2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分)
1．2的相反数是（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．﹣
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．3x2?4x2＝12x2 B．x3+x5＝x8
C．x4÷x＝x3 D．（x5）2＝x7
4．如图所示物体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
5．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值为（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣3
6．一家公司招考员工，每位考生要在A、B、C、D、E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格．已知某位考生会答A、B两题，则他合格的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0
8．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（　　）
A．10cm2 B．10πcm2 C．20cm2 D．20πcm2
9．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
10．如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（　　）

A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
二、填空题（每小题3分,共计30分)
11．五年以来，我国城镇新增就业人数为66000000人，数据66000000用科学记数法表示为　 　．
12．分解因式：a3﹣4ab2＝　 　．
13．计算：＝　 　．
14．已知一组数据2、7、9、10、x的平均数与众数相等，则x的值为　 　．
15．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38°，则∠OAC的度数是　 　度．

16．不等式组的解集是　 　．
17．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是　 　边形．
18．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为　 　．
19．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是　 　cm．

20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为　 　．

三、解答题(其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分)
21．先化简，再求代数式÷（1+）的值，其中a＝3tan30°+1．
22．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，回答下列问题：
（1）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的图形△A'BC′；
（2）求点C所形成的路径的长度．

23．某校为了解学生对“第二十届中国哈尔滨冰雪大世界”主题景观的了解情况，在全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图的不完整的两幅统计图：
（1）本次调查共抽取了多少名学生；
（2）通过计算补全条形图；
（3）若该学校共有750名学生，请你估计该学校选择“比较了解”项目的学生有多少名？

24．如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C，直线y＝mx+分别与x轴、y轴交于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）
（1）不等式x+3≤mx+的解集为　 　．
（2）求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．

25．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
26．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．
（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；
（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．

27．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．



2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分)
1．2的相反数是（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．﹣
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：C．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
3．下列运算正确的是（　　）
A．3x2?4x2＝12x2 B．x3+x5＝x8
C．x4÷x＝x3 D．（x5）2＝x7
【解答】解：A、3x2?4x2＝12x4，本选项错误；
B、原式不能合并，错误；
C、x4÷x＝x3，本选项正确；
D、（x5）2＝x10，本选项错误，
故选：C．
4．如图所示物体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从上面向下看，易得到横排有3个正方形．
故选：D．
5．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值为（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣3
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），
∴2k＝﹣2×3＝﹣6，
∴k＝﹣3，
故选：D．
6．一家公司招考员工，每位考生要在A、B、C、D、E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格．已知某位考生会答A、B两题，则他合格的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：
共有20种情况，合格的情况数有14种，所以概率为．
故选：A．
7．关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0
【解答】解：（1）当k＝0时，﹣6x+9＝0，解得x＝；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，
∴△＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，
由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．
故选：A．
8．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（　　）
A．10cm2 B．10πcm2 C．20cm2 D．20πcm2
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×5÷2＝10π．
故选：B．
9．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．
10．如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（　　）

A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，
在Rt△OPQ中，OP＝1，∠POQ＝α，
∴sinα＝，cosα＝，即PQ＝sinα，OQ＝cosα，
则P的坐标为（cosα，sinα），
故选：C．

二、填空题（每小题3分,共计30分)
11．五年以来，我国城镇新增就业人数为66000000人，数据66000000用科学记数法表示为　6.6×107　．
【解答】解：将66000000用科学记数法表示为：6.6×107．
故答案为：6.6×107．
12．分解因式：a3﹣4ab2＝　a（a+2b）（a﹣2b）　．
【解答】解：a3﹣4ab2
＝a（a2﹣4b2）
＝a（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．
13．计算：＝　　．
【解答】解：
＝3﹣
＝2．
故答案为：2．
14．已知一组数据2、7、9、10、x的平均数与众数相等，则x的值为　7　．
【解答】解：∵数据2、7、9、10、x的平均数与众数相等，
∴＝x，
∴x＝7．
故填7．
15．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38°，则∠OAC的度数是　19　度．

【解答】解：∵∠AOB＝38°
∴∠C＝38°÷2＝19°
∵AO∥BC
∴∠OAC＝∠C＝19°．
16．不等式组的解集是　﹣3＜x≤2　．
【解答】解：解不等式2x﹣4≤0，得：x≤2，
解不等式x+3＞0，得：x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
故答案为：﹣3＜x≤2．
17．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是　五　边形．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）?180°＝540°，
解得n＝5，
故答案为：五．
18．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为　或　．
【解答】解：①如图1，点A、D在BC的两侧，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝×2＝4，
∵∠ABC＝45°，
∴BE＝DE＝AD＝×4＝2，BE⊥AD，
∵BC＝1，
∴CE＝BE﹣BC＝2﹣1＝1，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝；
②如图2，点A、D在BC的同侧，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝2，
过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BE＝×2＝2，
∵BC＝1，
∴CE＝BE+BC＝2+1＝3，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝，
综上所述，线段CD的长为或．
故答案为：或．

