2019年沪科版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年沪科版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 509.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-31 16:42:04 | ||
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文档简介
2019年沪科版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形或钝角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
3．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
4．若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
5．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B．± C． D．0
6．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
7．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
8．在△ABC中，若||＝0，且∠B，∠C都是锐角，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．60° C．75° D．30°
9．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为 ．
12．已知tanα＝，那么sinα＝ ．（其中α为锐角）
13．若tanα?tan50°＝1，则锐角α＝ 度．
14．计算：（﹣）2﹣2cos60°＝ ；
15．先用计算器求：cos20°≈ ，cos40°≈ ，cos60°≈ ，cos80°≈ ，再按从大到小的顺序用“＞”把cos20°，cos40°，cos60°，cos80°连接起来： ．归纳：余弦值，角大值 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CB于点F．交CD于点E．若AC＝6，sinB＝，则DE的长为 ．
17．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为 米（结果保留根号）．
18．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为 m．
三．解答题（共8小题）
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝8，AB＝10，求∠B的三个三角函数值．
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
（1）tanA与sinA，cosA之间有什么关系？并说明理由．
（2）若＝，求tanA的值．
21．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
22．已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．
（1）已知sinα＝0.5018，求锐角α；
（2）已知tanθ＝5，求锐角θ．
23．如图，在△ABC中；AD⊥BC，AB＝20，AC＝15，CD＝9
（1）求BD的长；
（2）求∠BAC的度数．
24．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
25．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
26．2018年9月12日，临沂第六界中国百里沂河水上运动拉开帷幕，临沂电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为150米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
2019年沪科版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．
根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．
【解答】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．
则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，
∴BE＝BN．∴∠NBE＝90°．
∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝∠ABN，
∴△NAB≌△EAB．
设EC＝MN＝x，AD＝a，则AM＝a，DE＝2a﹣x，AE＝AN＝a+x，
∵AD2+DE2＝AE2，
∴a2+（2a﹣x）2＝（a+x）2，
∴x＝a．
∴tan∠AEB＝tan∠BNM＝＝3．
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答．
2．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形或钝角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【分析】先解出方程的两根，讨论sinα，tanβ的值．∵在三角形中，角的范围是（0，180°），∴sinα必大于0，此时只要考虑tanβ的值即可，若tanβ＞0，则β为锐角；tanβ小于0，则β为钝角．再把x的两个值分别代入sinα，tanβ中，可求出α，β的值，从而判断△ABC的形状．
【解答】解：由2x2﹣3x+1＝0得：（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x＝或x＝1．
∴sinα＞0，tanβ＞0
若sinα＝，tanβ＝1，则α＝30°，β＝45°，γ＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴△ABC为钝角三角形．
若sinα＝1，tanβ＝，则α＝90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．
故选：B．
【点评】本题易在α，β上的取值出错，学生常常解出方程的两根后不知道如何判断，因此在解答时我们可对x的值分类讨论，从而判断出△ABC的形状．
3．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
【分析】由cos60°＝，sin80°＝cos10°，锐角α的余弦值随着α的变大而减小，可得出α的范围，从而可得答案．
【解答】解：∵cos60°＝，＜cosα＜sin80°
锐角α的余弦值随着α的变大而减小，
故α＜60°
∵sin80°＝cos10°
∴10°＜α＜60°
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减变化，明确锐角三角函数的增减变化以及特殊角的三角函数值，是解题的关键．
4．若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【分析】cosA＝sin（90°﹣A），再根据余弦函数随角增大而减小进行分析．
【解答】解：∵cosA＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，
∴当0°＜∠A＜45°时，sinA＜cosA，即sinA﹣cosA＜0．
故选：B．
【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
5．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B．± C． D．0
