2019年沪科版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年沪科版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 666.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-31 16:37:02 | ||
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文档简介
2019年沪科版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（ ）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
5．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（ ）
A．40 B．28 C．20 D．10
6．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）
A．向右平移7格
B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换
C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称
D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向上运动
B．以1m/s的速度，做竖直向下运动
C．以m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
9．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（ ）
A． B．13 C． D．18
二．填空题（共8小题）
11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为 ．
12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为 ．
13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，则∠DBC＝ ．
14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝ 时，满足条件的点C恰有三个．
15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步．
16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是 ．
17．如图所示的商标有 条对称轴．
18．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为 点 分．
三．解答题（共8小题）
19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．
（1）求AE的长；
（2）求△ACD的面积．
20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．
21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．
22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．
（1）当x＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝ cm；
（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．
23．（1）当a＝ 时，代数式2a+5的值为3；
（2）等边三角形有 条对称轴．
24．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
25．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．
26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点
（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；
（2）若∠APO＝∠BPO，
①求此时P点的坐标；
②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
2019年沪科版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．
【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，
∴CE＝EG＝3，
∵EF∥OB，
∴∠COE＝∠OEF＝15°
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，
∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．
2．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（ ）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到GA＝GB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DG是AB的垂直平分线，
∴GA＝GB，
∵△AGC的周长为31cm，
∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝72°，由三角形内角和定理得出∠A＝36°，由作图得出BC＝BD，得出∠BDC＝∠C＝72°，证出∠A＝∠ABD，得出AD＝BD＝BC即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∵以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，
∴BC＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠ABD＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD＝BC＝；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证出AD＝BD＝BC是解题的关键．
4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
【分析】根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．
【解答】解：使△ABC是等腰三角形，
当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．
当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．
当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．
所以共8个．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．
5．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（ ）
A．40 B．28 C．20 D．10
【分析】延长AB，CD交点于E，可证△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，则S△BDC＝S△BCE，当BE⊥BC时，S△BEC最大面积为20，即S△BDC最大面积为10．
【解答】解：如图：延长AB，CD交点于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝4，
∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；
∵DE＝DC，
∴S△BDC＝S△BEC，
∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大，
