三角形面积公式及等底同高的两个三角形的面积求法．
14．三角形的三边长分别为5，8，2x+1，则x的取值范围是 1＜x＜6 ．
【分析】根据三角形的三边关系定理可得8﹣5＜1+2x＜5+8，再解即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：8﹣5＜2x+1＜5+8，
解得：1＜x＜6．
故答案为：1＜x＜6．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
15．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ①② ．
【分析】由全等三角形的判定方法得出①②正确，③不正确．
【解答】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
理由：已知：如图1，2，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝AC，A'B'＝A'C'，BC＝BC，∠A＝∠A'，
求证：△ABC≌△A'B'C'，
证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
同理：∠B'＝90°﹣∠A'，
∵∠A＝∠A'，
∴∠B＝∠B'，
∵BC＝B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）
②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
理由：已知：如图3，4
在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD＝A'D'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，
求证：△ABC≌△A'B'C'
证明：∵AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴BD＝BC，B'D'＝B'C'，
∵BC＝B'C'，
∴BD＝B'D'，
∵AB＝A'B'，AD＝A'D'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）
③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；
例如：两直角三角形的斜边都是10，斜边的中线都是5，而其中一个直角三角形的两锐角是30°和60°，另一个直角三角形的两锐角是40°和50°
故答案为：①②．
【点评】本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16．如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是 假 命题（填“真”或“假”）
【分析】由题意得出∠1＝∠3，即可得出命题是假命题．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，
∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是假命题；
故答案为：假．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
17．如图，用5种不同的颜色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，则所有不同的着色方法有 540 种．
【分析】根据题意，从区域A开始，依次分析区域B、C、D、E的着色方法的数目，可得区域A有5种选法，区B有4种选法，区域C有3种选法，区域D有3种选法，区域E有3种选法，进而由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于区域A，有5种颜色可选，即有5种着色方法，
对于区B，与区域A相邻，有4种颜色可选，即有4种着色方法，
对于区C，与区域A、B相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，
对于区域D，与区域B、C相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，
对于区域E，与区域D、C相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，
则不同的着色方案有5×4×3×3×3＝540种；
故答案为540．
【点评】本题是推理与论证综合题目，主要考查分步计数原理的运用，是涂色问题；注意解题时认真审题，理解“相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用”的含义．
18．一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有 6 家订户．
【分析】在题目中，缺少吴家订的报纸种数和报纸F的订户，可将它们设为未知数，然后根据报纸的总数相同来列等量关系；可得出关于两个未知数的等量关系式，然后根据每户至少订一种报纸，可求出报纸F的订户数．
【解答】解：缺少吴家订的报纸种数，设为x；缺少报纸F的订户，设为y，
那么报纸总种数应相同，得：1+4+2+2+2+y＝2+2+4+3+5+x，解得y＝x+5，
由题意得吴家至少订一种报纸，那么y至少等于6．因此报纸F共有6家订户．
【点评】解决本题的关键是找到等量关系：报纸被订的总份数应该和六户人家订的总数相同．
三．解答题（共8小题）
19．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．
【分析】依据DE∥AC，DF∥AB，即可得到∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，再根据∠ADE＝∠ADF，即可得出∠DAF＝∠EAD，进而得到AD是∠BAC的角平分线．
【解答】解：AD是△ABC的角平分线．
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，
又∵∠ADE＝∠ADF，
∴∠DAF＝∠EAD，
又∵∠DAF+∠EAD＝∠BAC，
∴AD是∠BAC的角平分线．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．
