2019秋湘教版九年级数学上册第3章 相似三角形中的基本模型 专题试卷（含答案）

2019秋湘教版九年级数学上册模型构建专题相似三角形中的基本模型
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　“A”字型
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为________．
第1题图
第2题图
2．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D、E、F在三角形的边上)．则此正方形的面积是________．
3．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于点N，则＋＝________．
第3题图
4．如图①，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明＋＝成立．若将图①中的垂直改为斜交，如图②，AB∥CD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥AB交BD于F，则＋＝还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．
类型二　“X”字型
5．(2016·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
第5题图
　　　　第6题图
6．如图，?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则DF∶BD等于(　　)
A．2∶3 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶3
7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD＝2，＝，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE.
类型三　旋转型
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB′F相似的三角形有(不再添加其他线段)(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型四　“子母”型(大三角形中包含小三角形)
9．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是__________　(填一个即可)．
第9题图
　　　　　第10题图
10．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则BD＝________．
类型五　垂直型
11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B) 向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的值是（ ）
A. B．2
C. D．2
第11题图
　　　　　第12题图
12．如图，矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，则这样的点P有_______个．
13．★如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为________．
　　　　　
14．(2016·齐齐哈尔中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ACD∽△BFD；
(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．
类型六　一线三等角型
15．如图，等边△ABC的边长为6，D是BC边上的点，∠EDF＝60°.若BD＝1，CF＝3时，则BE的长为________．【方法12】
第15题图
　　　　变式题图
【变式题】如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于________．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：AC·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．【方法12】
模型构建专题：相似三角形中的基本模型
1.　2.25
3．1　解析：∵AB＝BC＝CD＝AD＝1，BC∥AD，∴＝，即＝，∴＋＝＋＝＝1.
4．解：成立．证明如下：∵AB∥EF∥CD，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴＝，＝，两式相加，得＋＝＋＝1，等式两边同时除以EF，得＋＝.
5．A　6.D
7．(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝＝，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4；
(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴＝，＝.∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴＝，∴EF·GB＝BF·GE.
8．D
9．∠BAC＝∠BDA(答案不唯一)
10.　11.A　12.2
13.　解析：根据“垂线段最短”，得PM的最小值就是当PM⊥AB时PM的长．∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标为(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得x＝4，∴点A的坐标为(4，0), 即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在Rt△AOB中，根据勾股定理得AB＝＝＝5.在Rt△PMB与Rt△AOB中，∵∠PBM＝∠ABO，∠PMB＝∠AOB，∴Rt△PMB∽Rt△AOB，∴＝，即＝，解得PM＝.
14．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD；
(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴＝＝1，∴BF＝AC＝3.
15.　解析：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵∠EDF＝60°，∴∠BED＋∠EDB＝∠EDB＋∠FDC＝120°，∴∠BED＝∠FDC，∴△BDE∽△CFD，∴＝.∵BC＝6，BD＝1，∴CD＝BC－BD＝5，∴＝，解得BE＝.
【变式题】　2　解析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°.∵∠ADC＝∠ADE＋∠FDC＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝∠CDF，∴△BAD∽△CDF，∴AB∶BD＝CD∶CF，即9∶3＝(9－3)∶CF，∴CF＝2.
16．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB·CD＝CP·BP，∴AC·CD＝CP·BP；
(2)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝.∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝.