2019年沪科版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年沪科版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 724.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-31 16:41:01 | ||
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文档简介
2019年沪科版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1：5000和1：20 000，如果甲图上A、B两地的距离与乙图上C、D两地的距离恰好一样长，那么A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比为（ ）
A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1
2．已知＝＝，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是DC中点，AF平分∠EAB，FH⊥AD交AE于点G，则GH的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，且l1，l2，l3，l4，l5中相邻两条直线之间的距离相等，△ABC的顶点A，B，C分别在l1，l3，l5上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，AC交l2于点F，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
6．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，每相邻两条直线之间的距离为1，点A，B，C分别在直线l1，l3，l6上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，CA交l2于点F．若△DEF的面积为2，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（ ）
A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等
B．△ABC与△A1B1C1不一定相似
C．△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2
D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1
8．下列说法中正确的是（ ）
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
9．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：4，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．16：1
10．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（ ）
A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对
二．填空题（共8小题）
11．已知，则＝ ．
12．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝ ．
13．已知线段MN＝2，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，则MP＝ ．
14．如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝ cm．
15．下列说法中：
①所有的等腰三角形都相似；
②所有的正三角形都相似；
③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．
其中说法正确的序号是 ．
16．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则AD的长为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交BC于点F，连接AF，若AF＝，线段DE的长为 ．
三．解答题（共8小题）
19．解答下列各题：
（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16
（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值
20．（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．
（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．
21．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
22．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH．将矩形纸片沿BE折叠，得到△BA′E（点A折叠到A′处），展开纸片；再沿BA′折叠，折痕与GH，AD分别交于点M，N，然后将纸片展开．
（1）连接EM，证明A′M＝MG；
（2）设A′M＝MG＝x，求x值．
23．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．
24．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．
（1）求证：CD＝CF；
（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．
25．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝4时，求点E的坐标；
（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，分别交AD、AC于点E、点F．点G是BC上一点，连接AG交BE于点H，过点H作BC的平行线，交AC于点P．
（1）若∠ABC＝60°，AH＝5，BH＝6，求△ABH的面积；
（2）若∠BAG＝∠ACB，求证：AP＝CF．
2019年沪科版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1：5000和1：20 000，如果甲图上A、B两地的距离与乙图上C、D两地的距离恰好一样长，那么A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比为（ ）
A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1
【分析】根据题意，列比例式分别求出A、B和C、D两地的实际距离，再求得A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比的值．
【解答】解：把图上距离看作单位1，设A、B和C、D两地的实际距离分别为x和y，则：
1：5000＝1：x，
解得x＝5000，
1：20000＝1：y，
解得y＝20000，
∴x：y＝5000：20000＝1：4．
故选：C．
【点评】解此题的关键是可以把图上距离看作单位1，再根据比例尺分别表示其实际距离，进一步求得比值．
2．已知＝＝，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】设a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：设a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'，则
＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的求值，解决问题的关键是依据条件设a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'．
3．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：∵点P把线段AB分割成AP和PB两段，AP是PB和AB的比例中项，
∴根据线段黄金分割的定义得：＝．
故选：D．
【点评】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是DC中点，AF平分∠EAB，FH⊥AD交AE于点G，则GH的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】在Rt△ADE中，根据勾股定理可求AE，设AG＝x，可得GF＝x，HG＝2﹣x，根据相似三角形的性质列出方程求出x，进一步得到GH的长即可求解．
【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB＝2，点E是DC中点，
∴DE＝1，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