即S△BDC最大面积＝××10×4＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S△BDC＝S△BEC是解题的关键．
6．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）
A．向右平移7格
B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换
C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称
D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格
【分析】认真观察图形，找准特点，根据轴对称的性质及平移变化得出．
【解答】解：观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格．
故选：D．
【点评】主要考查了轴对称的性质及平移变化．
轴对称图形具有以下的性质：
（1）轴对称图形的两部分是全等的；
（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'，依据AC＝A'C，BC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB'，可得△ABC≌△A'B'C，进而得出S△ABC＝S△A'B'C，再根据CD＝CE＝EC'，可得S△A'B'C＝S△A'B'C'，进而得到S△ABC＝S△A'B'C'．
【解答】解：如图，连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'，
∵点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，
∴AC＝A'C，BC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB'，AB垂直平分CC'，
∴△ABC≌△A'B'C（SAS），
∴S△ABC＝S△A'B'C，∠A＝∠AA'B'，AB＝A'B'，
∴AB∥A'B'，
∴CD⊥A'B'，
∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD＝CE，
∴CD＝CE＝EC'，
∴S△A'B'C＝S△A'B'C'，
∴S△ABC＝S△A'B'C'，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为，
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称的性质、三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是熟知对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
8．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向上运动
B．以1m/s的速度，做竖直向下运动
C．以m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，
则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动．
故选：B．
【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，充分发挥想象能力．
9．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案．
【解答】解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．
故选：C．
【点评】主要考查了剪纸问题；学生空间想象能力，动手操作能力是比较重要的，做题时，要注意培养．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（ ）
A． B．13 C． D．18
【分析】过A作AH⊥OB于H，连接AD，根据MN垂直平分AB，即可得到AD＝BD，当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，根据勾股定理求得AC的长，即可得到△BCD周长的最小值为13+5＝18．
【解答】解：如图，过A作AH⊥OB于H，连接AD，
∵点A坐标为（10，12），AO＝AB，
∴OH＝BH＝10，AH＝12，
又∵OC＝3BC，
∴BC＝5，CO＝15，
∴CH＝15﹣10＝5，
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AD+CD，
∴当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，
此时，Rt△ACH中，AC＝＝＝13，
∴△BCD周长的最小值＝13+5＝18，
故选：D．
【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二．填空题（共8小题）
11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为 4 ．
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE＝PD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POD＝∠OPC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出PE＝PC＝4，根据角平分线的性质得到答案．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝15°，
∵PC∥OB，
∴∠POD＝∠OPC，
∴∠PCE＝∠POC+∠OPC＝∠POC+∠POD＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PC＝4，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键．
12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为 100° ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE＝BA，得到∠E＝∠A＝50°，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵BD垂直平分AE，
∴BE＝BA，
∴∠E＝∠A＝50°，
∴∠EBC＝∠E+∠A＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，则∠DBC＝ 15° ．
【分析】根据线段垂直平分线的概念得到∠AED＝90°，进一步求出∠ABD＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝65°，
∴∠DBC＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．
14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝ 或2 时，满足条件的点C恰有三个．
【分析】分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3；分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示：
分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3，
此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC1为边长为2的等边三角形，其高为
∴S＝×2×＝
（2）如图所示：
分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，
点C1为l与线段AB的垂直平分线的交点，此时满足条件的点C恰好有3个，
△ABC2和△ABC3均为腰长为2的等腰直角三角形，△ABC1为底边为2，高为2的等腰三角形