【分析】将两式分别两边平方，利用sin2α+cos2α＝1，求出sinαcosα的值，解答即可．
【解答】解：∵sinα+cosα＝，
∴（sinα+cosα）2＝2，
即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．
又∵sin2α+cos2α＝1，
∴2sinαcosα＝1．
∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．
∴sinα﹣cosα＝0．
故选：D．
【点评】本题利用了同角的三角函数的关系sin2α+cos2α＝1来进行化简求值的．
6．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．”分别求出∠A、∠B的值．然后用三角形内角和定理即可求出∠C的值．
【解答】解：∵|sinA﹣|＝0，（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
∴sinA＝，＝cosB，
∴∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故选：C．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算．
7．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
8．在△ABC中，若||＝0，且∠B，∠C都是锐角，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．60° C．75° D．30°
【分析】先根据非负数的性质求出sinB及cosC的值，再由特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：∵ +|﹣cosC|＝0，
∴sinB﹣＝0；﹣cosC＝0．
即sinB＝；cosC＝．
∴∠B＝45°，∠C＝60°．
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故选：C．
【点评】此题涉及到非负数的性质、特殊角的三角函数值及三角形内角和定理．
9．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为1，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．
【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DCE＝45°，
∵DE⊥CE
∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝1，则CD＝
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD＝，则AC＝，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°
∴BC＝，
∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝
故选：D．
【点评】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明△ABC∽△DAB，得出＝，证出AD＝2BC，得出AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，因此AB＝BC，在Rt△ABC中，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB+∠EAD＝90°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴△ABC∽△DAB，
∴＝，
∵BC＝AD，
∴AD＝2BC，
∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，
∴AB＝BC，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为 3 ．
【分析】根据点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，可以求得t的值．
【解答】解：∵点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，
∴tanα＝＝．
解得t＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是明确锐角三角函数的定义和第一象限点的特点．
12．已知tanα＝，那么sinα＝ ．（其中α为锐角）
【分析】根据锐角三角函数的定义，设∠A＝α，放在直角三角形ACB中，设BC＝4x，AC＝3x，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：
∵∠C＝90°，∠A＝α，
∵tanα＝＝，
设BC＝4x，AC＝3x，
由勾股定理得：AB＝＝5x，
∴sinα＝sin∠A＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数等知识点，解此题的关键是把所求角放在直角三角形中，思路是根据锐角三角函数的定义和直角三角形求出即可．题目较好，难度不大．
13．若tanα?tan50°＝1，则锐角α＝ 40 度．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出如果tanα?tan50°＝1，那么α+50°＝90°，即可求出答案．
【解答】解：∵在△ACB中∠C＝90°，∠A＝α，∠B＝50°，
∵tanA＝，tanB＝，
∴tanA?tanB＝×＝1，
∴∠A+∠B＝90°，
∵tanα?tan50°＝1，
∴α＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查对互余两角的三角函数的关系，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．
14．计算：（﹣）2﹣2cos60°＝ ﹣ ；
【分析】先算平方，特殊角的三角函数值，再算减法即可求解．
【解答】解：（﹣）2﹣2cos60°
＝﹣2×
＝﹣1
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握60°的余弦值．
15．先用计算器求：cos20°≈ 0.9397 ，cos40°≈ 0.7660 ，cos60°≈ 0.5 ，cos80°≈ 0.1736 ，再按从大到小的顺序用“＞”把cos20°，cos40°，cos60°，cos80°连接起来： cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80° ．归纳：余弦值，角大值 小 ．
【分析】利用计算器分别计算各个三角函数值，然后根据角的增大，来观察余弦数值的变化．
【解答】解：利用计算器可算出：cos20°≈0.9397，cos40°≈0.7660，cos60°＝0.5，cos80°≈0.1736，
∴cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80°
∴在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，即余弦值，角大值小．
故答案是0.9397，0.7660，0.5，0.1736，小．
【点评】本题考查了计算器求三角函数值，注意小数点后保留3位或4位有效数字．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CB于点F．交CD于点E．若AC＝6，sinB＝，则DE的长为 ．
【分析】先由AF平分∠CAB，CD⊥AB，过点E作EG垂直于AC，利用角平分线的性质定理得EG等于DE，易得Rt△AED全等于Rt△AEG以及∠DCA等于∠B，从而求得AD，AG，CG，然后在Rt△CEG中，由勾股定理求出EG，即为DE的长度．
【解答】解：过点E作EG⊥AC于点G，
又∵AF平分∠CAB，CD⊥AB，
∴EG＝ED，
在Rt△AED和Rt△AEG中，