∵AF平分∠EAB，
∴∠GAF＝∠BAF，
∵FH⊥AD，
∴AB∥HF∥CD，AB＝HF，
∴∠GFA＝∠BAF，
∴AG＝GF，
设AG＝x，则GF＝x，GH＝2﹣x，则
＝，即＝，
解得x＝，
GH═2﹣x＝2﹣＝．
故选：B．
【点评】考查了勾股定理，相似三角形的性质，角平分线的性质，条件多而复杂，注意知识的综合运用与转化．
5．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，且l1，l2，l3，l4，l5中相邻两条直线之间的距离相等，△ABC的顶点A，B，C分别在l1，l3，l5上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，AC交l2于点F，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【分析】每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF的面积为1，即可得到DF＝1，再根据DF∥BG，即可得出BG＝2，即可求得△ABC的面积．
【解答】解：如图，∵每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF的面积为2，
∴×DF×2＝1，
∴DF＝1，
∵DF∥BG，
∴＝＝，
∴BG＝2，
∴S△ABC＝S△ABG+S△BCG＝×2×2+×2×2＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
6．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，每相邻两条直线之间的距离为1，点A，B，C分别在直线l1，l3，l6上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，CA交l2于点F．若△DEF的面积为2，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF的面积为2，即可得到DF＝2，再根据DF∥BG，即可得出BG＝4，即可求得△ABC的面积．
【解答】解：如图，∵每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF的面积为2，
∴×DF×2＝2，
∴DF＝2，
∵DF∥BG，
∴＝＝，
∴BG＝4，
∴S△ABC＝S△ABG+S△BCG＝×4×2+×4×3＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
7．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（ ）
A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等
B．△ABC与△A1B1C1不一定相似
C．△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2
D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1
【分析】相似三角形的对应边之比等于相似比，据此即可解答．
【解答】解：因为△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，
那么△A1B1C1的各边为△ABC的2倍，即△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定方法的运用．
8．下列说法中正确的是（ ）
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】根据相似多边形的定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形判定则可．
【解答】解：①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对应边都成比例，但是它们不一定相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；
④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．
故选：D．
【点评】本题考查了相似多边形的判定，根据定义判定则可．注意：一定要满足各角对应相等，各边对应成比例两个条件，缺一不可．
9．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：4，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．16：1
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
∵＝，
∴△ABC与△DEF的面积比是＝1：16，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，而不等于相似比，题目比较典型，难度不大．
10．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（ ）
A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对
【分析】为两种情况：①∠ADE＝∠C，根据△ADE∽△ACB，得出＝，代入求出DE即可；②∠ADE′＝∠B，根据△ADE∽△ABC，得出＝，代入求出AE＞AB．
【解答】解：
∵∠A＝∠A，
分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴，
∴DE＝12，
②∠ADE′＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝＞AB，不合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，关键是求出符合条件的所有情况，主要考查学生的理解能力和计算能力，用的数学思想是方程思想和分类讨论思想．
二．填空题（共8小题）
11．已知，则＝ ．
【分析】设＝a，代入计算即可．
【解答】解：设＝a，
则x＝3a，y＝4a，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是比例的性质，灵活运用参数思想是解题的关键．
12．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝ 2 ．
【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．
【解答】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝4，
∴b＝±2（负数舍去）．
故答案是：2．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．
13．已知线段MN＝2，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，则MP＝ ．
【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝2代入计算即可．
【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，
∴MP＝MN＝×2＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键．
14．如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝ 1 cm．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入得出＝，求出AG即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，
∴＝，
解得：AG＝1（cm），
故答案为：1．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应成比例．
15．下列说法中：
①所有的等腰三角形都相似；
②所有的正三角形都相似；
③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．
其中说法正确的序号是 ②③ ．
【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．
16．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为 1：4 ．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则AD的长为 或 ．
【分析】△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CF：CE＝3：4，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CE：CF＝3：4，由相似三角形角之间的关系，可以推出∠B＝∠ECD与∠A＝∠FCD，从而得到CD＝AD＝BD，即D点为AB的中点．
