2020版高考艺考生文化课百日冲刺 第22讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差(理)（课件:109张PPT）

课件109张PPT。第22讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差(理)1.离散型随机变量的分布列
(1)定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
(2)性质
①pi≥0(i=1,2,…,n);2.离散型随机变量X的均值与方差 3.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数).
(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).4.条件概率与事件的相互独立
(1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)·P(B),则称事件A与事件B相互独立.
(2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)·P(B).(3)条件概率 5.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
(2)二项分布
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率,在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).
(3)二项分布的均值与方差
若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).6.超几何分布
(1)定义:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则变量X的分布列具有下表形式则称随机变量X服从超几何分布.
(2)均值7.正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(4)曲线与x轴之间的面积为1;
(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
【注意】正态分布的三个常用数据
(1)P(μ-σ(2)P(μ-2σ(3)P(μ-3σ【例1—1】　设离散型随机变量X的分布列为求2X+1的分布列.
【解析】 由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,
解得m=0.3.首先列表为:从而2X+1的分布列为 【例1—2】　(2017·山东卷)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).
【解析】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,因此X的分布列为 X的数学期望是
E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)【规律方法】
(1)离散型随机变量分布列性质的应用
①利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负;②若X为随机变量,则2X+1仍然为随机变量,求其分布列时可先求出相应的随机变量的值,再根据对应的概率写出分布列.
(2)求离散型随机变量X的均值的方法
①理解X的意义,写出X可能取的全部值;②求X取每个值的概率;③写出X的分布列;④由均值的定义求E(X).变式训练一
1.随机变量X的分布列如下:其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=　　　　,公差d的取值范围是　　　　.? 【解析】 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c. 2.某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下: 已知ξ的均值E(ξ)=4.3,则y的值为(　　)
A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.1C 【解析】 由题意知,x+0.1+0.3+y=1,又E(ξ)=3x+4×0.1+5×0.3+6y=4.3,两式联立解得y=0.2.3.根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示.(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求a,b的值;
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群,其他年龄段的人群定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放100元的代金券,现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人,并在这10人中随机抽取3人进行回访,求此3人获得代金券总和X的分布列与数学期望.解得a=0.035,b=0.025.
(2)利用分层抽样从样本中抽取10人,其中属于高消费人群的有6人,属于潜在消费人群的有4人.
从中抽取3人,并计算3人所获得代金券的总和X,则X的所有可能取值为:150,200,250,300,题型二　离散型随机变量的均值与方差的应用
【例2】　为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:
①顾客所获的奖励额为60元的概率;
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.【解析】 (1)设顾客所获的奖励额为X元. 即X的分布列为
所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.
所以,先寻找期望为60元的可能方案.
对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.
以下是对两个方案的分析:
对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1元,则X1的分布列为由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.【规律方法】利用均值与方差解决实际问题的方法
(1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来.(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率.(3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值.(4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释.变式训练二
(2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解:(1)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人, (2)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.
所以ξ的所有可能取值为0,1,2.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差. 题型三　条件概率与相互独立事件
【例3-1】　(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=(　　)(2)某校组织由5名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为(　　)(3)(2019·运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为　　　　.?法二:事件A包括的基本事件:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4个.
事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形,即n(AB)=1.(3)设“种子发芽”为事件A,“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽,又成活为幼苗).出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,P(A)=0.9,根据条件概率公式得P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.9=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
【答案】(1)B　(2)A　(3)0.72【规律方法】 【例3-2】　某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分,未出线记0分.(1)求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率;
(2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列.【解】(1)记“甲出线”为事件A,“乙出线”为事件B,“丙出线”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D,【规律方法】
(1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,先将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,再求概率.
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法:
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
②直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.变式训练三
设某人有5发子弹,他向某一目标射击时,每发子弹命中目标的概率为 .若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击,否则将子弹打完.
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率;
(2)求他所耗用的子弹数X的分布列.解:记“第k发子弹命中目标”为事件Ak(k=1,2,3,4,5), (2)X的所有可能取值为2,3,4,5. 题型四　超几何分布与二项分布
【例4-1】　PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.
从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;
(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.【解】(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,恰有一天空气质量达 (2)依据条件知,ξ服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=3,且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.故ξ的分布列为 【规律方法】求超几何分布的分布列的步骤 【例4-2】　(2019·佛山模拟)某企业对新扩建的厂区进行绿化,移栽了银杏、垂柳两种不影响.
(1)求两种大树各成活1株的概率;
(2)设ξ为两种大树成活的株数之和,求随机变量ξ的分布列.
【解】(1)记“银杏大树成活1株”为事件A,“垂柳大树成活1株”为事件B,则“两种大树各成活1株”为事件AB.(2)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. 所以ξ的分布列为 【规律方法】独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时,首先要确定好n和k的值,再准确利用公式求概率.