∴S＝×2×2＝2
故答案为：或2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，构造圆，结合圆的切线性质及平行线的性质分类讨论，是解题的关键．
15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 3 步．
【分析】根据题意：分别计算出两种跳法所需要的步数，比较就可以了．
【解答】解：如图中红棋子所示，根据规则：
①点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内；
②点A从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内．
所以跳行的最少步数为3步．
【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是 ．
【分析】连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，由对称性可知PB＝BM＝BQ、△PBQ等腰三角形，进而即可得出PD＝PB，再根据BM的取值范围即可得出线段PQ长的取值范围．
【解答】解：∵∠A＝75°，∠C＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，如图所示．
∵点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，
∴BP＝BQ＝BM，∠PBA＝∠MBA，∠MBC＝∠QBC，
∴∠PBQ＝120°，
∵PB＝BQ，
∴∠BPQ＝∠BQP＝30°，
∴cos30°＝＝，
∴PD＝PB，
∵BC＝4，∠C＝45°，
∴2≤BM≤4，
∵BM＝PB，
∴2≤PB≤4，
∴2≤PD≤4×，即≤PD≤2，
∵PQ＝2PD，
∴2≤PQ≤4．
故答案为：2≤PQ≤4．
【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质和三角函数，解题的关键是证得△BPQ是等腰三角形．
17．如图所示的商标有 两 条对称轴．
【分析】根据轴对称图形的对称轴的意义结合图形画出，即可得出答案．
【解答】解：有两条对称轴，如图所示：直线AB和直线CD．
故答案为：两．
【点评】本题考查了对轴对称图形的应用，注意：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形图形叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线叫对称轴．
18．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为 9 点 30 分．
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，分析可得答案．
【解答】解：2：30时，分针竖直向下，时针指23之间，根据对称性可得：与9：30时的指针指向成轴对称，故实际时间是9：30．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
三．解答题（共8小题）
19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．
（1）求AE的长；
（2）求△ACD的面积．
【分析】（1）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠DAE＝∠ADE，进而得出AE＝DE＝5；
（2）过D作DG⊥AC于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE＝5；
（2）如图，过D作DG⊥AC于G，
又∵DF⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DG＝DF＝4，
∵CE＝6，
∴AC＝AE+CE＝5+6＝11，
∴△ACD的面积＝×AC×DG＝×11×4＝22．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A，
∵∠A＝66°，
∴∠DBA＝66°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝24°
∵AD＝BC，
∴BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC，
∴∠C＝＝78°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据等腰三角形的性质可求∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理可求∠CAD，再根据角的和差关系可求∠DAE的度数；
（2）等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，FD＝ED，再根据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝35°，
∴∠C＝35°，
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝35°，
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠C＝55°﹣35°＝20°；
（2）证明：∵D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
∵∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
∵AD⊥BC，
∴D是EF边上的中点，
∴FD＝ED，
∴BD﹣FD＝CD﹣ED，即BF＝CE．
【点评】考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．
（1）当x＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝ cm；
（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．
【分析】（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，依据点P运动的路程为6.5cm，即可得到x的值以及CP的长；
（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA＝PB．设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，依据勾股定理即可得到x的值．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝5cm，
当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，
∴点P运动的路程为6.5cm，
∴x＝6.5÷1＝，
此时CP＝AB＝cm；
故答案为：，；
（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA＝PB．
设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，
在Rt△BCP中，BC2+CP2＝BP2，
即32+x2＝（4﹣x）2，
解之得：x＝，
∴当x为时，△ABP为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，利用勾股定理列方程是解决问题的关键．
23．（1）当a＝ ﹣1 时，代数式2a+5的值为3；
（2）等边三角形有 3 条对称轴．
【分析】（1）根据题意得2a+5＝3，解方程即可；
（2）轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：2a+5＝3，
解得：a＝﹣1，
故当a＝﹣1时，代数式2a+5的值为3；
（ 2）等边三角形有3条对称轴．
故答案为：﹣1，3．
【点评】本题考查了轴对称的性质及解一元一次方程的知识，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，是一个基础题．
24．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答；
