24.4.2 切线的判定与性质(基础达标+巩固提升+答案)
文档属性
| 名称 | 24.4.2 切线的判定与性质(基础达标+巩固提升+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-02 09:01:23 | ||
图片预览
文档简介
沪科版数学九年级下册同步课时训练
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的性质与判定
要点测评 基础达标
要点1 切线的性质及其应用
1. 如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )
A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°
2. 如图所示，☉M与x轴相交于点A(2，0)，B(8，0)，与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是 .?
3. 如图，过☉O上的两点A，B分别作切线，并交BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交☉O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点.
求证：(1)△ACO≌△BDO；(2)CE=DF.
要点2 切线的判定及其应用
4. 如图，A，B是☉O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为☉O的切线.
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.
(1)求证：AC是☉O的切线；
(2)若OB=10，CD=8，求BE的长.
课后集训 巩固提升
6. 下列直线中，一定是圆的切线的是( )
A. 过半径外端的直线 B. 垂直于圆的半径的直线
C. 与圆有公共点的直线 D. 与圆心的距离等于该圆的半径的直线
7. 如图，AB是☉O的直径，直线DA与☉O相切于点A，DO交☉O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为( )
A. 46° B. 47° C. 48° D. 49°
8. 如图，两个同心圆的半径分别为3 cm和5 cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB等于( )
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 8 cm
9. 如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：
①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
10. 如图，直线l是☉O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交☉O于点C，若AB=12，OA=5，则BC的长为 .
11. 如图，直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B；点Q是以C(0，－ 1)为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小值是 .
12. 如图，在△ABC中，AB=6 cm，AC=BC=5 cm，点P从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度做匀速运动，点D在BC上且满足∠CPD=∠A，则当运动时间t= s时，以点C为圆心，以CD为半径的圆与AB相切.
13. 如图，AB是☉O的直径，点C在AB的延长线上，CD与☉O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)求证：∠BDC=∠A；
(2)若CE=4，DE=2，求AD的长.
14. 如图，AB是 ☉O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED.
(1)求证：BC是☉O的切线；
(2)已知AD=3，CD=2，求BC的长.
15. 如图，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE.
(1)求证：DE是☉O的切线；
(2)连接OE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形；
(3)在(2)条件下探索四边形OBED的形状.
参 考 答 案
1. B 【解析】连接OC，因为圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，所以AB是直径，因为∠A=25°，所以∠BOC=2∠A=50°，因为CD是圆O的切线，所以OC⊥CD，所以∠D=90°－ ∠BOC=40°，故选B.
2. (5，4) 【解析】连接AM，作MN⊥x轴于点N.则AN=BN.因为点A(2，0)，B(8，0)，所以OA=2，OB=8，所以AB=OB－ OA=6.所以AN=BN=3.所以ON=OA＋AN=2＋3=5，则点M的横坐标是5，圆的半径是5.在直角△AMN中，MN===4，则M的纵坐标是4.故M的坐标是(5，4).
3. 证明：(1)因为过☉O上的两点A，B分别作切线，所以∠CAO=∠DBO=90°，在△ACO和△BDO中因为所以△ACO≌△BDO(ASA).
(2)由(1)知△ACO≌△BDO，所以CO=DO，因为OM⊥CD，所以MC=DM，EM=MF，所以CE=DF.
4. 60 【解析】因为△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，所以∠OAB=30°，所以当∠CAB的度数等于60°时，OA⊥AC，AC才能成为☉O的切线.
5. (1)证明：连接OD，如图，因为BD为∠ABC的平分线，所以∠1=∠2，因为OB=OD，所以∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以OD∥BC，因为∠C=90°，所以∠ODA=90°，则AC是圆O的切线.
(2)解：过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，所以GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得BG=6，因为OG⊥BE，OB=OE，所以BE=2BG=12.
