四年级上册数学教案-4.2 加法交换律和乘法交换律 北师大版

加法交换律和乘法交换律
教材分析：
将运算律作为一个独立的单元，旨在突出运算律在数与代数领域的重要性；将整数四则混合运算放在运算律前面，突出运算顺序在运算中的必要性。运算顺序是关于运算的一 般规则，运算如果不遵循运算顺序的一般规则，将会导致错误的结果。运算律虽然改变了运算顺序，但运算结果并没有改变，使一些运算变得简便合理，这就是算式的等值变形。两者放在一起编排，给学生关于“运算”的一个整体认识。
本单元把运算律安排在运算顺序的后面系统地学习，有利于学生理解四则混合运算方法的多样性，既可以遵循运算顺序，按部就班地进行运算，也可以根据运算律寻找更加合理简便的运算途径。运算律就是运算的本质，可以改变算式的形式并确保算式的值不变。这样编排，不仅能让学生全面看待运算问题，更有助于学生理解运算意义，提高运算能力。
本套教材关于运算律的学习大致可以分为三个阶段。第一阶段也就是第一学段中，学生能够结合具体的生活实例，对运算律有所体会，在解决简单实际问题和计算题的计算中，有的学生凭借直觉有所运用，没有出现概念，是自然渗透、自觉运用阶段。第二阶段也就是本册，系统地学习5个运算律，重点是理解运算律的意义，并运用运算律使一些运算简便，感受算式的等值变形，提升运算能力。第三阶段在五年级下册和六年级上册，主要是学习运算律在小数和分数中的应用，运用运算律使一些小数和分数的混合运算简便，提升运算能力。
运算律可以使一些运算简便，但不是运算律价值的全部。运算律既是算理，也是运算的本质（算式的等值变形），是运算的通则大法，适应于整数、小数和分数，主要是在运用运算律进行一些简便运算的过程中，进一步掌握基本运算律，加深对运算意义的认识。
在数学基础理论中，加法交换律和结合律通常是以集合论为依据加以证明的。此外，也可以用计数公理“计数的结果与计数的顺序无关”来说明：任意两个数a与b相加，不论是a+b（相当于先数a，再数b），还是b+a（相当于先数b，再数a），结果都一样。小学数学教材一般都不出现计数公理，但无论是通过直观还是借助具体情节内容来说明加法的交换律、结合律，无形之中都用上了计数公理。其实，计数公理所反映的事实，儿童早就有所感悟，只是没有明确表达出来罢了。例1提供了概括加、乘法交换律的具体事例。进一步，再让学生自己举例，并叙述所发现的规律。然后让学生用自己喜欢的方法表示规律，而不是像过去那样，统一用字母来表示。这样编排，一方面有利于符号感的培养，且方便记忆；另一方面提高了知识的抽象概括程度，也为以后正式教学用字母表示数打下初步的基础。
教学目标：
1．经历加法交换律和乘法交换律的探索过程，会用字母表示加法交换律和乘法交换律，培养发现问题和提出问题的能力，积累数学活动经验。
2．通过列举生活实例解释加法交换律和乘法交换律的过程，认识运算律丰富的现实背景，了解加法交换律和乘法交换律的用途，发展应用意识。
3．渗透化繁为简的思想、符号化思想、类比思想、数形结合思想、极限思想、变中抓不变的数学思想方法。
教学重点：理解并掌握加法交换律、乘法交换律。
教学难点： 针对一个猜想，如果举不出来一个反例，不能证明结论一定成立；反过来，如果能举出一个反例，就能推翻这个猜想。这是一种证明的方法，由此培养学生的推理能力。
教学准备：前测单、多媒体课件、练习纸。
教学过程：
开门见山，揭示课题。
前面我们学习了四则混合运算，知道了运算如果不遵循运算顺序的一般规则，将会导致错误的结果。其实，运算中还有很多的规律可以应用，今天我们就先来研究其中的一个规律——《交换律》。（板贴：交换律）
合作交流，探究新知。
交换律是什么？（板贴：是什么）百度百科里是这样说的（齐读）：交换律就是改变某物的顺序而不改变其最终结果。这里的“某物”至少是多少个？最多呢？对此，好些同学都有自己的思考，并做了比较恰当的描述，这是 的，她认为运算中的交换律应该具备以下几个特点：把参与运算的数（至少两个、可以更多）的顺序改变了，运算的符号不变，计算的结果不变。（画横线的用PPT出示）
哪些运算有交换律？
师：你知道哪些运算有交换律呢？
生：（PPT）加法和乘法有交换律，减法和除法没有交换律。
师：理由？对于这四种运算是否有交换律这个规律，我们是混在一起来研究，还是有序地一个一个地研究？加减乘除，首先从我们最先学习的加法开始研究。你们说有加法交换律，那什么是加法交换律？
生：在加法中，交换两个加数的位置，和不变。
师：你能用你的读法来提醒我们哪些是关键字词吗？但有些同学是这样描述加法交换律的，a+b=b+a，（板书：a+b=b+a）对于文字和字母这两种表示方法，你有什么要说的？
生1：她用的是字母，意思是一样的，是对的，更简洁。（数学符号具有简洁美。）
生2：a、b代表任何数；也可以换作其他任何一种符号。（PPT出示刘冷的用图形表示的）
加法交换律为什么是成立的？
师:我们说“在加法中，交换两个加数的位置，和不变。”理由呢？（板贴：为什么）（PPT）
