2020版高考艺考生文化课百日冲刺 第18讲　导数的概念与运算（课件:70张PPT）

课件70张PPT。第18讲　导数的概念与运算1.导数的概念与运算
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数(3)基本初等函数的导数公式 (4)导数运算法则
[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(5)复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
(6)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).特别地,如果曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线垂直于x轴,则此时导数f'(x0)不存在,由切线定义可知,切线方程为x=x0.2.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
(1)函数的单调性
在(a,b)内函数f(x)可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
f'(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数.
f'(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数.
(2)辨明导数与函数单调性的关系
(1)f'(x)>0(或<0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件;
(2)f'(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件.
【注意】　由函数f(x)在区间[a,b]内单调递增(或递减),可得f'(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立,而不是f'(x)>0(或<0)恒成立,“=”不能少.3.利用导数解决函数的极值问题
(1)函数的极小值
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近的其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)函数的极值
极小值点和极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.4.函数的最值与导数
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值,函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.题型一　导数的运算
【例1】　分别求下列函数的导数:
(1)y=ex·cos x【解析】 (1)y'=(ex)'·cos x+ex(cos x)'=ex·cos x-exsin x 【规律方法】 变式训练一
1.分别求下列函数的导数.题型二　导数的几何意义及应用
考法一　求切线方程
【例2-1】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A.y=-2x B.y=-x
C.y=2x D.y=x
(2)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为　　　　.?【解析】 (1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
(2)∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx上,∴设切点为(x0,y0).
又∵f'(x)=1+lnx,∴直线l的方程为y+1=(1+lnx0)x.解得x0=1,y0=0.
∴直线l的方程为y=x-1,
即x-y-1=0.
【答案】(1)D　(2)x-y-1=0考法二　求切点坐标
【例2-2】　设函数f(x)=x3+ax2.若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为(　　)
A.(0,0) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)【解析】 由f(x)=x3+ax2得f‘(x)=3x2+2ax,设y0=f(x0), 即P(1,-1)或P(-1,1).故选D.
【答案】D考法三　求参数的值
【例2-3】　(1)已知函数f(x)=(x2+ax-1)ex(其中e是自然对数的底数,a∈R),若f(x)在(0,f(0))处的切线与直线x+y-1=0垂直,则a=(　　)
A.1 B.-1
C.2 D.-2【解析】 (1)f'(x)=(x2+ax-1)'ex+(x2+ax-1)(ex)'
=(2x+a)ex+(x2+ax-1)ex
=[x2+(a+2)x+(a-1)]ex,
故f'(0)=[02+(a+2)×0+(a-1)]e0=a-1.
因为f(x)在(0,f(0))处的切线与直线x+y-1=0垂直,故f'(0)=1,即a-1=1,解得a=2.
(2)设切点的坐标为(x0,y0),【答案】(1)C　(2)B
【规律方法】导数几何意义的应用类型及求解思路
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f'(x0).(3)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.
(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.变式训练二 A.1 B.-1 C.7 D.-7 2.若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是　　　　.? C (e,e) 【解析】　由题意得y'=ln x+x· =1+ln x,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+ln m=2,解得m=e,所以n=eln e=e,即点P的坐标为(e,e).3.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则曲线g(x)在x=3处的切线方程为　　　　　　　　　　　　　.?y-3=0 又因为g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知f(3)=1, 题型三　利用导数研究函数的单调性
【例3-1】　已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围;
(3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.【解】 (1)因为f'(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,所以f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范围为(-∞,3].
(2)因为f(x)在区间(-1,1)上为减函数,所以f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2在(-1, 1)上恒成立.因为-1(3)因为f(x)=x3-ax-1,即x=1或x=ln 2;
令f'(x)>0,则x<0或x>ln 2,
令f'(x)<0,则0∴f(x)的递增区间是(-∞,0),(ln 2,+∞);
递减区间是(0,ln 2).【规律方法】
(1)(2) (3)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路
①由函数在区间[a,b]上单调递增(减)可知f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立列出不等式.②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题.③对等号单独检验,检验参数的取值能否使f'(x)在整个区间恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则参数可取这个值.
(4)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧
利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.