6. D 【解析】根据切线的定义和判定定理知：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故A，B，C项不正确，D项正确.故选D.
7. C 【解析】因为直线DA与☉O相切，所以∠OAD=90°.因为∠AOD=2∠ABC=2×21°=42°，所以∠ADC=90°－ ∠AOD=90°－ 42°=48°.故选C.
8. D 【解析】连接OA，OC，因为AB与小圆相切，所以OC⊥AB，所以C为AB的中点，即AC=BC=AB，在Rt△AOC中，OA=5 cm，OC=3 cm，根据勾股定理得AC==4 cm，则AB=2AC=8 cm.故选D.
9. A 【解析】连接OD，因为CD是☉O的切线，所以OD⊥DC，因为OA=OD，所以∠ODA=∠A=30°，所以∠DOC=60°，所以∠C=30°，所以AD=CD，①正确；因为AB是☉O的直径，所以∠ADB=90°，所以∠ODB=60°，所以∠BDC=30°=∠C，所以BD=BC，②正确；又∠A=30°，∠ADB=90°，所以AB=2BD=2BC，③正确，故选A.
10. 8 【解析】由切线的性质得OA⊥AB，因为OA=5，AB=12，所以由勾股定理得BO=13，由圆的性质知OC=OA，所以BC=BO－OC=13－5=8.
11. 【解析】过点C作CP⊥直线AB于点P，过点P作☉C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示.当x=0时，y=3，所以点B的坐标为(0，3)；当y=0时，x=4，所以点A的坐标为(4，0).所以OA=4，OB=3，所以AB==5，所以sin B==.因为C(0，－1)，所以BC=3－(－1)=4，所以CP=BC·sin B=.因为PQ为☉C的切线，所以∠CQP=90°，所以PQ==.
12. 1或5 【解析】作CE⊥AB于E，因为AB=6 cm，AC=BC=5 cm，所以AE=BE=3 cm，所以CE=4 cm，因为☉C与AB相切，所以CD=CE=4 cm，所以BD=5－4=1 cm，因为AC=BC，所以∠A=∠B，因为∠BPC=∠CPD＋∠BPD=∠A＋∠ACP，∠CPD=∠A，所以∠BPD=∠ACP，所以△PAC∽△DBP，所以=，即=，解得t1=1，t2=5.又t>0，6－ t>0，所以013. (1)证明：连接OD，因为CD是☉O切线，所以∠ODC=90°，因为AB为☉O的直径，所以∠ADB=90°，所以∠BDC=∠ADO，因为OA=OD，所以∠ADO=∠A，所以∠BDC=∠A.
(2)解：因为CE⊥AE，所以∠E=∠ADB=90°，所以DB∥EC，所以∠DCE=∠BDC，因为∠BDC=∠A，所以∠A=∠DCE，所以△AEC∽△CED，所以=，所以EC2=DE·AE，所以16=2(2＋AD)，所以AD=6.
14. (1)证明：因为AB是☉O的直径，所以∠ADB=90°，又因为∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，所以∠BAD=∠DBC，所以∠DBC＋∠ABD=∠BAD＋∠ABD=90°，所以∠ABC=90°，即OB⊥BC，所以BC是☉O的切线.
(2)解：因为∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，所以△ABC∽△BDC，所以=，即BC2=AC·CD=(AD＋CD)·CD=10，所以BC=.
15. (1)证明：连接OD，DB，因为AB是☉O的直径，所以∠ADB=90°，所以∠CDB=90°，因为E是BC边上的中点，所以CE=EB=DE，所以∠1=∠2，因为OB=OD，所以∠3=∠4，所以∠1＋∠4=∠2＋∠3，因为∠ABC=90°，所以∠EDO=90°，所以DE是☉O的切线.
(2)解：∠CAB=45°.理由如下：因为OA=OD，所以∠A=∠ODA=45°，所以∠DOA=180°－ 45°－ 45°=90°=∠EDO，所以DE∥AO，因为E为BC中点，OA=OB，所以EO∥AD，所以四边形AOED是平行四边形，即当∠CAB=45°时，四边形AOED是平行四边形.