生1：我们可以举例证明。比如：3+4=7，4+3=7（板书：3+4=7，4+3=7，3+4=4+3）
师：从这个例子中我们发现了什么？就凭这一个例子，就能说交换律是加法计算中的一个规律？
生2：我们可以继续举例。
师：继续举例的目的是什么？要达到这个目的，你对举例有什么建议？
生：举的例子尽量多，包含一位数、两位数、三位数……，小数、分数等……
师：为了提高效率，我们分工合作（以大组为单位分工）。
生各自举例。
师：有反例吗？我们举的例子中没有，就能证明加法交换律一定是成立的吗？（不能）那咋办？数有无数个，例子没办法举完，那就没办法证明加法交换律的成立了？
生：……（出示李政熹、韩金颐、汪佳依依、数学家的集合图）
汪佳：（前测单中的观点）举例是最笨和局限的方法。
李政熹的：点子图（师：我们要把这些小圆点合起来，是用左边点数加右边点数的结果多还是右边点数加左边点数的结果多。）
韩金颐的：生活实例算苹果数（师：我们要算俩姐妹一共吃了几个苹果，是用姐姐的苹果数加妹妹的苹果数的结果多还是没么的苹果数加姐姐的苹果数的结果多。）
数学家们的：集合图
师：数学家们是怎么证明加法交换律的呢？请看，是用红点数加蓝点数的结果多还是蓝点数加红点数的结果多。(一样多），不管谁加谁，都是这个圈里的小圆点总数。
……看来我们的他孩子真了不起，和数学家们有相同的想法。此次应该有掌声！
师：因为加法就是把两个数合并成一个数的运算，虽然两个加数在交换前后，出现的顺序变了，但把它们合起来的意义相同，所以他们的结果也就不变。那3个数相加呢？
生：和还是不变。
师：理由？
生：（从加法的意义上来解释就行）。
师：原来，加法交换律的成立已经由加法的意义决定了，不管多少个数相加，也不管这些数出现的顺序如何变化，只要我们把这些加数都加了，计算的结果就会不变。
师：那请大家自豪地读一遍。在这一规律中，变化的是加数的――（板书：数的顺序变）
生：位置。
师：但不变的是――
生：它们的和。（板书：结果不变）
师：之所以结果不变，是因为虽然加数出现的顺序变了，但什么相同？
生：因为它们的意义相同。（板书：意义相同）
师：因为意义相同，“变”和“不变”就这样巧妙地结合在一起了。（板书：——）
4.乘法、减法、除法交换律是否成立呢？（PPT——文字叙述）
师：通过大家的努力，我们已经证明了“在加法中，交换两个加数的位置，由于意义不变，和就不变。”那……对于这三种运算的交换律是否成立，你能有理有据地给大家说一说吗？（PPT呈现）：一、（ ）交换律成立（或不成立）；二、理由是 （ ）
同桌说一说。
汇报交流。
老师相机质疑：（相机板书a×b=b×a）
师：三个的结论一样吗？（不一样）为了让大家听得更明白，我们就分类交流，先说成立的吧！
质疑一：看来，证明乘法交换律的成立，举例行是不的了，我们得从乘法的意义上去解释。韩金颐、李政熹、徐艺宁、高帷熠等都这样说。PPT出示。 多个数相乘呢？（板书：a×b=b×a）
质疑二：减法、除法交换律不成立，除了用它们的意义来解释，可以举例证明吗？
生：可以，但都不成立。
师：但我这里有一份不一样的：7-7=0，7-7=0，所以7-7=7-7。8÷8=1,8÷8=1，所以8÷8=8÷8.（这是祝泽文的。）
生：这种数据太特殊，不能说明问题。并且有一个反例，就不行。
师：这样看来，我们要证明一个猜想的成立，如果举不出来一个反例并不能证明猜想一定成立；而反过来，如果能举出一个反例，就一定能推翻这个猜想。
师：也就是，我们的结论是——没有减法交换律和除法交换律。但有两位同学有这样一个疑惑，百思不得其解，要不我们一起来看看——
生：交换律是交换任意数的位置，这里只交换了减数、除数的位置，不能叫交换律。
师：那是不是在减法里，只要被减数不变，交换减数的位置，差就不变呢？在除法里，只要被除数不变，交换除数的位置，商就不变呢？
生：（只要从算式的意义上解释就行）（PPT出示殷悦洋的题）
质疑三：四则运算中，两种运算的交换律成立，两种运算的交换律不成立，你们是否想过加法交换律成立，乘法交换律也成立，而减法交换律不成立，除法交换律也不成立，这是巧合吗？（因为乘法是求几个相同加数的和的简便运算，加法能，乘法就一定能。除法可以看作是连续减去相同数的减法。加法不行，除法也不行。）
5.加法交换律和乘法交换律有什么相同和不同之处？
生：不同的地方是运算符号不同，相同的地方是交换了数的顺序，结果不变。
6.总结出加法、乘法交换律有什么用呢？（板贴：有何用） （PPT出示）学生说后再出示。
生1：简算；（唐明泽，）加深了对加法意义和乘法意义的理解。
生2：验算；（书上的）
生3：把不会转化成会的。（梁浩）
三、及时反馈，巩固提高。
524 ＋ 678 ＝ （ ） + （ ）
3 ×（ ） = Y × （ ）
8976×5784○5784×8976
7 ○ 8 = 8 ○ 7
四、回顾本节课的学，你有哪些收获？还有哪些疑问？
板书设计： 交换律
a＋b＝b＋ a
是什么——数的顺序变，结果不变。 a×b＝b×a 学生举例
为什么——意义相同
有何用