【解答】解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CF：CE＝3：4，
∵AC：BC＝3：4，
∴CF：CE＝AC：BC，
∴EF∥AB．
连接CD，如图1所示：
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴cosA＝＝，
∴AD＝AC?cosA＝3×＝；
②若CE：CF＝3：4，
∵AC：BC＝3：4，∠C＝∠C，
∴△CEF∽△CBA，
∴∠CEF＝∠A．
连接CD，如图2所示：
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ECD，
∴BD＝CD．
同理可得：∠A＝∠FCD，AD＝CD，
∴D点为AB的中点，
∴AD＝AB＝；
故答案为：或．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、翻转变换的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交BC于点F，连接AF，若AF＝，线段DE的长为 ．
【分析】由直角三角形的性质得出AD＝CD，EF＝CF，CD＝CF，设CF＝x，则AB＝CD＝x，BC＝AD＝CD＝3x，得出BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理得（x）2+（2x）2＝（）2，解得x＝，得出CF＝，EF＝，AD＝3，证明△ADE∽△CFE，得出＝，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，
∴AD＝CD，∠DCE＝60°，
∵DF⊥AC，
∴EF＝CF，∠CDF＝30°，
∴CD＝CF，
设CF＝x，则AB＝CD＝x，BC＝AD＝CD＝3x，
∴BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：（ x）2+（2x）2＝（）2，
解得：x＝，
∴CF＝，EF＝，AD＝3，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CFE，
∴＝，即＝，
∴DE＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．解答下列各题：
（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16
（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值
【分析】（1）先展开，再合并同类项，根据因式分解法解方程即可求解．；
（2）根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：a+b+c≠0；a+b+c＝0进行讨论．本题还可以设参数法解答．
【解答】解：（1）（x+2）（x+3）＝2x+16，
x2+5x+6＝2x+16，
x2+3x﹣10＝0，
（x﹣2）（x+5）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5；
（2）若a+b+c≠0，由等比定理有＝＝＝＝1，
所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
于是有＝＝8．
若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
于是有＝＝﹣1．
【点评】考查了因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．同时考查了等比性质：若＝＝…＝＝k，则＝k，（b+d+…+n≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0）．比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．
20．（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．
（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．
【分析】（1）根据比例中项的概念，a：b＝b：c，则可求得b的值；
（2）根据比例中项的概念，AB：MN＝MN：CD，则可求得线段MN的值．
【解答】解：（1）∵b是a，c的比例中项，
∴a：b＝b：c，
∴b2＝ac；
b＝±，
∵a＝4，c＝9，
∴b＝±＝±6，即b＝±6；
（2）∵MN是线段，
∴MN＞0；
∵线段MN是AB，CD的比例中项，
∴AB：MN＝MN：CD，
∴MN 2＝AB?CD，
∴MN＝±；
∵AB＝4cm，CD＝5cm，
∴MN＝±＝±2；
MN不可能为负值，则MN＝2，
通过解答（1）、（2）发现，c、MN同时作为比例中项出现，c可以取负值，而MN不可以取负值．
【点评】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，可得出方程求解．
21．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和黄金三角形的定义即可得出结论；
（2）证明△ANH≌△AEH（ASA），得出AN＝AE，借助已知利用线段的和差可得CD＝BN+CE．
【解答】解：（1）△ABC和△ADC都是黄金三角形，理由如下：
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵DB＝DA，
∴∠BAD＝∠B，
∵DA═AC，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，
又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝∠DAC＝36°，
∴△ABC和△ADC都是黄金三角形；
（2）CD＝BN+CE，理由如下；
由（1）知，∠BAD＝∠B＝36°，∠CAD＝36°＝∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
在△ANH和△AEH中
∴△ANH≌△AEH（ASA），
∴AN＝AE，
即AB﹣BN＝AC+CE，
又∵BA＝BC＝BD+DC，AC＝AD＝BD，
∴BC﹣BN＝AD+CE
∴BD+CD﹣BN＝AD+CE，
又∵AD＝BD，
∴CD﹣BN＝CE，
即CD＝BN+CE．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、黄金三角形的定义、全等三角形的判定与性质等知识；掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH．将矩形纸片沿BE折叠，得到△BA′E（点A折叠到A′处），展开纸片；再沿BA′折叠，折痕与GH，AD分别交于点M，N，然后将纸片展开．
（1）连接EM，证明A′M＝MG；
（2）设A′M＝MG＝x，求x值．
【分析】（1）证明Rt△EA'M≌Rt△EGM即可证明A′M＝MG；
（2）设A′M＝MG＝x，则MH＝8﹣x，BH＝8，BM＝BA'+A'M＝8+x，在Rt△BHM中，由BH2+HM2＝BM2，
即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，求出x即可．
【解答】解：（1）证明：连接EM，如图．
由折叠可知EA＝EA'，
∵AE＝EG，∠EA'B＝∠A＝90°
∴A'E＝EG，
∵四边形ABCD为矩形，AB∥EF∥GH，
∴∠EGM＝90°
∴∠EGM＝∠EA'M，
∴Rt△EA'M≌Rt△EGM（HL），
∴A′M＝MG；
（2）∵AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH，
∴GH＝8，A'B＝AB＝8，MH＝8﹣x，BH＝8，BM＝BA'+A'M＝8+x
在Rt△BHM中，
BH2+HM2＝BM2，
即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，
解得x＝2，
即x的值为2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质和勾股定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
23．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．
【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定甲乙的观点是否正确；
（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，求出△ACB的内切圆半径，进而△DEF的内切圆的半径，根据相似三角形的性质以及面积公式即可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．
【解答】解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵，，∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴，
同理，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：..