∴Rt△AED≌Rt△AEG（HL），
AG＝AD．
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠B+∠BAC＝∠DCA+∠BAC＝90°，
∴∠DCA＝∠B，
∵AC＝6，sinB＝，
∴sin∠DCA＝sinB＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴DC＝＝＝，
∴AG＝AD＝，CG＝AC﹣AG＝，
∴在Rt△CEG中，CE2＝EG2+CG2，
∴（DC﹣ED）2＝（DC﹣EG）2＝EG2+CG2
∴，
∴EG＝，
∴DE＝．
故答案为：．
【点评】本题综合运用了角平分线的性质定理，全等三角形判断，勾股定理等知识，难度较大．
17．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为 2+2 米（结果保留根号）．
【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可．先在直角三角形ABC中，用正切和正弦，分别求出BC和AC（即梯子的长度），然后再在直角三角形DCE中，用∠DCE的余弦求出DC，然后把BC和DC加起来即为巷子的宽度．
【解答】解：如图所示：AB＝米，∠ACB＝60°，∠DCE＝45°，AC＝CE
则在直角三角形ABC
，
∴，，
∴直角三角形DCE中，CE＝AC＝4，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点评】本题需要综合应用正切、正弦．余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题．
18．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为 m．
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【解答】解：∵AB＝10米，tanA＝＝．
∴设BC＝x，AC＝2x，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即100＝x2+4x2，解得x＝2，
∴AC＝4，BC＝2米．
故答案为4．
【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握情况．
三．解答题（共8小题）
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝8，AB＝10，求∠B的三个三角函数值．
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
则sinB＝＝，
cosB＝＝，
tanB＝＝．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
（1）tanA与sinA，cosA之间有什么关系？并说明理由．
（2）若＝，求tanA的值．
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，分别表示出tanA与sinA，cosA的值，然后找出其中的关系即可；
（2）分式的分子和分母同时除以cos2A，然后解关于tanA的方程即可．
【解答】解：（1）∵tanA＝，sinA＝，cosA＝，
∴tanA＝．
（2）分式的分子、分母同时除以cos2A得：．
整理得：3tan2A﹣5tanA﹣2＝0．
解得：tanA＝2，或tanA＝﹣（舍去）．
∴tanA的值为2．
【点评】本题主要考查的是同角三角函数的关系，由三角函数的定义求得tanA＝，然后得到关于tanA的方程是解题的关键．
21．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
【分析】根据特殊角的三角函数值可以计算出tan30°cos60°+tan45°cos30°的值．
【解答】解：tan30°cos60°+tan45°cos30°
＝
＝
＝．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．
22．已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．
（1）已知sinα＝0.5018，求锐角α；
（2）已知tanθ＝5，求锐角θ．
【分析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可．
【解答】（1）∵sinα＝0.5018，
∴α≈30.1191°．
∴a≈30°7′9″；
（2）∵tanθ＝5，
∴θ＝78.6900°≈78°41′24″．
【点评】本题考查了计算器的用法，是基础题，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．
23．如图，在△ABC中；AD⊥BC，AB＝20，AC＝15，CD＝9
（1）求BD的长；
（2）求∠BAC的度数．
【分析】（1）由垂直的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理得出AD＝＝12，中由勾股定理得出BD＝＝16；
（2）由（1）得：BD＝16，得出BC＝BD+CD＝25，证出AB2+AC2＝BC2，由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝12，
∴BD＝＝＝16；
（2）由（1）得：BD＝16，
∴BC＝BD+CD＝16+9＝25，
∵AB＝20，AC＝15，
∴AB2+AC2＝202+152＝625，BC2＝625，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG＝90°，∠EHA＝90°．先求出∠AEH＝53°，则∠EAH＝37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH＝AE?sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG＝∠HEF＝90°，
∵∠AEF＝143°，
∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，
∠EAH＝37°，
在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.3米，
∴EH＝AE?sin∠EAH≈1.3×0.60＝0.78（米），
∵AB＝1.3米，
∴AB+EH≈1.3+0.78＝2.08≈2.1（米）；
答：适合该地下车库的车辆限高标志牌约为2.1米．
【点评】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．
25．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
【分析】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，
∵坡角α＝45°，β＝30°，
∴BE＝AE＝6，CF＝DF＝6，
∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6＝9+6，
∴BC＝（9+6）m，
答：BC的长（9+6）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．
26．2018年9月12日，临沂第六界中国百里沂河水上运动拉开帷幕，临沂电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为150米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
【分析】由题意得：∠ADC＝90°，CE∥AD，由平行线的性质得出∠BCD＝45°，∠A＝30°，由直角三角形的性质得出BD＝CD＝150米，AD＝CD＝150，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：∠ADC＝90°，CE∥AD，
∴∠BCD＝45°，∠A＝30°，
∴△BCD是等腰直角三角形，BD＝CD＝150米，AD＝CD＝150，