（I）请用含m的式子表示△ABM的面积；
（II）当m＝时，在y轴上有一点P，使△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
【分析】（I）过M作ME⊥x轴于E，根据三角形的面积公式即可得到结果；
（II）设BM交y轴于点C，设P（0，n），求出当m＝﹣时，S△ABM＝3，由△BMP的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积＝3，求出PC＝，用待定系数法求出直线BM的解析式为y＝x﹣，得出OC＝，再分两种情况进行计算，即可得出结果．
【解答】解：（I）如图1所示，过M作CE⊥x轴于E，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝4，
∵在第三象限内有一点M（﹣2，m），
∴ME＝|m|＝﹣m，
∴S△ABM＝AB×ME＝×4×（﹣m）＝﹣2m；
（II）设BM交y轴于点C，如图2所示：
设P（0，n），
当m＝﹣时，M（﹣2，﹣），S△ABM＝﹣2m＝3，
∵在y轴上有一点P，使得△BMP的面积＝△ABM的面积相等＝6，
∵△BMP的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积＝PC×2+PC×3＝3，
解得：PC＝，
设直线BM的解析式为y＝kx+d，
把点M（﹣2，﹣），B（3，0）代入得：，解得：，
∴直线BM的解析式为y＝x﹣，
当x＝0时，y＝﹣，
∴C（0，﹣），OC＝，
当点P在点C的下方时，P（0，﹣﹣），即P（0，﹣）；
当点P在点C的上方时，P（0，﹣），即P（0，）；
综上所述，符合条件的点P坐标是（0，﹣）或（0，）．
【点评】本题是三角形综合题型，考查了绝对值、算术平方根的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数形结合的数学思想．
21．若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|．
【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴原式＝|a﹣（b+c）|+|b﹣（c+a）|+|（c+b）﹣a|
＝b+c﹣a+a+c﹣b+c+b﹣a
＝﹣a+b+3c．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
22．在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB
①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝ 115° ；若∠B＝40°，则∠AFD＝ 110° ；
②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，由三角形内角和定理求出∠B＝50°，由平行线的性质得出∠EDB＝∠C＝30°，由角平分线定义得出∠BAG＝∠BAC＝50°，∠FDG＝∠EDB＝15°，由三角形的外角性质得出∠DGF＝100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；
若∠B＝40°，则∠BAC+∠C＝180°﹣40°＝140°，由角平分线定义得出∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，由三角形的外角性质即可得出结果；
②由①得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，由三角形的外角性质得出∠DGF＝∠B+∠BAG，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）由（1）得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠BDH＝∠EDB＝∠C，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，
则∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C＝30°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠BAG＝∠BAC＝50°，∠FDG＝∠EDB＝15°，
∴∠DGF＝∠B+∠BAG＝50°+50°＝100°，
∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝100°+15°＝115°；
若∠B＝40°，则∠BAC+∠C＝180°﹣40°＝140°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，
∵∠DGF＝∠B+∠BAG，
∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝∠B+∠BAG+∠FDG＝∠B+（∠BAC+∠C）＝40°+×140°＝40°+70°＝110°；
故答案为：115°；110°；
②∠AFD＝90°+∠B；理由如下：
由①得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠FDG＝∠EDB，
∵∠DGF＝∠B+∠BAG，
∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝∠B+∠BAG+∠FDG＝∠B+（∠BAC+∠C）＝∠B+（180°﹣∠B）＝90°+∠B；
（2）如图2所示：∠AFD＝90°﹣∠B；理由如下：
由（1）得：∠EDB＝∠C，∠BAG＝∠BAC，∠BDH＝∠EDB＝∠C，
∵∠AHF＝∠B+∠BDH，
∴∠AFD＝180°﹣∠BAG﹣∠AHF
＝180°﹣∠BAC﹣∠B﹣∠BDH
＝180°﹣∠BAC﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣∠B﹣（∠BAC+∠C）
＝180°﹣∠B﹣（180°﹣∠B）
＝180°﹣∠B﹣90°+∠B
＝90°﹣∠B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
