2019秋湘教版九年级数学上册解题技巧专题学案（共3个专题、含答案）

解题技巧专题：配方法的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　配方法解方程或求字母的值
1．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为(　　)
A．(x－3)2＝ B．3(x－1)2＝
C．(3x－1)2＝1 D．(x－1)2＝
2．若一元二次方程x2＋bx＋5＝0配方后为(x－3)2＝k，则b，k的值分别为(　　)
A．0，4 B．0，5
C．－6，5 D．－6，4
3．用配方法解下列方程：
(1)x2＋8x－20＝0；
(2)4x2－6x－4＝0.
类型二　配方法求最值或比较大小
4．代数式x2－4x＋5的最小值为(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．5
5．(2016·扬州中考)已知M＝a－1，N＝a2－a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为(　　)
A．M＜N B．M＝N
C．M＞N D．不能确定
6．用配方法求解下列问题：
(1)2x2－7x＋2＝________________，它的最小值是____________；
(2)－3x2＋5x＋1＝________________，它的最大值是____________．
7．已知代数式－2x2＋4x－18 .
(1)用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数；
(2)当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？
类型三　完全平方式中的配方
8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为(　　)
A．－1 B．1 C．±1 D．±2
9．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为(　　)
A．－9或11 B．－7或8
C．－8或9 D．－6或7
类型四　利用配方构成非负数求值或证明
10．已知x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，则代数式x＋y的值为(　　)
A．－1 B．1 C．25 D．36
11．如果x2－y2＋4yz－4z2＝0，且y≠x＋2z，那么的值是(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
12．★已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．
解题技巧专题：配方法的应用
1．D　2.D
3．解：(1)移项得x2＋8x＝20，配方得x2＋8x＋16＝20＋16，即(x＋4)2＝36，开平方得x＋4＝±6.∴原方程的解是x1＝2，x2＝－10；
(2)把x2的系数化为1，得x2－x－1＝0，移项得x2－x＝1，配方得x2－x＋＝1＋，即＝，开平方得x－＝±，∴原方程的解是x1＝2，x2＝－.
4．B　5.A
6．(1)2－　小　－
(2)－3＋　大　
7．解：(1)∵－2x2＋4x－18＝－2(x2－2x＋9)＝－2(x2－2x＋1＋8)＝－2(x－1)2－16，－2(x－1)2≤0，∴－2(x－1)2－16＜0，∴无论x取何值，－2x2＋4x－18的值总是负数；
(2)∵－2x2＋4x－18＝－2(x－1)2－16，∴当x＝1时，代数式有最大值，最大值是－16.
8．C　9.A　10.B　11.D
12．解：△ABC为等边三角形．理由如下：∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0，a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋a2＋c2－2ac＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．
类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明或求值方法
——直接法、间接法一网搜罗
　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明
1．(2016·大庆中考)如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.
(1)求证：AG＝CG；
(2)求证：AG2＝GE·GF.
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
(1)若FD＝2FB，求的值；
(2)如果AC＝6，BC＝4，S△FBD＝2，求S△FDC的值．
类型二　利用等线段代换
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝.
类型三　找中间比利用等积式代换
4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE·DE.
类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明或求值方法
1．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD.在△ADG与△CDG中，
∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，AG＝CG；
(2)∵∠EAG＝∠DCG，∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴＝，∴AG2＝GE·GF.
2．解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝∠DCB.∵E是AC的中点，∴ED＝EA，∠A＝∠EDA.∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF.又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2；
(2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB.∵∠A＝∠DCB，∴△BDC∽△BCA，∴BD∶CD＝BC∶AC＝4∶6＝2∶3.∵△BDF∽△DCF，∴＝＝.∵S△FBD＝2，∴S△FDC＝4.5.
3．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝.又∵AB＝AD，∴＝.
4．证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴Rt△ACE∽Rt△CBE，∴＝，∴CE2＝AE·BE.又∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴＝，∴PE·DE＝AE·BE，∴CE2＝PE·DE.
类比归纳专题：一元二次方程的解法
　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　一元二次方程的一般解法
1．用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的为（ ）
A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1
C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝19
2．一元二次方程x2＋2x＝0的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
3．方程x2－2x－4＝0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是（ ）
A．－3＜x1＜－2 B．－2C．－4．方程－＝0的解是________．
5．若方程式(3x－c)2－60＝0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为________．
6．解下列方程：
(1)x2－6x＋4＝0; (2)3x(2x＋1)＝4x＋2；
(3)2x2＋3x＝4.
*类型二　一元二次方程的特殊解法
一、十字相乘法
方法点拨：例如：解方程：x2＋3x－4＝0.
　　
(1)4x－x＝3x(正确)
(2)2x－2x＝0(错误)
所以x2＋3x－4＝(x＋4)(x－1)＝0，即x＋4＝0或x－1＝0，所以x1＝－4，x2＝1.
7．用十字相乘法解下列一元二次方程．
(1)x2－x－30＝0；
(2)6x2＋19x－36＝0.
二、换元法
方法点拨：换元法就是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
8．已知(a2＋b2)2－(a2＋b2)－6＝0，则a2＋b2＝________.
9．解方程：(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.
类比归纳专题：一元二次方程的解法
1．D　2.A　3.C
4．x1＝2，x2＝3　5.8
6．解：(1)移项得x2－6x＝－4，配方得x2－6x＋9＝－4＋9，即(x－3)2＝5，开方得x－3＝±，∴x1＝3＋，x2＝3－；
(2)(2x＋1)(3x－2)＝0，2x＋1＝0或3x－2＝0，∴x1＝－，x2＝；
(3)2x2＋3x－4＝0，由公式法得x＝，x1＝，x2＝.
7．解：(1)x2－x－30＝0，(x－6)(x＋5)＝0，解得x1＝－5，x2＝6；
(2)6x2＋19x－36＝0，(2x＋9)(3x－4)＝0，解得x1＝－，x2＝.
8．3
9．解：设x2＋5x＋1＝t，则原方程化为t(t＋6)＝7，t2＋6t－7＝0，解得t＝－7或1.当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，即x2＋5x＝0，x(x＋5)＝0，得x＝0或x＋5＝0，故x1＝0，x2＝－5；当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，x2＋5x＋8＝0，＝－，∵≥0，∴此时方程无解．综上所述，原方程的解为x1＝0，x2＝－5.