【注意】①f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f'(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.②注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的.变式训练三
1.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R),讨论函数f(x)的单调性.2.已知函数f(x)=x2+4x+aln x,若函数f(x)在(1,2)上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-6,+∞)
B.(-∞,-16)
C.(-∞,-16]∪[-6,+∞)
D.(-∞,-16)∪(-6,+∞)C ∵f(x)在(1,2)上是单调函数,∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在(1,2)上恒成立,即2x2+4x+a≥0或2x2+4x+a≤0在(1,2)上恒成立,即a≥-(2x2+4x)或a≤-(2x2+4x)在(1,2)上恒成立.
记g(x)=-(2x2+4x),1　　 　　.?(-3,-1)∪(1,3) 【解析】　因为f'(x)=3x2-12,由f'(x)>0,得函数的增区间是(-∞,-2)及(2,+∞),由f'(x)<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<-24.所以f(x)<3x-15的解集为(4,+∞).题型四　利用导数研究函数的极值与最值
考法一　根据导函数图象判断函数的极值
【例4-1】　设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【解析】 由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-22时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
【答案】D考法二　根据函数的解析式求极值
【例4-2】　已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 令f'(x)=0,得x=2,
于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln2-1,无极小值. 当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;综上所述,当a≤0时,函数在定义域上无极值点,
当a>0时,函数有一个极大值点.考法三　已知函数的极值求参数
【例4-3】　(1)(2019·成都模拟)若函数f(x)=(x2+ax+3)ex在(0,+∞)上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是(　　)(2)若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处取得极小值,则a=　　　　.? 【解析】 (1)f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+3)ex=[x2+(a+2)x+a+3]ex.
令g(x)=x2+(a+2)x+a+3,(2)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,
∴f'(x)=3x2-4ax+a2.
由f'(2)=12-8a+a2=0,解得a=2或a=6.
当a=2时,f'(x)=3x2-8x+4=(x-2)(3x-2),函数在x=2处取得极小值,符合题意;当a=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6),函数在x=2处取得极大值,不符合题意,∴a=2.
【答案】(1)C　(2)2考法四　利用导数求函数的最值
【例4-4】　(2019·郑州模拟)已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
【解】(1)由f(x)=(x-k)ex,得f'(x)=(x-k+1)ex,
令f'(x)=0,得x=k-1.
f(x)与f'(x)的变化情况如下:所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k,
当0由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=- .
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
综上可知,当k≤1时,f(x)min=-k;
当1当k≥2时,f(x)min=(1-k)e.【规律方法】
(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领.
①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
②验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
【注意】若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
(3)最值变式训练四
1.若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为(　　)D 【解析】　若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则f'(x)=3x2-4cx+1=0有根,故Δ=(-4c)2-12>0,2.已知函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则实数m=(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3B 【解析】f(x)=x(x2-2mx+m2)=x3-2mx2+m2x,所以f'(x)=3x2-4mx+m2=(x-m)(3x-m).由f'(1)=0可得m=1或m=3.若m=3,则f'(x)=3(x-1)(x-3),当13时,f'(x)>0,此时在x=1处取得极大值,不合题意,若m=1,则f'(x)=(x-1)(3x-1),3.已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.因为f(1)=1,f'(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x= 时, y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,
得f'(x)=3x2+2ax+b.
当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0,①可得4a+3b+4=0,②
由①②,解得a=2,b=-4.
由于切点的横坐标为1,所以f(1)=4.
所以1+a+b+c=4,得c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,
f'(x)=3x2+4x-4.当x变化时,f'(x),f(x)的取值及变化情况如下表所示: B 2.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)D 即k的取值范围为[1,+∞),故选D. f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m的值为(　　)
A.-1 B.-3
C.-4 D.-2D 【解析】 ∵f'(x)= ,∴直线l的斜率为k=f'(1)=1,
又f(1)=0,∴切线l的方程为y=x-1.
g'(x)=x+m,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),4.函数f(x)=3+xln x的单调递增区间是(　　) C 5.函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是(　　)
A.x=1 B.x=-1
C.x=1或-1或0 D.x=0C 【解析】 ∵f(x)=x4-2x2+3,
∴由f'(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,
得x=0或x=1或x=-1,
又当x<-1时f'(x)<0;当-10;
当01时,f'(x)>0,
∴x=0,1,-1都是f(x)的极值点.A.[-5,0) B.(-5,0)
C.[-3,0) D.(-3,0)C 【解析】 由题意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,7.若函数f(x)=x3-3ax在区间(-1,2)上仅有一个极值点,则实数a的取值范围为(　　)
A.(1,4] B.[2,4]
C.[1,4) D.[1,2]C 【解析】 因为f'(x)=3(x2-a),所以当a≤0时,f'(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,f(x)没有极值点,不符合题意;当a>0时,令f'(x)=0得x=± ,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表所示:解得1≤a<4.选C. 8.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是　　　　.? 2 【解析】 f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),
令f'(x)=0得x=0或x=2(舍),
当-10;
当0所以当x=0时,函数取得极大值即最大值,
所以f(x)的最大值为2.【解析】 函数f(x)为偶函数,因此f(-3)=f(3).