【点评】本题主要考查了相似三角形的综合题，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
24．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．
（1）求证：CD＝CF；
（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．
【分析】（1）求出∠DAC＝∠BAC，根据全等三角形的判定得出△ADC≌△ABC，根据全等三角形的性质得出CD＝CB即可；
（2）根据相似三角形的性质和判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SAS），
∴CD＝CB，
∵CE⊥AB，EF＝EB，
∴CF＝CB，
∴CD＝CF；
（2）解：∵△DGC∽△ADC，
∴∠DGC＝∠ADC，
∵∠ADC＝2∠HAG，
∴∠DCG＝2∠HAG，
∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，
∴∠HAG＝∠AHG，
∴HG＝AG，
∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，
∴△DGC∽△AGF，
∴△AGF∽△ADC，
∴＝＝，
即＝．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
25．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝4时，求点E的坐标；
（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由相似三角形的性质求出BH＝6，得出OE＝8即可求出点E的坐标．
（2）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分两种情况讨论，求出t的值，即可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）当t＝4时，PC＝4，
过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：
∵A（2，0），C（0，3），
∴OA＝2，OC＝3，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，
∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，
∴∠BPC＝∠EBH，
∵∠EHB＝∠BCP＝90°，
∴△PBC∽△BEH，
∴＝，即＝，
解得：BH＝6，
∴AE＝BH＝6，
∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，
∴点E的坐标是（8，0）；
（2）存在，理由如下：
∵∠ABE+∠ABP＝90°，
∠PBC+∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠PBC，
∵∠BAE＝∠BCP＝90°，
∴△BCP∽△BAE
∴＝，
∴＝，
∴AE＝t，
当点P在点O上方时，如图2所示：
若＝时，△POE∽△EAB，
∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，
∴＝，
解得：t1＝，t2＝（舍去），
∴OP＝3﹣＝，
∴P的坐标为（0，），
当点P在点O下方时，如图3所示：
①若＝，
则△OPE∽△ABE，＝，
解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），
OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，
P的坐标为（0，﹣），
②若＝，
则△OEP∽△ABE，＝，
整理得： t2＝﹣9，
∴这种情况不成立，
综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键，注意分类讨论．
26．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，分别交AD、AC于点E、点F．点G是BC上一点，连接AG交BE于点H，过点H作BC的平行线，交AC于点P．
（1）若∠ABC＝60°，AH＝5，BH＝6，求△ABH的面积；
（2）若∠BAG＝∠ACB，求证：AP＝CF．
【分析】（1）过点H作HN⊥AB于N，则∠ABH＝30°，HN＝BH＝3，由勾股定理求得BN＝＝3，AN＝＝4，则AB＝4+3，由三角形面积公式即可得出结果；
（2）在BC上截取BM＝AB，连接FM，证出∠AGB＝∠BAC，得出∠AFB＝∠AHF，则AH＝AF，由SAS证得△ABF≌△MBF得出AF＝FM，∠AFB＝∠MFB，推出AH＝FM，∠AHF＝∠MFB，则AG∥FM得出∠HAP＝∠MFC，由HP∥BC得出∠APH＝∠FCM，由AAS证得△APH≌△FCM，即可得出结论．
【解答】（1）解：过点H作HN⊥AB于N，如图1所示：
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠ABH＝30°，
∴HN＝BH＝3，
BN＝＝＝3，
AN＝＝＝4，
∴AB＝AN+BN＝4+3，
∴S△ABH＝AB?HN＝×（4+3）×3＝6+；
（2）证明：在BC上截取BM＝AB，连接FM，如图2所示：
∵∠BAG＝∠ACB，∠AGB＝∠ACB+∠CAG，∠BAC＝∠BAG+∠CAG，
∴∠AGB＝∠BAC，
∵∠AFB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABF，∠AHF＝∠BHG＝180°﹣∠AGB﹣∠CBF，∠ABF＝∠CBF，
∴∠AFB＝∠AHF，
∴AH＝AF，
在△ABF和△MBF中，，
∴△ABF≌△MBF（SAS），
∴AF＝FM，∠AFB＝∠MFB，
∴AH＝FM，∠AHF＝∠MFB，
∴AG∥FM，
∴∠HAP＝∠MFC，
∵HP∥BC，
∴∠APH＝∠FCM，
在△APH和△FCM中，，
∴△APH≌△FCM（AAS），
∴AP＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握平行线的性质、证明三角形全等是解题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1：5000和1：20 000，如果甲图上A、B两地的距离与乙图上C、D两地的距离恰好一样长，那么A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比为（ ）
A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1
2．已知＝＝，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是DC中点，AF平分∠EAB，FH⊥AD交AE于点G，则GH的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，且l1，l2，l3，l4，l5中相邻两条直线之间的距离相等，△ABC的顶点A，B，C分别在l1，l3，l5上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，AC交l2于点F，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
6．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，每相邻两条直线之间的距离为1，点A，B，C分别在直线l1，l3，l6上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，CA交l2于点F．若△DEF的面积为2，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（ ）
A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等
B．△ABC与△A1B1C1不一定相似
C．△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2
D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1