（3）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）所作图形如图所示；
（2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
（3）S△ABC＝3×4﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5．
【点评】本题考查的是轴对称变换的性质，掌握轴对称变换中坐标的变化特点是解题的关键，注意坐标系中不规则图形的面积的求法．
25．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．
【分析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．
【解答】解：如图所示；
【点评】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的解题的关键．
26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点
（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；
（2）若∠APO＝∠BPO，
①求此时P点的坐标；
②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据题意画坐标系描点，根据两点之间线段最短，求直线AB解析式，与x轴交点即为所求点P．
（2）①作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO，所以此时P、A'、B在同一直线上．求直线A'B解析式，与x轴交点即为所求点P．
②法一，根据坐标系里三角形面积等于水平长（右左两顶点的横坐标差）与铅垂高（上下两顶点的纵坐标差）乘积的一半，求得△PAB的面积为12，进而求得△QAP的铅垂高等于6，再得出直线BQ上的点E坐标为（2，8）或（2，﹣4），求出直线BQ，即能求出点Q坐标．法二，根据△QAB与△PAB同以AB为底时，高应相等，所以点Q在平行于直线AB、且与直线AB距离等于P到直线AB距离的直线上．这样的直线有两条，一条即过点P且与AB平行的直线，另一条在AB上方，根据平移距离相等即可求出．所求直线与y轴交点即点Q．
【解答】解：（1）∵两点之间线段最短
∴当A、P、B在同一直线时，PA+PB＝AB最短（如图1）
设直线AB的解析式为：y＝kx+b
∵A（2，2），B（4，﹣3）
∴ 解得：
∴直线AB：y＝﹣x+7
当﹣x+7＝0时，得：x＝
∴P点坐标为（，0）
（2）①作点A（2，2）关于x轴的对称点A'（2，﹣2）
根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO
∵∠APO＝∠BPO
∴∠A'PO＝∠BPO
∴P、A'、B在同一直线上（如图2）
设直线A'B的解析式为：y＝k'x+b'
解得：
∴直线A'B：y＝﹣x﹣1
当﹣x﹣1＝0时，得：x＝﹣2
∴点P坐标为（﹣2，0）
②存在满足条件的点Q
法一：设直线AA'交x轴于点C，过B作BD⊥直线AA'于点D（如图3）
∴PC＝4，BD＝2
∴S△PAB＝S△PAA'+S△BAA'＝
设BQ与直线AA'（即直线x＝2）的交点为E（如图4）
∵S△QAB＝S△PAB
则S△QAB＝＝2AE＝12
∴AE＝6
∴E的坐标为（2，8）或（2，﹣4）
设直线BQ解析式为：y＝ax+q
或
解得： 或
∴直线BQ：y＝或y＝
∴Q点坐标为（0，19）或（0，﹣5）
法二：∵S△QAB＝S△PAB
∴△QAB与△PAB以AB为底时，高相等
即点Q到直线AB的距离＝点P到直线AB的距离
i）若点Q在直线AB下方，则PQ∥AB
设直线PQ：y＝x+c，把点P（﹣2，0）代入
解得c＝﹣5，y＝﹣x﹣5
即Q（0，﹣5）
ii）若点Q在直线AB上方，
∵直线y＝﹣x﹣5向上平移12个单位得直线AB：y＝﹣x+7
∴把直线AB：y＝﹣x+7再向上平移12个单位得直线AB：y＝﹣x+19
∴Q（0，19）
综上所述，y轴上存在点Q使得△QAB的面积等于△PAB的面积，Q的坐标为（0，﹣5）或（0，19）
【点评】本题考查了两点之间线段最短，轴对称性质，求直线解析式，求三角形面积，平行线之间距离处处相等．解题关键是根据题意画图描点，直角坐标系里三角形面积的求法（）是较典型题，两三角形面积相等且等底时，高相等即第三个顶点在平行于底的直线上．
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（ ）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
5．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（ ）
A．40 B．28 C．20 D．10
6．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）
A．向右平移7格
B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换
C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称
D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向上运动
B．以1m/s的速度，做竖直向下运动
C．以m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
9．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（ ）
A． B．13 C． D．18
二．填空题（共8小题）
11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为 ．
12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为 ．
13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，则∠DBC＝ ．
14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝ 时，满足条件的点C恰有三个．
15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步．
16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是 ．
17．如图所示的商标有 条对称轴．
18．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为 点 分．
三．解答题（共8小题）
19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．
（1）求AE的长；
（2）求△ACD的面积．
20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．
21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．
22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．
（1）当x＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝ cm；
（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．
23．（1）当a＝ 时，代数式2a+5的值为3；
（2）等边三角形有 条对称轴．
24．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
25．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．
26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点
（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；
（2）若∠APO＝∠BPO，