又f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,10.已知函数f(x)= x2-aln x+b(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0,求实数a,b的值;
(2)若x=1是函数f(x)的极值点,求实数a的值.(2)因为x=1是函数f(x)的极值点,
所以f'(1)=1-a=0,所以a=1.当0当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以x=1是f(x)的极值点,所以a=1符合题意.1.(2019·合肥模拟)已知f(x)=e-x-ex+x-sinx(其中e为自然对数的底数),则不等式f(x2-x) 又f'(x)=-e-x-ex+1-cosx,所以f'(x)<0恒成立,所以f(x)是R上的减函数,所以f(x2-x)即x2-x>x+3,所以x2-2x-3>0,所以x<-1或x>3.2.若函数f(x)=- x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.?[-2,1) 【解析】 由于f'(x)=-x2+1.
易知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上f'(x)<0,在[-1,1]上f'(x)>0.3.已知点P在曲线y= 上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围
是　　　　.?4.(2019·新乡模拟)已知函数f(x)=ex-x2+2ax.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)∵当a=1时,f'(x)=ex-2x+2,∴f'(1)=e,
又f(1)=e+1,
∴所求切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.(2)f'(x)=ex-2x+2a,
∵f(x)在R上单调递增,∴f'(x)≥0在R上恒成立,在(-∞,ln2)上,g'(x)>0;在(ln2,+∞)上,g'(x)<0,
∴g(x)在(-∞,ln2)上单调递增,在(ln2,+∞)上单调递减,
∴g(x)max=g(ln2)=ln2-1,∴a≥ln2-1,
∴实数a的取值范围为[ln2-1,+∞).一、单选题
1.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A.y=-2x B.y=-x
C.y=2x D.y=xD 【解析】 因为函数f(x)是奇函数,所以a-1=0,解得a=1,
所以f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,
所以f'(0)=1,f(0)=0.
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f'(0)x,
化简可得y=x,故选D.A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,0)D【解析】 函数f(x)的图象如下图所示, 所以满足f(x+1)A.-50 B.0 C.2 D.50C 【解析】 因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且f(1-x)=f(1+x),
所以f(1+x)=-f(x-1),∴f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),∴T=4.
因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2),
因为f(3)=-f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
∵f(2)=f(-2)=-f(2),∴f(2)=0,
从而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2,选C.4.(2018·全国卷Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图象大致为(　　) D 函数单调递增,故正确答案选D. D 6.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)D【解析】 函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).7.(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　　)
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1D 【解析】 ∵f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1.
当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1),得f(x)=-e-x+1.故选D.则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.clog24.1>2> 20.8,且函数f(x)在R上是增函数,
∴f(20.8)∴a=e-1.将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1,故选D.?C 二、填空题
11.(2018·天津卷文)已知函数f(x)=exln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为　　　　.?12.(2019·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　　　　　　　.? e 即f'(1)的值为e. 3x-y=0 【解析】 y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,
所以k=y/|x=0=3.
所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.13.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=　　　　.? 14.(2018·全国卷Ⅱ)曲线y=ln(2x-1)在点(1,0)处的切线方程为　　　　　　　　.?-7 【解析】 根据题意有f(3)=log2(9+a)=1,可得9+a=2,所以a=-7,故答案是-7. y=2x-2 则曲线在点(1,0)处的切线的斜率为k=f'(1)=2,
则所求切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.-2 故答案为:-2. 三、解答题
16.(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明:
(1)f(x)存在唯一的极值点;
(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.解:(1)由题意可得,f(x)的定义域为(0,+∞),
由f(x)=(x-1)lnx-x-1,故存在唯一的x0,使得f'(x0)=0;
又当x>x0时,f'(x0)>0,函数f(x)单调递增;当0因此,f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知,f(x0)0,
所以f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一实根,记作x=α.综上,f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.