19．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是　210　cm．

【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，
根据题意得：AD＝2×30＝60（cm），BD＝18×3＝54（cm），
∵斜坡BC的坡度i＝1：5，
∴BD：CD＝1：5，
∴CD＝5BD＝5×54＝270（cm），
∴AC＝CD﹣AD＝270﹣60＝210（cm）．
∴AC的长度是210cm．
故答案为：210．

20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为　　．

【解答】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE＝∠AEG，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠AEG，
∴AG＝EG，
同理可得，EF＝CF，
∵AB∥GE，BC∥EF，
∴∠BAC＝∠EGF，∠BCA＝∠EFG，
∴△ABC∽△GEF，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∴EG：EF：GF＝AB：BC：AC＝3：4：5，
设EG＝3k＝AG，则EF＝4k＝CF，FG＝5k，
∵AC＝10，
∴3k+5k+4k＝10，
∴k＝，
∴EF＝4k＝．
故答案为：．

三、解答题(其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分)
21．先化简，再求代数式÷（1+）的值，其中a＝3tan30°+1．
【解答】解：原式＝÷
＝?
＝，
当a＝3tan30°+1＝3×+1＝+1时，原式＝＝．
22．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，回答下列问题：
（1）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的图形△A'BC′；
（2）求点C所形成的路径的长度．

【解答】解：（1）如图，△A'BC′为所作；

（2）点C所形成的路径的长度＝＝π．
23．某校为了解学生对“第二十届中国哈尔滨冰雪大世界”主题景观的了解情况，在全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图的不完整的两幅统计图：
（1）本次调查共抽取了多少名学生；
（2）通过计算补全条形图；
（3）若该学校共有750名学生，请你估计该学校选择“比较了解”项目的学生有多少名？

【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数是：16÷32%＝50（名）；

（2）不大了解的人数有50﹣16﹣18﹣10＝6（名），
补图如下：


（3）根据题意得：
750×＝270（名），
答：该学校选择“比较了解”项目的学生有270名．
24．如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C，直线y＝mx+分别与x轴、y轴交于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）
（1）不等式x+3≤mx+的解集为　x≤﹣1　．
（2）求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与直线y＝mx+相交于点M（﹣1，b），
∴不等式x+3≤mx+的解集为x≤﹣1．
故答案为x≤﹣1；

（2）∵直线y＝x+3过点M（﹣1，b），
∴b＝﹣1+3＝2，M（﹣1，2），
将M（﹣1，2）代入y＝mx+，
得2＝﹣m+，解得m＝﹣，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，
∴当y＝0时，x＝2，∴B（2，0）．
∵直线AC的解析式为y＝x+3，
∴当y＝0时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0）．
∴AB＝5，
∴S△ABM＝×5×2＝5．
25．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
【解答】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得，
解得，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．

（2）方法一：
解：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．
80a+50（96﹣a）≤5720，
a≤30．
∵a为正整数，
∴a最多可以购买30个篮球．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
方法二：
解：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．
50n+80（96﹣n）≤5720，
n≥65
∵n为整数，
∴n最少是66
96﹣66＝30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
26．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．
（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；
（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．

【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵FB是⊙O的切线，
∴∠FBD＝90°，
∴∠FBA+∠ABD＝90°，
∴∠FBA＝∠D，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，连接OC，
∵∠OHC＝∠HCA＝90°，
∴AC∥OH，
∴∠ACO＝∠COH，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，
即∠ABD＝∠ACO，
∴∠ABC＝∠COH，
∵∠H＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△HOC，
∴＝＝2，
∴CH＝DA；
（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，
∴＝2，
∵OH＝6，⊙O的半径为10，
∴AB＝2OH＝12，BD＝20，
∴AD＝＝16，
在△ABF与△ABE中，，
∴△ABF≌△ABE，
∴BF＝BE，AF＝AE，
∵∠FBD＝∠BAD＝90°，
∴AB2＝AF?AD，
∴AF＝＝9，
∴AE＝AF＝9，
∴DE＝7，BE＝＝15，
∵AD，BC交于E，
∴AE?DE＝BE?CE，
∴CE＝＝＝．

27．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意知：抛物线的对称轴为：x＝1，则B（3，0）；
已知OB＝OC＝3，则C（0，﹣3）；
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），依题意有：
a（0﹣1）（0﹣3）＝﹣3，a＝﹣1；
故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3．

（2）设AE交y轴于点F；
易证得△FOA∽△FEC，有，
设OF＝x，则EF＝3x，
所以FA＝3x﹣1；
在Rt△FOA中，由勾股定理得：
（3x﹣1）2＝x2+1，
解得x＝；
即OF＝，F（0，）；
求得直线AE为y＝﹣x+，联立抛物线的解析式得：
，
解得，；
故点P（）．

（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC：y＝x﹣3；
设点M（a，a﹣3），则：
①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；
过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；
根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，
则可证得△MOG≌△NOH，得：
OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，
故N（a﹣3，﹣a），
将其代入抛物线的解析式中，得：
﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，
整理得：a2﹣11a+24＝0，
a＝3（舍去），a＝8；
故M（8，5），N（5，﹣8）．
②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；
同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：
﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，
整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；
由于点M在第三象限，
所以a＜0，
故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；
③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；
同①得：N（3﹣a，a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1；
故M（1，﹣2），N（2，1）；
综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．