(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时,关键是理清事件与事件之间的关系,确定二项分布的试验次数n和变量的概率,求得概率.变式训练四
1.某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问.求:
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率;
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.2.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.解:(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)重量超过505的产品数量为12件,则重量未超过505克的产品数量为28件,X的取值为0,1,2,
X服从超几何分布.题型五　均值与方差在决策中的应用与正态分布
【例5-1】　根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流每年最高水位X(单位:米)的频率分布直方图如图:将河流最高水位落入各组的频率视为概率,并假设每年河流最高水位相互独立. (1)求在未来三年里,至多有一年河流最高水位X∈[27,31)的概率(结果用分数表示);
(2)该河流对沿河A企业影响如下:当X∈[23,27)时,不会造成影响;当X∈[27,31)时,损失10000元;当X∈[31,35]时,损失60000元.为减少损失,现有三种应对方案:
方案一:防御35米的最高水位,每年需要工程费用3800元;
方案二:防御31米的最高水位,每年需要工程费用2000元;
方案三:不采取措施.
试比较上述三种方案,哪种方案好,并请说明理由.(2)方案二好,理由如下:
由题意得P(23≤X<27)=0.74,
P(31≤X≤35)=0.01,
用X1,X2,X3分别表示方案一、方案二、方案三的损失,
由题意得X1=3800,X2的分布列为所以E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600.
X3的分布列为所以E(X3)=0×0.74+60000×0.01+10000×0.25=3100.
因为三种方案中方案二的平均损失最小,所以采取方案二好.【规律方法】利用均值、方差进行决策的两个方略
(1)当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断.
(2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策.【例5-2】　(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ ≈0.09.【解】(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,0.0026).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.
X的数学期望E(X)=16×0.0026=0.0416.
(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.【规律方法】正态分布下的概率计算常见的两类问题
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1的性质.
(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.变式训练五
1.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1, 1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σP(μ-2σA.1193 B.1359
C.2718 D.3413B 【解析】 对于正态分布N(-1,1),μ=-1,σ=1,正态曲线关于x=-1对称,故题图中阴影部分 落入阴影部分的个数约为10000×0.1359=1359. 2.甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12),如果零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外,我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况.现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测,尺寸如茎叶图所示:
则以下判断正确的是(　　)
A.甲、乙两厂生产都出现异常 B.甲、乙两厂生产都正常
C.甲厂生产正常,乙厂出现异常 D.甲厂生产出现异常,乙厂正常D 【解析】 由甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12),得μ=5,σ=0.1,区间(μ-3σ, μ+3σ),即区间(4.7,5.3),根据茎叶图可知,甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间,乙厂生产的零件尺寸均在上述区间,所以甲厂生产出现异常、乙厂生产正常.故选D.3.某供货商计划将某种大型节日商品分别配送到甲、乙两地销售,据以往数据统计,甲、乙两地该商品需求量(单位:件)的频率分布表如下:
甲地需求量频率分布表乙地需求量频率分布表以两地需求量的频率估计需求量的概率.
(1)若此供货商计划将10件该商品全部配送至甲、乙两地,为保证两地不缺货(配送量≥需求量)的概率均大于0.7,问该商品的配送方案有哪几种?
(2)已知甲、乙两地该商品的销售相互独立,该商品售出,供货商获利2万元/件;未售出的,供货商亏损1万元/件.在(1)的前提下,若仅考虑此供货商所获净利润,试确定最佳配送方案.解:(1)由表格可知,甲地不缺货的概率大于0.7时,至少需配货5件;乙地不缺货的概率大于0.7时,至少需配货4件.
故共有两种方案:方案一是甲地配5件,乙地配5件;方案二是甲地配6件,乙地配4件.(2)方案一:甲地配5件,乙地配5件时,记甲地的利润为X1万元,乙地的利润为Y1万元,则X1,Y1的分布列分别为所以选择方案一时,此供货商净利润的期望为E(X1)+E(Y1)=(7×0.5+10×0.5)+(4×0.6+7×0.3+10×0.1)=8.5+5.5=14(万元).方案二:甲地配6件,乙地配4件时,记甲地的利润为X2万元,乙地的利润为Y2万元,则X2,Y2的分布列分别为所以选择方案二时,此供货商净利润的期望为E(X2)+E(Y2)=(6×0.5+9×0.3+12×0.2)+(5×0.6+8×0.4)=8.1+6.2=14.3(万元).