8．下列说法中正确的是（ ）
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
9．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：4，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．16：1
10．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（ ）
A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对
二．填空题（共8小题）
11．已知，则＝ ．
12．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝ ．
13．已知线段MN＝2，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，则MP＝ ．
14．如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝ cm．
15．下列说法中：
①所有的等腰三角形都相似；
②所有的正三角形都相似；
③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．
其中说法正确的序号是 ．
16．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则AD的长为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交BC于点F，连接AF，若AF＝，线段DE的长为 ．
三．解答题（共8小题）
19．解答下列各题：
（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16
（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值
20．（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．
（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．
21．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
22．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH．将矩形纸片沿BE折叠，得到△BA′E（点A折叠到A′处），展开纸片；再沿BA′折叠，折痕与GH，AD分别交于点M，N，然后将纸片展开．
（1）连接EM，证明A′M＝MG；
（2）设A′M＝MG＝x，求x值．
23．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．
24．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．
（1）求证：CD＝CF；
（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．
25．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝4时，求点E的坐标；
（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，分别交AD、AC于点E、点F．点G是BC上一点，连接AG交BE于点H，过点H作BC的平行线，交AC于点P．
（1）若∠ABC＝60°，AH＝5，BH＝6，求△ABH的面积；
（2）若∠BAG＝∠ACB，求证：AP＝CF．
2019年沪科版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1：5000和1：20 000，如果甲图上A、B两地的距离与乙图上C、D两地的距离恰好一样长，那么A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比为（ ）
A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1
【分析】根据题意，列比例式分别求出A、B和C、D两地的实际距离，再求得A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比的值．
【解答】解：把图上距离看作单位1，设A、B和C、D两地的实际距离分别为x和y，则：
1：5000＝1：x，
解得x＝5000，
1：20000＝1：y，
解得y＝20000，
∴x：y＝5000：20000＝1：4．
故选：C．
【点评】解此题的关键是可以把图上距离看作单位1，再根据比例尺分别表示其实际距离，进一步求得比值．
2．已知＝＝，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】设a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：设a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'，则
＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的求值，解决问题的关键是依据条件设a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'．
3．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：∵点P把线段AB分割成AP和PB两段，AP是PB和AB的比例中项，
∴根据线段黄金分割的定义得：＝．
故选：D．
【点评】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是DC中点，AF平分∠EAB，FH⊥AD交AE于点G，则GH的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】在Rt△ADE中，根据勾股定理可求AE，设AG＝x，可得GF＝x，HG＝2﹣x，根据相似三角形的性质列出方程求出x，进一步得到GH的长即可求解．
【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB＝2，点E是DC中点，
∴DE＝1，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
∵AF平分∠EAB，
∴∠GAF＝∠BAF，
∵FH⊥AD，
∴AB∥HF∥CD，AB＝HF，
∴∠GFA＝∠BAF，
∴AG＝GF，
设AG＝x，则GF＝x，GH＝2﹣x，则
＝，即＝，
解得x＝，
GH═2﹣x＝2﹣＝．
故选：B．
【点评】考查了勾股定理，相似三角形的性质，角平分线的性质，条件多而复杂，注意知识的综合运用与转化．
5．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，且l1，l2，l3，l4，l5中相邻两条直线之间的距离相等，△ABC的顶点A，B，C分别在l1，l3，l5上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，AC交l2于点F，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【分析】每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF的面积为1，即可得到DF＝1，再根据DF∥BG，即可得出BG＝2，即可求得△ABC的面积．
【解答】解：如图，∵每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF的面积为2，
∴×DF×2＝1，
∴DF＝1，
∵DF∥BG，
∴＝＝，
∴BG＝2，
∴S△ABC＝S△ABG+S△BCG＝×2×2+×2×2＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