∴AB＝AD﹣BD＝150﹣150（米）；
答：A、B两点间的距离为（150﹣150）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；通过解直角三角形求出AD和BD是解题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形或钝角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
3．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
4．若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
5．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B．± C． D．0
6．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
7．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
8．在△ABC中，若||＝0，且∠B，∠C都是锐角，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．60° C．75° D．30°
9．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为 ．
12．已知tanα＝，那么sinα＝ ．（其中α为锐角）
13．若tanα?tan50°＝1，则锐角α＝ 度．
14．计算：（﹣）2﹣2cos60°＝ ；
15．先用计算器求：cos20°≈ ，cos40°≈ ，cos60°≈ ，cos80°≈ ，再按从大到小的顺序用“＞”把cos20°，cos40°，cos60°，cos80°连接起来： ．归纳：余弦值，角大值 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CB于点F．交CD于点E．若AC＝6，sinB＝，则DE的长为 ．
17．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为 米（结果保留根号）．
18．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为 m．
三．解答题（共8小题）
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝8，AB＝10，求∠B的三个三角函数值．
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
（1）tanA与sinA，cosA之间有什么关系？并说明理由．
（2）若＝，求tanA的值．
21．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
22．已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．
（1）已知sinα＝0.5018，求锐角α；
（2）已知tanθ＝5，求锐角θ．
23．如图，在△ABC中；AD⊥BC，AB＝20，AC＝15，CD＝9
（1）求BD的长；
（2）求∠BAC的度数．
24．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
25．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
26．2018年9月12日，临沂第六界中国百里沂河水上运动拉开帷幕，临沂电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为150米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
2019年沪科版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．
根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．
【解答】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．
则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，
∴BE＝BN．∴∠NBE＝90°．
∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝∠ABN，
∴△NAB≌△EAB．
设EC＝MN＝x，AD＝a，则AM＝a，DE＝2a﹣x，AE＝AN＝a+x，
∵AD2+DE2＝AE2，
∴a2+（2a﹣x）2＝（a+x）2，
∴x＝a．
∴tan∠AEB＝tan∠BNM＝＝3．
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答．
2．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形或钝角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【分析】先解出方程的两根，讨论sinα，tanβ的值．∵在三角形中，角的范围是（0，180°），∴sinα必大于0，此时只要考虑tanβ的值即可，若tanβ＞0，则β为锐角；tanβ小于0，则β为钝角．再把x的两个值分别代入sinα，tanβ中，可求出α，β的值，从而判断△ABC的形状．
【解答】解：由2x2﹣3x+1＝0得：（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x＝或x＝1．
∴sinα＞0，tanβ＞0
若sinα＝，tanβ＝1，则α＝30°，β＝45°，γ＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴△ABC为钝角三角形．
若sinα＝1，tanβ＝，则α＝90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．
故选：B．
【点评】本题易在α，β上的取值出错，学生常常解出方程的两根后不知道如何判断，因此在解答时我们可对x的值分类讨论，从而判断出△ABC的形状．
3．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
【分析】由cos60°＝，sin80°＝cos10°，锐角α的余弦值随着α的变大而减小，可得出α的范围，从而可得答案．
【解答】解：∵cos60°＝，＜cosα＜sin80°
锐角α的余弦值随着α的变大而减小，
故α＜60°
∵sin80°＝cos10°
∴10°＜α＜60°
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减变化，明确锐角三角函数的增减变化以及特殊角的三角函数值，是解题的关键．
4．若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【分析】cosA＝sin（90°﹣A），再根据余弦函数随角增大而减小进行分析．
【解答】解：∵cosA＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，
∴当0°＜∠A＜45°时，sinA＜cosA，即sinA﹣cosA＜0．
故选：B．
【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
5．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B．± C． D．0
【分析】将两式分别两边平方，利用sin2α+cos2α＝1，求出sinαcosα的值，解答即可．
【解答】解：∵sinα+cosα＝，
∴（sinα+cosα）2＝2，
即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．
又∵sin2α+cos2α＝1，