综上,仅考虑此供货商所获净利润,选择方案二更佳.1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)= ,k=1,2,3,则E(3X+5)=(　　)
A.6 B.9 C.11 D.142.设随机变量X~N(1,52),且P(X≤0)=P(X>a-2),则实数a的值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6C B 【解析】 因为随机变量X~N(1,52),且P(X≤0)=P(X>a-2),所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x=1)可知,a-2=2×1,解得a=4.D 4.在一个质地均匀的小正方体的六个面中,三个面标0,两个面标1,一个面标2,将这个小正方体连续掷两次,若向上的数字的乘积为偶数,则该乘积为非零偶数的概率为(　　)D 【解析】 两次数字乘积为偶数,可先考虑其反面:只需两次均出现1向上,故两次数字乘 5.某盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为(　　)B 6.若某科技小制作课的模型制作规则是:每位学生最多制作3次,一旦制作成功,则停止制作,否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为p(p≠0),制作次数为X,若X的数学C 【解析】 由已知条件可得P(X=1)=p,
P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,
则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)27.有一个公用电话亭,观察使用这个电话的人的流量时,设在某一时刻,有n个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P(n),且P(n)与时刻t无关,统计得到C 【解析】 由题意得 8.已知袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,则a+b的值是(　　)
A.1或2 B.0或2
C.2或3 D.0或3B 【解析】 由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4, 9.若随机变量η的分布列如下表: 则当P(η所以1(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;
(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.解:(1)设事件A为“两手所取的球不同色”, (2)依题意,X的可能取值为0,1,2, 1.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A= (例如:若a1=a3=a5=1,a2=a4=0,则A=10101),其中二进制数A的各位数中,已知a1=1,B 【解析】 法一:X的所有可能取值为1,2,3,4,5, 法二:由题意,X的所有可能取值为1,2,3,4,5,设Y=X-1,则Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,2.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为　　　　.?
(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ则该人两次投掷后得分ξ的数学期望是　　　　.?【解析】 将“竹圈套住小玩具的全部”,“竹圈只套在小玩具一部分上”,“小玩具全部在竹圈外”分别记为事件A,B,C,4.(2019·石家庄模拟)某厂有4台大型机器,在一个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为 .
(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维护的概率不少于90%?
(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修,就能使该厂产生5万元的利润,否则将不产生利润.若该厂现有2名工人,求该厂每月获利的分布列.解:(1)1台机器是否出现故障可看作1次试验,在1次试验中,机器出现故障设为事件A, ∴X的分布列为 设该厂有n名工人,则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n,即X=0,X=1,X=2,…,X=n,这n+1个互斥事件的和事件,则∴该厂至少需要3名工人,才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y万元,则Y的所有可能取值为18,13,8, 一、选择题
1.(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是(　　)
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A 【解析】 设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M,则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加了,所以A项不正确;新农村建设前其他收入为0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上,所以B项正确;新农村建设前,养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍,所以C项正确;新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%+28%=58%>50%,所以超过了经济收入的一半,所以D正确;故选A.2.(2018·全国卷Ⅱ文)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3D 【解析】 设2名男同学为A1,A2,3名女同学为B1,B2,B3,从以上5名同学中任选2人总共有A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3共10种可能,选中的2人都是女同学的情况共有B1B2,B1B3,B2B3共三种可能,则选中的2人都是女同学的概率为3.(2018·全国卷Ⅲ文)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(　　)
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7B 【解析】 设事件A为只用现金支付,事件B为只用非现金支付,
则P(A∪B)=P(A)+P(B)+P(AB)
因为P(A)=0.45,P(AB)=0.15
所以P(B)=0.4,故选B.4.(2019·全国卷Ⅰ文)某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是(　　)
A.8号学生 B.200号学生
C.616号学生 D.815号学生C?4.(2019·全国卷Ⅰ理)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)A 【解析】 由题知,每一爻有2种情况,一重卦的6爻有26种情况, 5.(2017·山东卷) 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为(　　)
A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7A 【解析】 由茎叶图知,甲组的中位数为65,当乙组的中位数也为65时,y=5, 所以甲组中的未知数为66×5-(56+65+62+74)=73,所以x=3.故选A. 6.(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)
A.x1,x2,…,xn的平均数
B.x1,x2,…,xn的标准差
C.x1,x2,…,xn的最大值
D.x1,x2,…,xn的中位数B 【解析】 根据标准差的概念,可知标准差是刻画一组数据波动与稳定程度的一个量,所以选B.7.(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是(　　)
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳A 【解析】 由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量是减少的,故A选项错误.8.(2019·全国卷Ⅱ文)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标概率为(　　)B 【解析】 设其中做过测试的3只兔子为a,b,c,剩余的2只为A,B,则从这5只中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}共10种.其中恰有2只做过测试的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种,8.(2019·全国卷Ⅱ理)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是(　　)
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差A 【解析】 设9位评委评分按从小到大排列为x1则①原始中位数为x5,去掉最低分x1,最高分x9后剩余x2中位数仍为x5,∴A正确.④原极差=x9-x1,后来极差=x8-x2,显然极差变小,D不正确. 二、填空题
9.(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取　　　　件.?10.(2019·全国卷Ⅱ文理)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　　.?18 0.98 【解析】 由题意得,经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中高铁个数为10+20+10=40,三、解答题
11.(2019·全国卷Ⅰ文)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?解:(1)由题中表格可知,50名男顾客对商场服务满意的有40人, 所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 11.(2019·全国卷Ⅱ理)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.12.(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 (1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图: (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解:(1)(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3). 13.(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 (2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4 +13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.14.(2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 解:(1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下:
(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高.学科%网
以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.15.(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.解:(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
(ii)由(Ⅰ),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.16.(2017·北京卷)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.
所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.