6．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，每相邻两条直线之间的距离为1，点A，B，C分别在直线l1，l3，l6上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，CA交l2于点F．若△DEF的面积为2，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF的面积为2，即可得到DF＝2，再根据DF∥BG，即可得出BG＝4，即可求得△ABC的面积．
【解答】解：如图，∵每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF的面积为2，
∴×DF×2＝2，
∴DF＝2，
∵DF∥BG，
∴＝＝，
∴BG＝4，
∴S△ABC＝S△ABG+S△BCG＝×4×2+×4×3＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
7．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（ ）
A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等
B．△ABC与△A1B1C1不一定相似
C．△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2
D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1
【分析】相似三角形的对应边之比等于相似比，据此即可解答．
【解答】解：因为△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，
那么△A1B1C1的各边为△ABC的2倍，即△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定方法的运用．
8．下列说法中正确的是（ ）
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】根据相似多边形的定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形判定则可．
【解答】解：①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对应边都成比例，但是它们不一定相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；
④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．
故选：D．
【点评】本题考查了相似多边形的判定，根据定义判定则可．注意：一定要满足各角对应相等，各边对应成比例两个条件，缺一不可．
9．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：4，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．16：1
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
∵＝，
∴△ABC与△DEF的面积比是＝1：16，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，而不等于相似比，题目比较典型，难度不大．
10．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（ ）
A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对
【分析】为两种情况：①∠ADE＝∠C，根据△ADE∽△ACB，得出＝，代入求出DE即可；②∠ADE′＝∠B，根据△ADE∽△ABC，得出＝，代入求出AE＞AB．
【解答】解：
∵∠A＝∠A，
分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴，
∴DE＝12，
②∠ADE′＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝＞AB，不合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，关键是求出符合条件的所有情况，主要考查学生的理解能力和计算能力，用的数学思想是方程思想和分类讨论思想．
二．填空题（共8小题）
11．已知，则＝ ．
【分析】设＝a，代入计算即可．
【解答】解：设＝a，
则x＝3a，y＝4a，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是比例的性质，灵活运用参数思想是解题的关键．
12．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝ 2 ．
【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．
【解答】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝4，
∴b＝±2（负数舍去）．
故答案是：2．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．
13．已知线段MN＝2，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，则MP＝ ．
【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝2代入计算即可．
【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，
∴MP＝MN＝×2＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键．
14．如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝ 1 cm．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入得出＝，求出AG即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，
∴＝，
解得：AG＝1（cm），
故答案为：1．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应成比例．
15．下列说法中：
①所有的等腰三角形都相似；
②所有的正三角形都相似；
③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．
其中说法正确的序号是 ②③ ．
【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．
16．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为 1：4 ．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则AD的长为 或 ．
【分析】△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CF：CE＝3：4，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CE：CF＝3：4，由相似三角形角之间的关系，可以推出∠B＝∠ECD与∠A＝∠FCD，从而得到CD＝AD＝BD，即D点为AB的中点．
【解答】解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CF：CE＝3：4，
∵AC：BC＝3：4，
∴CF：CE＝AC：BC，
∴EF∥AB．
连接CD，如图1所示：
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴cosA＝＝，
∴AD＝AC?cosA＝3×＝；
②若CE：CF＝3：4，
∵AC：BC＝3：4，∠C＝∠C，
∴△CEF∽△CBA，
∴∠CEF＝∠A．
连接CD，如图2所示：
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ECD，
∴BD＝CD．
同理可得：∠A＝∠FCD，AD＝CD，
∴D点为AB的中点，
∴AD＝AB＝；
