高中数学人教版必修1课件：1．3．1单调性（共27张PPT）

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素描成绩 5 4 3 2 1
函数的单调性




O
x
y



y


O
x






O
x
y


-1

y


O
x
局部上升或下降
图象上扬
图象下降
根据下列函数图象，指出其变化趋势．
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？
图象在该区间呈上升趋势
当x的值增大时，函数值y也增大

图象在该区间呈下降趋势
当x的值增大时，函数值y反而减小

图形
定性
在某一区间D内（D 定义域），
怎样定量表述函数y= f(x) 在区间 D上，
函数值 y 随 自变量x的增大而增大呢?

x1，x2

当x1
图象在区间D逐渐上升




？
O

x



D

y
区间D内随着x的增大，y也增大

x1
x2
f(x1)
f(x2)




M
N



都
任意
那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.








O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)





x







O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)




设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于定义域A内区间I上的任意
两个自变量的值x1,x2，
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于定义域A内区间I上的任意
两个自变量的值x1,x2，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调 区间.
增
当x1<
当x1<
>

单调区间
（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局
部性质;
（5）如果一个函数在整个定义域上具有单调性，则称这个函数为单调函数。
注意：
（3）答案格式：增（减）区间是：[a,b]。
多个单调区间之间只能用逗号隔开，不能用“U”
（2）单调区间是定义域的子集，所以单调区间一定
是某段x的取值范围！
（4）区间端点只要函数有意义，都可以带上，但一般
不重复出现。









x
y
2
1
0
1
3




-3
-1
4
例1、根据图象说出函数的单调区间
y＝f(x)，x∈[-3，4]
单调增区间是：[-1，1]
（1，4/3）
（2，4]

，
[4/3，2]

4/3
单调减区间是：[-3，-1）
，
，
图象法！
例2.求下列函数的单调区间：






x


y
_____________
,
应用一：求函数的单调区间






x
y
y=-x2+2





1
-1
1
2
2
-1
-2
-2
_______;
_______.
函数 单调区间 是否单调函数



k >0时：
k <0时：
k >0时：
k <0时：
是
不是
不是
1. 求函数y＝-x2+2|x|+3的单调区间.















y
0
x
-1
1

解：


增区间是：(-∞，-1］和［0，1］
减区间是：［-1，0］和［1，+∞）
练一练
2. 求函数 的单调区间
应用一：求函数的单调区间
单调性性质规律总结:
若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：
(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
(2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；
C＜0时，函数 f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.
(3)若函数f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
性质法！
因为增加增=增
所以：
目前无法判断增减
复合函数的单调性：对于复合函数f[g(x)]，
t=g(x) 增↑ 增 ↑ 减↓ 减 ↓
y=f(t) 增↑ 减↓ 增↑ 减↓
y=f[g(x)] 增↑ 减 ↓ 减 ↓ 增 ↑




同增异减


因为外围函数纯增，
所以t的范围可省略
复合函数的单调性：对于复合函数f[g(x)]，
t=g(x) 增↑ 增 ↑ 减↓ 减 ↓
y=f(t) 增↑ 减↓ 增↑ 减↓
y=f[g(x)] 增↑ 减 ↓ 减 ↓ 增 ↑




书写：
因为t=g(x)在 上增，
y=f(t) 在 上增，
所以y=f[g(x)]在 上增
同增异减
例5：
求函数y=f(x)在R上是减函数，求y=f(1-x)的单调递增区间。
例4：
求函数y= 的单调区间
求函数y=x4+2x2 +18的单调区间
例6：
复合求单调先求定义域！
解：因为 ，所以函数定义域为：
设 则
因为：内围函数在 上减，在 上增，
外围函数纯增，（因为外围纯增所以省略了t的相应范围）
所以：复合函数在 上减，在 上增，
应用一：求函数的单调区间
定义法！
证明：在区间 上任取两个值 且
则
，且
所以函数 在区间上 是增函数.

区间设值


作差变形

定号

结论
例3：判断函数 在定义域 上的单调性.
证明函数单调性的四步骤：
（1）设值:
设 （大小和区间）
（2）比较:
作差 ，通分或因式分解
（3）定号:
（判断的 　符号）
（4）结论:
（作出单调性的结论）
作业
P39 习题1.3 A组2.3题，B组1题

1、

2、



若二次函数 的单调增区间是 ， 则a的取值情况是（ ）
应用二：单调性求参
若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。


o
x



y

1



x
y
1

o





1、

2、

3、

4、
若二次函数 的单调增区间是 ， 则a的取值情况是 （ ）
应用二：单调性求参
若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。
应用三：通过单调性比较大小
和解不等式
1、函数f(x)在 上是减函数，求f(a2-a+1)与 f(3/4)的大小关系

2、
是在R上的单调函数，图象过点A(0,2)和B(3,0)
（1）解方程
（2）解不等式
（3）求适合 的 的取值范围
x、y大小互推
3、f(x)是定义域为[-1，1]上的增函数，解不等式f(x-1)函数必有值域，但不一定有最值：
最值与值域方法相同，结果书写不同。