2019-2020学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）10月段考数学试卷（解析版）

2019-2020学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）10月段考数学试卷
一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共计60分）
1．命题“若x是正数，则x＝|x|”的否命题是（　　）
A．若x是正数，则x≠|x| B．若x不是正数，则x＝|x|
C．若x是负数，则x≠|x| D．若x不是正数，则x≠|x|
2．设x∈R，则“x2+x﹣2＞0”是“1＜x＜5”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆C：3x2+4y2＝12的左、右焦点为F1，F2，△PF1F2的周长为7，则点P（　　）
A．在椭圆C上 B．在椭圆C外
C．在椭圆C内 D．条件不足，无法判断
4．设双曲线2mx2﹣my2＝1的一个焦点的坐标为（0，4），则m的值为（　　）
A． B． C．.． D．
5．使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．x＞0 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1或x＞0 D．﹣1＜x＜0
6．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
7．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．
8．以下有关命题的说法错误的是（　　）
A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．x＝1是x2﹣3x+2＝0的充分不必要条件
C．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
D．命题p：任意x＞0，都有x2﹣3x+2＜0，则命题p的否定为：存在x≤0，使得x2﹣3x+2≥0．
9．《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F是椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线y＝x交椭圆于A、B两点，若|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）和动直线l：y＝kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b≠0）相交于A（x1，y2），N）x2，y2）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA?kOB＝恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（　　）
A．（﹣p，0） B．（﹣2p，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）
二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共计20分）
13．已知命题；命题q：m≥1．则命题p是命题q的　 　条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）．
14．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则AB的中点到y轴的距离为　 　．
15．在周长为16的△PMN中，MN＝6，则的取值范围是　 　．
16．已知双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　 　．
三、解答题：（本题共6小题，共计70分）
17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
（1）求与椭圆有相同的焦点，且离心率的双曲线的方程；
（2）求长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）的椭圆的方程．
18．命题p：方程＝1表示椭圆；命题q：双曲线C：＝l（m＞0）的虚轴长于实轴．
（1）当简单命题p为真命题时，求实数m的取值范围；
（2）当复合命题“p∧q”为真命题时，求实数m的取值范围．
19．给定直线l：y＝2x﹣16，抛物线C：y2＝ax（a＞0）．
（1）当抛物线C的焦点在直线l上时，确定抛物线C的方程；
（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，直线BC的方程为4x+y﹣40＝0，求△ABC的重心坐标．
20．若直线l：y＝﹣过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．
21．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．
（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