故答案为：或．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、翻转变换的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交BC于点F，连接AF，若AF＝，线段DE的长为 ．
【分析】由直角三角形的性质得出AD＝CD，EF＝CF，CD＝CF，设CF＝x，则AB＝CD＝x，BC＝AD＝CD＝3x，得出BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理得（x）2+（2x）2＝（）2，解得x＝，得出CF＝，EF＝，AD＝3，证明△ADE∽△CFE，得出＝，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，
∴AD＝CD，∠DCE＝60°，
∵DF⊥AC，
∴EF＝CF，∠CDF＝30°，
∴CD＝CF，
设CF＝x，则AB＝CD＝x，BC＝AD＝CD＝3x，
∴BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：（ x）2+（2x）2＝（）2，
解得：x＝，
∴CF＝，EF＝，AD＝3，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CFE，
∴＝，即＝，
∴DE＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．解答下列各题：
（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16
（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值
【分析】（1）先展开，再合并同类项，根据因式分解法解方程即可求解．；
（2）根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：a+b+c≠0；a+b+c＝0进行讨论．本题还可以设参数法解答．
【解答】解：（1）（x+2）（x+3）＝2x+16，
x2+5x+6＝2x+16，
x2+3x﹣10＝0，
（x﹣2）（x+5）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5；
（2）若a+b+c≠0，由等比定理有＝＝＝＝1，
所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
于是有＝＝8．
若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
于是有＝＝﹣1．
【点评】考查了因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．同时考查了等比性质：若＝＝…＝＝k，则＝k，（b+d+…+n≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0）．比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．
20．（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．
（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．
【分析】（1）根据比例中项的概念，a：b＝b：c，则可求得b的值；
（2）根据比例中项的概念，AB：MN＝MN：CD，则可求得线段MN的值．
【解答】解：（1）∵b是a，c的比例中项，
∴a：b＝b：c，
∴b2＝ac；
b＝±，
∵a＝4，c＝9，
∴b＝±＝±6，即b＝±6；
（2）∵MN是线段，
∴MN＞0；
∵线段MN是AB，CD的比例中项，
∴AB：MN＝MN：CD，
∴MN 2＝AB?CD，
∴MN＝±；
∵AB＝4cm，CD＝5cm，
∴MN＝±＝±2；
MN不可能为负值，则MN＝2，
通过解答（1）、（2）发现，c、MN同时作为比例中项出现，c可以取负值，而MN不可以取负值．
【点评】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，可得出方程求解．
21．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和黄金三角形的定义即可得出结论；
（2）证明△ANH≌△AEH（ASA），得出AN＝AE，借助已知利用线段的和差可得CD＝BN+CE．
【解答】解：（1）△ABC和△ADC都是黄金三角形，理由如下：
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵DB＝DA，
∴∠BAD＝∠B，
∵DA═AC，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，
又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝∠DAC＝36°，
∴△ABC和△ADC都是黄金三角形；
（2）CD＝BN+CE，理由如下；
由（1）知，∠BAD＝∠B＝36°，∠CAD＝36°＝∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
在△ANH和△AEH中
∴△ANH≌△AEH（ASA），
∴AN＝AE，
即AB﹣BN＝AC+CE，
又∵BA＝BC＝BD+DC，AC＝AD＝BD，
∴BC﹣BN＝AD+CE
∴BD+CD﹣BN＝AD+CE，
又∵AD＝BD，
∴CD﹣BN＝CE，
即CD＝BN+CE．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、黄金三角形的定义、全等三角形的判定与性质等知识；掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH．将矩形纸片沿BE折叠，得到△BA′E（点A折叠到A′处），展开纸片；再沿BA′折叠，折痕与GH，AD分别交于点M，N，然后将纸片展开．
（1）连接EM，证明A′M＝MG；
（2）设A′M＝MG＝x，求x值．
【分析】（1）证明Rt△EA'M≌Rt△EGM即可证明A′M＝MG；
（2）设A′M＝MG＝x，则MH＝8﹣x，BH＝8，BM＝BA'+A'M＝8+x，在Rt△BHM中，由BH2+HM2＝BM2，
即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，求出x即可．
【解答】解：（1）证明：连接EM，如图．
由折叠可知EA＝EA'，
∵AE＝EG，∠EA'B＝∠A＝90°
∴A'E＝EG，
∵四边形ABCD为矩形，AB∥EF∥GH，
∴∠EGM＝90°
∴∠EGM＝∠EA'M，
∴Rt△EA'M≌Rt△EGM（HL），
∴A′M＝MG；
（2）∵AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH，
∴GH＝8，A'B＝AB＝8，MH＝8﹣x，BH＝8，BM＝BA'+A'M＝8+x
在Rt△BHM中，
BH2+HM2＝BM2，
即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，
解得x＝2，
即x的值为2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质和勾股定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
23．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．
【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定甲乙的观点是否正确；
（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，求出△ACB的内切圆半径，进而△DEF的内切圆的半径，根据相似三角形的性质以及面积公式即可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．
【解答】解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵，，∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴，
同理，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：..