①求此时P点的坐标；
②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
2019年沪科版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．
【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，
∴CE＝EG＝3，
∵EF∥OB，
∴∠COE＝∠OEF＝15°
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，
∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．
2．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（ ）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到GA＝GB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DG是AB的垂直平分线，
∴GA＝GB，
∵△AGC的周长为31cm，
∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝72°，由三角形内角和定理得出∠A＝36°，由作图得出BC＝BD，得出∠BDC＝∠C＝72°，证出∠A＝∠ABD，得出AD＝BD＝BC即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∵以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，
∴BC＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠ABD＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD＝BC＝；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证出AD＝BD＝BC是解题的关键．
4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
【分析】根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．
【解答】解：使△ABC是等腰三角形，
当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．
当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．
当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．
所以共8个．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．
5．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（ ）
A．40 B．28 C．20 D．10
【分析】延长AB，CD交点于E，可证△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，则S△BDC＝S△BCE，当BE⊥BC时，S△BEC最大面积为20，即S△BDC最大面积为10．
【解答】解：如图：延长AB，CD交点于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝4，
∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；
∵DE＝DC，
∴S△BDC＝S△BEC，
∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大，
即S△BDC最大面积＝××10×4＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S△BDC＝S△BEC是解题的关键．
6．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）
A．向右平移7格
B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换
C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称
D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格
【分析】认真观察图形，找准特点，根据轴对称的性质及平移变化得出．
【解答】解：观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格．
故选：D．
【点评】主要考查了轴对称的性质及平移变化．
轴对称图形具有以下的性质：
（1）轴对称图形的两部分是全等的；
（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'，依据AC＝A'C，BC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB'，可得△ABC≌△A'B'C，进而得出S△ABC＝S△A'B'C，再根据CD＝CE＝EC'，可得S△A'B'C＝S△A'B'C'，进而得到S△ABC＝S△A'B'C'．
【解答】解：如图，连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'，
∵点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，
∴AC＝A'C，BC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB'，AB垂直平分CC'，
∴△ABC≌△A'B'C（SAS），
∴S△ABC＝S△A'B'C，∠A＝∠AA'B'，AB＝A'B'，
∴AB∥A'B'，
∴CD⊥A'B'，
∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD＝CE，
∴CD＝CE＝EC'，
∴S△A'B'C＝S△A'B'C'，
∴S△ABC＝S△A'B'C'，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为，
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称的性质、三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是熟知对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
8．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向上运动
B．以1m/s的速度，做竖直向下运动
C．以m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，
则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动．
故选：B．
【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，充分发挥想象能力．
9．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案．
【解答】解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．
故选：C．
【点评】主要考查了剪纸问题；学生空间想象能力，动手操作能力是比较重要的，做题时，要注意培养．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（ ）
A． B．13 C． D．18
【分析】过A作AH⊥OB于H，连接AD，根据MN垂直平分AB，即可得到AD＝BD，当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，根据勾股定理求得AC的长，即可得到△BCD周长的最小值为13+5＝18．
【解答】解：如图，过A作AH⊥OB于H，连接AD，