∴2sinαcosα＝1．
∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．
∴sinα﹣cosα＝0．
故选：D．
【点评】本题利用了同角的三角函数的关系sin2α+cos2α＝1来进行化简求值的．
6．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．”分别求出∠A、∠B的值．然后用三角形内角和定理即可求出∠C的值．
【解答】解：∵|sinA﹣|＝0，（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
∴sinA＝，＝cosB，
∴∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故选：C．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算．
7．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
8．在△ABC中，若||＝0，且∠B，∠C都是锐角，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．60° C．75° D．30°
【分析】先根据非负数的性质求出sinB及cosC的值，再由特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：∵ +|﹣cosC|＝0，
∴sinB﹣＝0；﹣cosC＝0．
即sinB＝；cosC＝．
∴∠B＝45°，∠C＝60°．
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故选：C．
【点评】此题涉及到非负数的性质、特殊角的三角函数值及三角形内角和定理．
9．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为1，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．
【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DCE＝45°，
∵DE⊥CE
∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝1，则CD＝
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD＝，则AC＝，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°
∴BC＝，
∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝
故选：D．
【点评】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明△ABC∽△DAB，得出＝，证出AD＝2BC，得出AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，因此AB＝BC，在Rt△ABC中，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB+∠EAD＝90°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴△ABC∽△DAB，
∴＝，
∵BC＝AD，
∴AD＝2BC，
∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，
∴AB＝BC，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为 3 ．
【分析】根据点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，可以求得t的值．
【解答】解：∵点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，
∴tanα＝＝．
解得t＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是明确锐角三角函数的定义和第一象限点的特点．
12．已知tanα＝，那么sinα＝ ．（其中α为锐角）
【分析】根据锐角三角函数的定义，设∠A＝α，放在直角三角形ACB中，设BC＝4x，AC＝3x，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：
∵∠C＝90°，∠A＝α，
∵tanα＝＝，
设BC＝4x，AC＝3x，
由勾股定理得：AB＝＝5x，
∴sinα＝sin∠A＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数等知识点，解此题的关键是把所求角放在直角三角形中，思路是根据锐角三角函数的定义和直角三角形求出即可．题目较好，难度不大．
13．若tanα?tan50°＝1，则锐角α＝ 40 度．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出如果tanα?tan50°＝1，那么α+50°＝90°，即可求出答案．
【解答】解：∵在△ACB中∠C＝90°，∠A＝α，∠B＝50°，
∵tanA＝，tanB＝，
∴tanA?tanB＝×＝1，
∴∠A+∠B＝90°，
∵tanα?tan50°＝1，
∴α＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查对互余两角的三角函数的关系，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．
14．计算：（﹣）2﹣2cos60°＝ ﹣ ；
【分析】先算平方，特殊角的三角函数值，再算减法即可求解．
【解答】解：（﹣）2﹣2cos60°
＝﹣2×
＝﹣1
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握60°的余弦值．
15．先用计算器求：cos20°≈ 0.9397 ，cos40°≈ 0.7660 ，cos60°≈ 0.5 ，cos80°≈ 0.1736 ，再按从大到小的顺序用“＞”把cos20°，cos40°，cos60°，cos80°连接起来： cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80° ．归纳：余弦值，角大值 小 ．
【分析】利用计算器分别计算各个三角函数值，然后根据角的增大，来观察余弦数值的变化．
【解答】解：利用计算器可算出：cos20°≈0.9397，cos40°≈0.7660，cos60°＝0.5，cos80°≈0.1736，
∴cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80°
∴在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，即余弦值，角大值小．
故答案是0.9397，0.7660，0.5，0.1736，小．
【点评】本题考查了计算器求三角函数值，注意小数点后保留3位或4位有效数字．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CB于点F．交CD于点E．若AC＝6，sinB＝，则DE的长为 ．
【分析】先由AF平分∠CAB，CD⊥AB，过点E作EG垂直于AC，利用角平分线的性质定理得EG等于DE，易得Rt△AED全等于Rt△AEG以及∠DCA等于∠B，从而求得AD，AG，CG，然后在Rt△CEG中，由勾股定理求出EG，即为DE的长度．
【解答】解：过点E作EG⊥AC于点G，
又∵AF平分∠CAB，CD⊥AB，
∴EG＝ED，
在Rt△AED和Rt△AEG中，
∴Rt△AED≌Rt△AEG（HL），
AG＝AD．
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠B+∠BAC＝∠DCA+∠BAC＝90°，
∴∠DCA＝∠B，
∵AC＝6，sinB＝，