22．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．




2019-2020学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）10月段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共计60分）
1．命题“若x是正数，则x＝|x|”的否命题是（　　）
A．若x是正数，则x≠|x| B．若x不是正数，则x＝|x|
C．若x是负数，则x≠|x| D．若x不是正数，则x≠|x|
【解答】解：命题“若x是正数，则x＝|x|”的否命题是“若x不是正数，则x≠|x|”．
故选：D．
2．设x∈R，则“x2+x﹣2＞0”是“1＜x＜5”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵x2+x﹣2＞0，解得x＜﹣2或x＞1；
当x＜﹣2或x＞1时，使得1＜x＜5不成立；
当1＜x＜5时，使得x＜﹣2或x＞1成立；
∴x2+x﹣2＞0是1＜x＜5的必要不充分条件．
故选：B．
3．已知椭圆C：3x2+4y2＝12的左、右焦点为F1，F2，△PF1F2的周长为7，则点P（　　）
A．在椭圆C上 B．在椭圆C外
C．在椭圆C内 D．条件不足，无法判断
【解答】解：椭圆C：3x2+4y2＝12的标准方程为：，
所以a＝2，b＝，c＝1，如果P在椭圆上，则△PF1F2的周长为：2a+2c＝6，
因为△PF1F2的周长为7，所以P在椭圆外．
故选：B．
4．设双曲线2mx2﹣my2＝1的一个焦点的坐标为（0，4），则m的值为（　　）
A． B． C．.． D．
【解答】解：双曲线2mx2﹣my2＝1的一个焦点的坐标为（0，4），
可得，解得m＝﹣．
故选：B．
5．使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．x＞0 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1或x＞0 D．﹣1＜x＜0
【解答】解：由，得＞0，解得x＜﹣1或x＞0．
∴使不等式成立的一个充分不必要条件是x＞0．
故选：A．
6．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
【解答】解：由题意可得e＝＝，
即为c2＝a2，
由c2＝a2+b2，可得b2＝a2，
即a＝2b，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
即为y＝±2x．
故选：D．
7．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：椭圆的长轴为2a，短轴的长为2b，
“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，
可得，即a＝2b，所以e＝＝＝．
故选：C．
8．以下有关命题的说法错误的是（　　）
A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．x＝1是x2﹣3x+2＝0的充分不必要条件
C．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
D．命题p：任意x＞0，都有x2﹣3x+2＜0，则命题p的否定为：存在x≤0，使得x2﹣3x+2≥0．
【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，符号逆否命题的形式，所以A正确；
对于B，x＝1推出x2﹣3x+2＝0，反之不成立，所以x＝1是x2﹣3x+2＝0的充分不必要条件，B正确；
命题“任意x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1”，
对于C，设a，b∈R，a≠0时，不能得出ab≠0，充分性不成立；
“ab≠0”时，得出a≠0，必要性成立，是必要不充分条件，所以C正确；
对于D，命题p：任意x＞0，都有x2﹣3x+2＜0，则命题p的否定为：存在x＞0，使得x2﹣3x+2≥0，所以D不正确．
故选：D．
9．《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F是椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线y＝x交椭圆于A、B两点，若|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，
∴AF1⊥BF1，∴OA＝OB＝OF1＝c．
∴A（，），
∴?，
，?，
e2＝1﹣＝4﹣2，∴﹣1．
故选：A．

10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，c＝1，
则F2的坐标为（1，0），过F2且斜率为1的直线l为：y＝x﹣1，即x＝y+1，
代入：得：7y2+6y﹣9＝0，
则y1﹣y2＝＝，
故△F1AB的面积S＝?2c?|y1﹣y2|＝，
故选：C．
11．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x＝﹣1，A（﹣1，0），
过P作PN垂直直线x＝﹣1于N，
由抛物线的定义可知PF＝PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，
设在PA的方程为：y＝k（x+1），所以，
解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，
所以△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0，解得k＝±1，
所以∠NPA＝45°，
＝cos∠NPA＝．
故选：B．

12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）和动直线l：y＝kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b≠0）相交于A（x1，y2），N）x2，y2）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA?kOB＝恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（　　）
A．（﹣p，0） B．（﹣2p，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）
【解答】解：将直线与抛物线联立，消去y，得k2x2+（2kb﹣2p）x+b2＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝；
∵kOA?kOB＝，∴y1y2＝x1x2，
∴y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）
＝k2x1x2+kb（x1+x2）+b2
＝；
∴＝?，
解得b＝，
∴y＝kx+＝k（x+）
令x＝﹣，得y＝0，
∴直线过定点（﹣，0）．
故选：D．
二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共计20分）
13．已知命题；命题q：m≥1．则命题p是命题q的　必要不充分　条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）．
【解答】解：当x，tanx∈[0，1]由命题，m＞（tanx）min＝0，
命题q：m≥1，
m＞0推不出m≥1，而m≥1能推出m＞0，
则命题p是命题q的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
14．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则AB的中点到y轴的距离为　　．
【解答】解：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），
联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1．
∵＝3，F（1，0），
∴1﹣x1＝3（x2﹣1），
解方程组，可得x1＝3，x2＝，
∴x1+x2＝，
∴AB的中点的横坐标为＝．
故答案为：．
15．在周长为16的△PMN中，MN＝6，则的取值范围是　[7，16）　．
【解答】解：设PM＝x，则PN＝10﹣x，∠MPN＝θ
所以＝x（10﹣x）cosθ
在△PMN中，由余弦定理得cosθ＝
∴（2＜x＜8）
分析可得当x＝5时最小为7，且＜16，
即的取值范围是[7，16）；
故答案为[7，16）
16．已知双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　　．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
与抛物线C2：y2＝2px联立，可得x＝0或x＝，
不妨取A（，），设垂心H（，0），
则kAH＝，
∵△OAB的垂心为C2的焦点，
∴×（﹣）＝﹣1，即9a2＝5c2，
∴e＝．
故答案为：．