23．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BC，CD上的点，连接EF，GH．
①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．
②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．
判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．
【分析】①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，证明△EFN≌△HGM（ASA），即可得出EF＝GH；
②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，证明Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），得出∠OGQ＝∠PQF，证出∠PQF+∠PFQ＝90°，即可得出结论．
【解答】解：上述两个命题成立；理由如下：
①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图所示：
则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，
∴∠OGQ+∠OQG＝90°，
∵EF⊥GH，
∴∠PFQ+∠PQF＝90°，
∵∠OQG＝∠PQF，
∴∠OGQ＝∠PFQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴FN＝GM，
在△EFN和△HGM中，，
∴△EFN≌△HGM（ASA），
∴EF＝GH；
②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图所示：
则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴FN＝GM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴FN＝GM，
在Rt△EFN和Rt△HGM中，，
∴Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），
∴∠OGQ＝∠PQF，
∵∠OGQ+∠OQG＝90°，∠OQG＝∠PQF，
∴∠PQF+∠PFQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴EF⊥GH．
【点评】本题考查了命题与定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
24．如图，△ABD和△ACE，有下列三个关系式①BD?AC＝AB?CE；②∠1＝∠2；③∠C＝∠B．选择其中两个式子作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，写出已知，求证并证明．
【分析】证明△BAD∽△CAE，根据相似三角形的性质证明．
【解答】解：如果∠1＝∠2；∠C＝∠B，那么BD?AC＝AB?CE，
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，又∠C＝∠B，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝，即BD?AC＝AB?CE．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
25．国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次手，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名得分总和，问前三名选手各得多少分？说明理由．
【分析】由已知，现设一个运动员的得分讨论分析，进一步讨论推理论证8个运动员的得分范围，最后确定前三名的得分．
【解答】解：设第i个运动员为Ai，得分为ai（i＝1，2，7，8），则a1＞a2＞…＞a7＞a8，由于8名选手每人参加7局比赛，胜的最多者得7分，
即a1≤7，共赛局，总积分为28分，
所以a1+a2+…+a7+a8＝28①
因为每局得分为0，，1三种，
所以a1～a8只能在{0，，1，1.5，2，2.5，6，6.5，7}中取值，又知a4＝4.5，a2＝a5+a6+a7+a8②
若a3≥5.5，则a2≥6，a1≥6.5?a1+a2+a3≥6.5+6+5.5＝18
由①，a4+a5+a6+a7+a8≤10，但a4＝4.5，
所以a5+a6+a7+a8≤10﹣4.5＝5.5这与a2≥6矛盾，
故a3＜5.5
但a3＞a4＝4.5，
所以a3＝5
这时a1+a2+a5+a6+a7+a8＝28﹣5﹣4.5＝18.5
也就是a1+2a2＝18.5
若a2＝5.5?a1＝18.5﹣11＝7.5＞7≥a1，这不可能
若a2≥6.5?a1＝18.5﹣2a1≤18.5﹣13＞5.5＜a2，矛盾．
所以，只能a2＝6
此时a1＝18.5﹣2×6＝6.5
所以，前三名选手得分依次为6.5，6，5．
【点评】此题考查的知识点是推理与论证．解题的关键是分情况讨论及推理论证．
26．三个整数p、q、r满足条件0＜p＜q＜r，它们分别写在三张卡片上，A、B、C三人进行某种游戏，每次各摸取一张卡片，然后按卡片上写的数走多少步．在进行N次（N≥2）后，A已走了20步，B走了10步，C走了9步，已知最后一次B走了r步，问第一次谁走了q步？
【分析】根据卡片上的内容和游戏规则得到有关p、q、r的关系式，然后根据每个人所走的步数逐个分析后作出选择即可．
【解答】解：根据题意有：N（p+q+r）＝39，
∵N≥2，
∴N＝3．
p+q+r＝13．
由于A三次走了20步，因而r≥7．
如果r＝7，
那么A三次走的步数只能是6+7+7＝20，
这与p+q+r＝13矛盾，
从而r＞7．
由B三次走10步，且最后一次走了r步，
因p、q≥1，必有r≤8，
因此r＝8，p+q＝5，
由此p＝1，q＝4或p＝2，q＝3．
但由A三次走了20步，
只能得p＝1，q＝4．
现将已推算出各次每人走的步数列表：
A B C
一 8 1 4
二 8 1 4
三 4 8 1
观察此表知，第一次走q步的是C．
【点评】本题考查了推理性的问题，解决本类题目的关键是正确的理解题意，弄清关系，此类题目属于中档题型．