∴sin∠DCA＝sinB＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴DC＝＝＝，
∴AG＝AD＝，CG＝AC﹣AG＝，
∴在Rt△CEG中，CE2＝EG2+CG2，
∴（DC﹣ED）2＝（DC﹣EG）2＝EG2+CG2
∴，
∴EG＝，
∴DE＝．
故答案为：．
【点评】本题综合运用了角平分线的性质定理，全等三角形判断，勾股定理等知识，难度较大．
17．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为 2+2 米（结果保留根号）．
【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可．先在直角三角形ABC中，用正切和正弦，分别求出BC和AC（即梯子的长度），然后再在直角三角形DCE中，用∠DCE的余弦求出DC，然后把BC和DC加起来即为巷子的宽度．
【解答】解：如图所示：AB＝米，∠ACB＝60°，∠DCE＝45°，AC＝CE
则在直角三角形ABC
，
∴，，
∴直角三角形DCE中，CE＝AC＝4，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点评】本题需要综合应用正切、正弦．余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题．
18．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为 m．
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【解答】解：∵AB＝10米，tanA＝＝．
∴设BC＝x，AC＝2x，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即100＝x2+4x2，解得x＝2，
∴AC＝4，BC＝2米．
故答案为4．
【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握情况．
三．解答题（共8小题）
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝8，AB＝10，求∠B的三个三角函数值．
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
则sinB＝＝，
cosB＝＝，
tanB＝＝．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
（1）tanA与sinA，cosA之间有什么关系？并说明理由．
（2）若＝，求tanA的值．
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，分别表示出tanA与sinA，cosA的值，然后找出其中的关系即可；
（2）分式的分子和分母同时除以cos2A，然后解关于tanA的方程即可．
【解答】解：（1）∵tanA＝，sinA＝，cosA＝，
∴tanA＝．
（2）分式的分子、分母同时除以cos2A得：．
整理得：3tan2A﹣5tanA﹣2＝0．
解得：tanA＝2，或tanA＝﹣（舍去）．
∴tanA的值为2．
【点评】本题主要考查的是同角三角函数的关系，由三角函数的定义求得tanA＝，然后得到关于tanA的方程是解题的关键．
21．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
【分析】根据特殊角的三角函数值可以计算出tan30°cos60°+tan45°cos30°的值．
【解答】解：tan30°cos60°+tan45°cos30°
＝
＝
＝．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．
22．已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．
（1）已知sinα＝0.5018，求锐角α；
（2）已知tanθ＝5，求锐角θ．
【分析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可．
【解答】（1）∵sinα＝0.5018，
∴α≈30.1191°．
∴a≈30°7′9″；
（2）∵tanθ＝5，
∴θ＝78.6900°≈78°41′24″．
【点评】本题考查了计算器的用法，是基础题，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．
23．如图，在△ABC中；AD⊥BC，AB＝20，AC＝15，CD＝9
（1）求BD的长；
（2）求∠BAC的度数．
【分析】（1）由垂直的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理得出AD＝＝12，中由勾股定理得出BD＝＝16；
（2）由（1）得：BD＝16，得出BC＝BD+CD＝25，证出AB2+AC2＝BC2，由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝12，
∴BD＝＝＝16；
（2）由（1）得：BD＝16，
∴BC＝BD+CD＝16+9＝25，
∵AB＝20，AC＝15，
∴AB2+AC2＝202+152＝625，BC2＝625，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG＝90°，∠EHA＝90°．先求出∠AEH＝53°，则∠EAH＝37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH＝AE?sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG＝∠HEF＝90°，
∵∠AEF＝143°，
∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，
∠EAH＝37°，
在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.3米，
∴EH＝AE?sin∠EAH≈1.3×0.60＝0.78（米），
∵AB＝1.3米，
∴AB+EH≈1.3+0.78＝2.08≈2.1（米）；
答：适合该地下车库的车辆限高标志牌约为2.1米．
【点评】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．
25．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
【分析】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，
∵坡角α＝45°，β＝30°，
∴BE＝AE＝6，CF＝DF＝6，
∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6＝9+6，
∴BC＝（9+6）m，
答：BC的长（9+6）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．
26．2018年9月12日，临沂第六界中国百里沂河水上运动拉开帷幕，临沂电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为150米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
【分析】由题意得：∠ADC＝90°，CE∥AD，由平行线的性质得出∠BCD＝45°，∠A＝30°，由直角三角形的性质得出BD＝CD＝150米，AD＝CD＝150，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：∠ADC＝90°，CE∥AD，
∴∠BCD＝45°，∠A＝30°，
∴△BCD是等腰直角三角形，BD＝CD＝150米，AD＝CD＝150，
∴AB＝AD﹣BD＝150﹣150（米）；
答：A、B两点间的距离为（150﹣150）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；通过解直角三角形求出AD和BD是解题的关键．