三、解答题：（本题共6小题，共计70分）
17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
（1）求与椭圆有相同的焦点，且离心率的双曲线的方程；
（2）求长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）的椭圆的方程．
【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（±5，0），
设双曲线方程＝1（a，b＞0），
则c＝5，离心率，b2＝c2﹣a2．
∴a＝4，b2＝9．
∴所求双曲线方程为：．
（2）若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1，（a＞b＞0），
由题意知，
解得a＝，b＝，
∴椭圆方程为：．
若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1，（a＞b＞0），
由题意知：，
解得a＝，b＝，
∴椭圆方程为：．
18．命题p：方程＝1表示椭圆；命题q：双曲线C：＝l（m＞0）的虚轴长于实轴．
（1）当简单命题p为真命题时，求实数m的取值范围；
（2）当复合命题“p∧q”为真命题时，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）若p是真命题，则，得，得﹣2＜m＜4且m≠1，
即实数m的取值范围是﹣2＜m＜4且m≠1．
（2）当q是真命题时，4＞2m＞0，得0＜m＜2，
若“p∧q”为真命题，则p，q同时为真命题，即
得0＜m＜2且m≠1
19．给定直线l：y＝2x﹣16，抛物线C：y2＝ax（a＞0）．
（1）当抛物线C的焦点在直线l上时，确定抛物线C的方程；
（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，直线BC的方程为4x+y﹣40＝0，求△ABC的重心坐标．
【解答】解：（1）由题意得：直线l与x轴的交点坐标为（8，0），
而抛物线的焦点（，0），由题意得：＝8，
∴a＝32，
所以抛物线的方程为：y2＝32x．
（2）由题意得A（2，8），设B（x，y），C（x'，y'），
联立直线BC与抛物线方程整理得：x2﹣22x+100＝0，△＝84＞0，x+x'＝22，
∴y+y'＝（40﹣4x）+（40﹣4x'）＝﹣8，
∴△ABC的重心（，），
即重心坐标为：（8，0）．
20．若直线l：y＝﹣过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．
【解答】解：（1）直线l：y＝﹣过x轴上一点（2，0），
由题意可得c＝2，即a2+b2＝4，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由两直线平行的条件可得＝，
解得a＝，b＝1，
即有双曲线的方程为﹣y2＝1；
（2）设直线y＝kx+1（k≠0），
代入﹣y2＝1可得，（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣6＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
x1+x2＝，x1x2＝，
MN中点为（，），
可得MN的垂直平分线方程为y﹣＝﹣（x﹣），
令x＝0，可得y＝，
由△＝36k2+24（1﹣3k2）＞0，解得3k2＜2，
又＜0，解得3k2＜1，
综上可得，0＜3k2＜1，
即有的范围是（4，+∞），
可得直线m与y轴上的截距的取值范围为（4，+∞）．
21．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．
（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

【解答】解：（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得﹣＝，
即|PA|﹣|PB|＝8＜10，
可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c＝10，2a＝8，即有c＝5，a＝4，b＝3，
则P的轨迹方程为﹣＝1（x≥4），
时刻t0时，|OP|＝4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；
（2）设直线l的平行线l1的方程为y＝x+m，
联立双曲线方程﹣＝1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144＝0，
即有△＝（32m）2﹣28（16m2+144）＝0，且x1+x2＝﹣＞0，可得m＝﹣，
即l1：y＝x﹣与双曲线的右支相切，
切点即为双曲线右支上距离l最近的点，
此时l与l1的距离为d＝＝，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．
22．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵，∴．
∴a+c＝5（a﹣c），化简得2a＝3c，
故椭圆E的离心率为．
（2）存在满足条件的常数λ，．
∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c＝2，从而a＝3，，
左焦点F1（﹣2，0），椭圆E的方程为．
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，
代入椭圆方程，整理得，．
∵，∴．
从而，故点．同理，点．
∵三点M、F1、N共线，∴，从而x1y2﹣x2y1＝2（y1﹣y2）．
从而．
故，从而存在满足条件的常数λ，．