∵点A坐标为（10，12），AO＝AB，
∴OH＝BH＝10，AH＝12，
又∵OC＝3BC，
∴BC＝5，CO＝15，
∴CH＝15﹣10＝5，
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AD+CD，
∴当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，
此时，Rt△ACH中，AC＝＝＝13，
∴△BCD周长的最小值＝13+5＝18，
故选：D．
【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二．填空题（共8小题）
11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为 4 ．
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE＝PD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POD＝∠OPC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出PE＝PC＝4，根据角平分线的性质得到答案．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝15°，
∵PC∥OB，
∴∠POD＝∠OPC，
∴∠PCE＝∠POC+∠OPC＝∠POC+∠POD＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PC＝4，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键．
12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为 100° ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE＝BA，得到∠E＝∠A＝50°，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵BD垂直平分AE，
∴BE＝BA，
∴∠E＝∠A＝50°，
∴∠EBC＝∠E+∠A＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，则∠DBC＝ 15° ．
【分析】根据线段垂直平分线的概念得到∠AED＝90°，进一步求出∠ABD＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝65°，
∴∠DBC＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．
14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝ 或2 时，满足条件的点C恰有三个．
【分析】分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3；分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示：
分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3，
此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC1为边长为2的等边三角形，其高为
∴S＝×2×＝
（2）如图所示：
分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，
点C1为l与线段AB的垂直平分线的交点，此时满足条件的点C恰好有3个，
△ABC2和△ABC3均为腰长为2的等腰直角三角形，△ABC1为底边为2，高为2的等腰三角形
∴S＝×2×2＝2
故答案为：或2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，构造圆，结合圆的切线性质及平行线的性质分类讨论，是解题的关键．
15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 3 步．
【分析】根据题意：分别计算出两种跳法所需要的步数，比较就可以了．
【解答】解：如图中红棋子所示，根据规则：
①点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内；
②点A从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内．
所以跳行的最少步数为3步．
【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是 ．
【分析】连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，由对称性可知PB＝BM＝BQ、△PBQ等腰三角形，进而即可得出PD＝PB，再根据BM的取值范围即可得出线段PQ长的取值范围．
【解答】解：∵∠A＝75°，∠C＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，如图所示．
∵点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，
∴BP＝BQ＝BM，∠PBA＝∠MBA，∠MBC＝∠QBC，
∴∠PBQ＝120°，
∵PB＝BQ，
∴∠BPQ＝∠BQP＝30°，
∴cos30°＝＝，
∴PD＝PB，
∵BC＝4，∠C＝45°，
∴2≤BM≤4，
∵BM＝PB，
∴2≤PB≤4，
∴2≤PD≤4×，即≤PD≤2，
∵PQ＝2PD，
∴2≤PQ≤4．
故答案为：2≤PQ≤4．
【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质和三角函数，解题的关键是证得△BPQ是等腰三角形．
17．如图所示的商标有 两 条对称轴．
【分析】根据轴对称图形的对称轴的意义结合图形画出，即可得出答案．
【解答】解：有两条对称轴，如图所示：直线AB和直线CD．
故答案为：两．
【点评】本题考查了对轴对称图形的应用，注意：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形图形叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线叫对称轴．
18．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为 9 点 30 分．
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，分析可得答案．
【解答】解：2：30时，分针竖直向下，时针指23之间，根据对称性可得：与9：30时的指针指向成轴对称，故实际时间是9：30．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
三．解答题（共8小题）
19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．
（1）求AE的长；
（2）求△ACD的面积．
【分析】（1）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠DAE＝∠ADE，进而得出AE＝DE＝5；
（2）过D作DG⊥AC于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE＝5；
（2）如图，过D作DG⊥AC于G，
又∵DF⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DG＝DF＝4，
∵CE＝6，
∴AC＝AE+CE＝5+6＝11，
∴△ACD的面积＝×AC×DG＝×11×4＝22．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A，
∵∠A＝66°，
∴∠DBA＝66°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝24°
∵AD＝BC，
∴BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC，