【点评】本题主要考查了相似三角形的综合题，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
24．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．
（1）求证：CD＝CF；
（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．
【分析】（1）求出∠DAC＝∠BAC，根据全等三角形的判定得出△ADC≌△ABC，根据全等三角形的性质得出CD＝CB即可；
（2）根据相似三角形的性质和判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SAS），
∴CD＝CB，
∵CE⊥AB，EF＝EB，
∴CF＝CB，
∴CD＝CF；
（2）解：∵△DGC∽△ADC，
∴∠DGC＝∠ADC，
∵∠ADC＝2∠HAG，
∴∠DCG＝2∠HAG，
∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，
∴∠HAG＝∠AHG，
∴HG＝AG，
∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，
∴△DGC∽△AGF，
∴△AGF∽△ADC，
∴＝＝，
即＝．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
25．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝4时，求点E的坐标；
（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由相似三角形的性质求出BH＝6，得出OE＝8即可求出点E的坐标．
（2）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分两种情况讨论，求出t的值，即可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）当t＝4时，PC＝4，
过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：
∵A（2，0），C（0，3），
∴OA＝2，OC＝3，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，
∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，
∴∠BPC＝∠EBH，
∵∠EHB＝∠BCP＝90°，
∴△PBC∽△BEH，
∴＝，即＝，
解得：BH＝6，
∴AE＝BH＝6，
∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，
∴点E的坐标是（8，0）；
（2）存在，理由如下：
∵∠ABE+∠ABP＝90°，
∠PBC+∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠PBC，
∵∠BAE＝∠BCP＝90°，
∴△BCP∽△BAE
∴＝，
∴＝，
∴AE＝t，
当点P在点O上方时，如图2所示：
若＝时，△POE∽△EAB，
∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，
∴＝，
解得：t1＝，t2＝（舍去），
∴OP＝3﹣＝，
∴P的坐标为（0，），
当点P在点O下方时，如图3所示：
①若＝，
则△OPE∽△ABE，＝，
解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），
OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，
P的坐标为（0，﹣），
②若＝，
则△OEP∽△ABE，＝，
整理得： t2＝﹣9，
∴这种情况不成立，
综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键，注意分类讨论．
26．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，分别交AD、AC于点E、点F．点G是BC上一点，连接AG交BE于点H，过点H作BC的平行线，交AC于点P．
（1）若∠ABC＝60°，AH＝5，BH＝6，求△ABH的面积；
（2）若∠BAG＝∠ACB，求证：AP＝CF．
【分析】（1）过点H作HN⊥AB于N，则∠ABH＝30°，HN＝BH＝3，由勾股定理求得BN＝＝3，AN＝＝4，则AB＝4+3，由三角形面积公式即可得出结果；
（2）在BC上截取BM＝AB，连接FM，证出∠AGB＝∠BAC，得出∠AFB＝∠AHF，则AH＝AF，由SAS证得△ABF≌△MBF得出AF＝FM，∠AFB＝∠MFB，推出AH＝FM，∠AHF＝∠MFB，则AG∥FM得出∠HAP＝∠MFC，由HP∥BC得出∠APH＝∠FCM，由AAS证得△APH≌△FCM，即可得出结论．
【解答】（1）解：过点H作HN⊥AB于N，如图1所示：
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠ABH＝30°，
∴HN＝BH＝3，
BN＝＝＝3，
AN＝＝＝4，
∴AB＝AN+BN＝4+3，
∴S△ABH＝AB?HN＝×（4+3）×3＝6+；
（2）证明：在BC上截取BM＝AB，连接FM，如图2所示：
∵∠BAG＝∠ACB，∠AGB＝∠ACB+∠CAG，∠BAC＝∠BAG+∠CAG，
∴∠AGB＝∠BAC，
∵∠AFB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABF，∠AHF＝∠BHG＝180°﹣∠AGB﹣∠CBF，∠ABF＝∠CBF，
∴∠AFB＝∠AHF，
∴AH＝AF，
在△ABF和△MBF中，，
∴△ABF≌△MBF（SAS），
∴AF＝FM，∠AFB＝∠MFB，
∴AH＝FM，∠AHF＝∠MFB，
∴AG∥FM，
∴∠HAP＝∠MFC，
∵HP∥BC，
∴∠APH＝∠FCM，
在△APH和△FCM中，，
∴△APH≌△FCM（AAS），
∴AP＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握平行线的性质、证明三角形全等是解题的关键．