(3)解：四边形OBED是正方形.理由如下：因为∠EDO=∠DOB=∠EBA=90°，OB=OD，所以四边形OBED是正方形.
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的性质与判定
要点测评 基础达标
要点1 切线的性质及其应用
1. 如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )
A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°
2. 如图所示，☉M与x轴相交于点A(2，0)，B(8，0)，与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是 .?
3. 如图，过☉O上的两点A，B分别作切线，并交BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交☉O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点.
求证：(1)△ACO≌△BDO；(2)CE=DF.
要点2 切线的判定及其应用
4. 如图，A，B是☉O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为☉O的切线.
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.
(1)求证：AC是☉O的切线；
(2)若OB=10，CD=8，求BE的长.
课后集训 巩固提升
6. 下列直线中，一定是圆的切线的是( )
A. 过半径外端的直线 B. 垂直于圆的半径的直线
C. 与圆有公共点的直线 D. 与圆心的距离等于该圆的半径的直线
7. 如图，AB是☉O的直径，直线DA与☉O相切于点A，DO交☉O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为( )
A. 46° B. 47° C. 48° D. 49°
8. 如图，两个同心圆的半径分别为3 cm和5 cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB等于( )
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 8 cm
9. 如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：
①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
10. 如图，直线l是☉O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交☉O于点C，若AB=12，OA=5，则BC的长为 .
11. 如图，直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B；点Q是以C(0，－ 1)为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小值是 .
12. 如图，在△ABC中，AB=6 cm，AC=BC=5 cm，点P从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度做匀速运动，点D在BC上且满足∠CPD=∠A，则当运动时间t= s时，以点C为圆心，以CD为半径的圆与AB相切.
13. 如图，AB是☉O的直径，点C在AB的延长线上，CD与☉O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)求证：∠BDC=∠A；
(2)若CE=4，DE=2，求AD的长.
14. 如图，AB是 ☉O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED.
(1)求证：BC是☉O的切线；
(2)已知AD=3，CD=2，求BC的长.
15. 如图，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE.
(1)求证：DE是☉O的切线；
(2)连接OE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形；
(3)在(2)条件下探索四边形OBED的形状.
参 考 答 案
1. B 【解析】连接OC，因为圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，所以AB是直径，因为∠A=25°，所以∠BOC=2∠A=50°，因为CD是圆O的切线，所以OC⊥CD，所以∠D=90°－ ∠BOC=40°，故选B.
2. (5，4) 【解析】连接AM，作MN⊥x轴于点N.则AN=BN.因为点A(2，0)，B(8，0)，所以OA=2，OB=8，所以AB=OB－ OA=6.所以AN=BN=3.所以ON=OA＋AN=2＋3=5，则点M的横坐标是5，圆的半径是5.在直角△AMN中，MN===4，则M的纵坐标是4.故M的坐标是(5，4).
3. 证明：(1)因为过☉O上的两点A，B分别作切线，所以∠CAO=∠DBO=90°，在△ACO和△BDO中因为所以△ACO≌△BDO(ASA).
(2)由(1)知△ACO≌△BDO，所以CO=DO，因为OM⊥CD，所以MC=DM，EM=MF，所以CE=DF.
4. 60 【解析】因为△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，所以∠OAB=30°，所以当∠CAB的度数等于60°时，OA⊥AC，AC才能成为☉O的切线.
5. (1)证明：连接OD，如图，因为BD为∠ABC的平分线，所以∠1=∠2，因为OB=OD，所以∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以OD∥BC，因为∠C=90°，所以∠ODA=90°，则AC是圆O的切线.
(2)解：过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，所以GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得BG=6，因为OG⊥BE，OB=OE，所以BE=2BG=12.