∴∠C＝＝78°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据等腰三角形的性质可求∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理可求∠CAD，再根据角的和差关系可求∠DAE的度数；
（2）等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，FD＝ED，再根据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝35°，
∴∠C＝35°，
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝35°，
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠C＝55°﹣35°＝20°；
（2）证明：∵D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
∵∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
∵AD⊥BC，
∴D是EF边上的中点，
∴FD＝ED，
∴BD﹣FD＝CD﹣ED，即BF＝CE．
【点评】考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．
（1）当x＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝ cm；
（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．
【分析】（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，依据点P运动的路程为6.5cm，即可得到x的值以及CP的长；
（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA＝PB．设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，依据勾股定理即可得到x的值．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝5cm，
当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，
∴点P运动的路程为6.5cm，
∴x＝6.5÷1＝，
此时CP＝AB＝cm；
故答案为：，；
（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA＝PB．
设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，
在Rt△BCP中，BC2+CP2＝BP2，
即32+x2＝（4﹣x）2，
解之得：x＝，
∴当x为时，△ABP为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，利用勾股定理列方程是解决问题的关键．
23．（1）当a＝ ﹣1 时，代数式2a+5的值为3；
（2）等边三角形有 3 条对称轴．
【分析】（1）根据题意得2a+5＝3，解方程即可；
（2）轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：2a+5＝3，
解得：a＝﹣1，
故当a＝﹣1时，代数式2a+5的值为3；
（ 2）等边三角形有3条对称轴．
故答案为：﹣1，3．
【点评】本题考查了轴对称的性质及解一元一次方程的知识，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，是一个基础题．
24．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答；
（3）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）所作图形如图所示；
（2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
（3）S△ABC＝3×4﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5．
【点评】本题考查的是轴对称变换的性质，掌握轴对称变换中坐标的变化特点是解题的关键，注意坐标系中不规则图形的面积的求法．
25．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．
【分析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．
【解答】解：如图所示；
【点评】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的解题的关键．
26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点
（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；
（2）若∠APO＝∠BPO，
①求此时P点的坐标；
②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据题意画坐标系描点，根据两点之间线段最短，求直线AB解析式，与x轴交点即为所求点P．
（2）①作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO，所以此时P、A'、B在同一直线上．求直线A'B解析式，与x轴交点即为所求点P．
②法一，根据坐标系里三角形面积等于水平长（右左两顶点的横坐标差）与铅垂高（上下两顶点的纵坐标差）乘积的一半，求得△PAB的面积为12，进而求得△QAP的铅垂高等于6，再得出直线BQ上的点E坐标为（2，8）或（2，﹣4），求出直线BQ，即能求出点Q坐标．法二，根据△QAB与△PAB同以AB为底时，高应相等，所以点Q在平行于直线AB、且与直线AB距离等于P到直线AB距离的直线上．这样的直线有两条，一条即过点P且与AB平行的直线，另一条在AB上方，根据平移距离相等即可求出．所求直线与y轴交点即点Q．
【解答】解：（1）∵两点之间线段最短
∴当A、P、B在同一直线时，PA+PB＝AB最短（如图1）
设直线AB的解析式为：y＝kx+b
∵A（2，2），B（4，﹣3）
∴ 解得：
∴直线AB：y＝﹣x+7
当﹣x+7＝0时，得：x＝
∴P点坐标为（，0）
（2）①作点A（2，2）关于x轴的对称点A'（2，﹣2）
根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO
∵∠APO＝∠BPO
∴∠A'PO＝∠BPO
∴P、A'、B在同一直线上（如图2）
设直线A'B的解析式为：y＝k'x+b'
解得：
∴直线A'B：y＝﹣x﹣1
当﹣x﹣1＝0时，得：x＝﹣2
∴点P坐标为（﹣2，0）
②存在满足条件的点Q
法一：设直线AA'交x轴于点C，过B作BD⊥直线AA'于点D（如图3）
∴PC＝4，BD＝2
∴S△PAB＝S△PAA'+S△BAA'＝
设BQ与直线AA'（即直线x＝2）的交点为E（如图4）
∵S△QAB＝S△PAB
则S△QAB＝＝2AE＝12
∴AE＝6
∴E的坐标为（2，8）或（2，﹣4）
设直线BQ解析式为：y＝ax+q
或
解得： 或
∴直线BQ：y＝或y＝
∴Q点坐标为（0，19）或（0，﹣5）
法二：∵S△QAB＝S△PAB
∴△QAB与△PAB以AB为底时，高相等
即点Q到直线AB的距离＝点P到直线AB的距离
i）若点Q在直线AB下方，则PQ∥AB
设直线PQ：y＝x+c，把点P（﹣2，0）代入
解得c＝﹣5，y＝﹣x﹣5
即Q（0，﹣5）
ii）若点Q在直线AB上方，
∵直线y＝﹣x﹣5向上平移12个单位得直线AB：y＝﹣x+7
∴把直线AB：y＝﹣x+7再向上平移12个单位得直线AB：y＝﹣x+19
∴Q（0，19）
综上所述，y轴上存在点Q使得△QAB的面积等于△PAB的面积，Q的坐标为（0，﹣5）或（0，19）
【点评】本题考查了两点之间线段最短，轴对称性质，求直线解析式，求三角形面积，平行线之间距离处处相等．解题关键是根据题意画图描点，直角坐标系里三角形面积的求法（）是较典型题，两三角形面积相等且等底时，高相等即第三个顶点在平行于底的直线上．