6. D 【解析】根据切线的定义和判定定理知：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故A，B，C项不正确，D项正确.故选D.
7. C 【解析】因为直线DA与☉O相切，所以∠OAD=90°.因为∠AOD=2∠ABC=2×21°=42°，所以∠ADC=90°－ ∠AOD=90°－ 42°=48°.故选C.
8. D 【解析】连接OA，OC，因为AB与小圆相切，所以OC⊥AB，所以C为AB的中点，即AC=BC=AB，在Rt△AOC中，OA=5 cm，OC=3 cm，根据勾股定理得AC==4 cm，则AB=2AC=8 cm.故选D.
9. A 【解析】连接OD，因为CD是☉O的切线，所以OD⊥DC，因为OA=OD，所以∠ODA=∠A=30°，所以∠DOC=60°，所以∠C=30°，所以AD=CD，①正确；因为AB是☉O的直径，所以∠ADB=90°，所以∠ODB=60°，所以∠BDC=30°=∠C，所以BD=BC，②正确；又∠A=30°，∠ADB=90°，所以AB=2BD=2BC，③正确，故选A.
10. 8 【解析】由切线的性质得OA⊥AB，因为OA=5，AB=12，所以由勾股定理得BO=13，由圆的性质知OC=OA，所以BC=BO－OC=13－5=8.
11. 【解析】过点C作CP⊥直线AB于点P，过点P作☉C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示.当x=0时，y=3，所以点B的坐标为(0，3)；当y=0时，x=4，所以点A的坐标为(4，0).所以OA=4，OB=3，所以AB==5，所以sin B==.因为C(0，－1)，所以BC=3－(－1)=4，所以CP=BC·sin B=.因为PQ为☉C的切线，所以∠CQP=90°，所以PQ==.
12. 1或5 【解析】作CE⊥AB于E，因为AB=6 cm，AC=BC=5 cm，所以AE=BE=3 cm，所以CE=4 cm，因为☉C与AB相切，所以CD=CE=4 cm，所以BD=5－4=1 cm，因为AC=BC，所以∠A=∠B，因为∠BPC=∠CPD＋∠BPD=∠A＋∠ACP，∠CPD=∠A，所以∠BPD=∠ACP，所以△PAC∽△DBP，所以=，即=，解得t1=1，t2=5.又t>0，6－ t>0，所以0
(2)解：因为CE⊥AE，所以∠E=∠ADB=90°，所以DB∥EC，所以∠DCE=∠BDC，因为∠BDC=∠A，所以∠A=∠DCE，所以△AEC∽△CED，所以=，所以EC2=DE·AE，所以16=2(2＋AD)，所以AD=6.
14. (1)证明：因为AB是☉O的直径，所以∠ADB=90°，又因为∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，所以∠BAD=∠DBC，所以∠DBC＋∠ABD=∠BAD＋∠ABD=90°，所以∠ABC=90°，即OB⊥BC，所以BC是☉O的切线.
(2)解：因为∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，所以△ABC∽△BDC，所以=，即BC2=AC·CD=(AD＋CD)·CD=10，所以BC=.
15. (1)证明：连接OD，DB，因为AB是☉O的直径，所以∠ADB=90°，所以∠CDB=90°，因为E是BC边上的中点，所以CE=EB=DE，所以∠1=∠2，因为OB=OD，所以∠3=∠4，所以∠1＋∠4=∠2＋∠3，因为∠ABC=90°，所以∠EDO=90°，所以DE是☉O的切线.
(2)解：∠CAB=45°.理由如下：因为OA=OD，所以∠A=∠ODA=45°，所以∠DOA=180°－ 45°－ 45°=90°=∠EDO，所以DE∥AO，因为E为BC中点，OA=OB，所以EO∥AD，所以四边形AOED是平行四边形，即当∠CAB=45°时，四边形AOED是平行四边形.
(3)解：四边形OBED是正方形.理由如下：因为∠EDO=∠DOB=∠EBA=90°，OB=OD，所以四边形OBED是正方形.