A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
答案 B
解析 由于侧面积为4π，∴2πrh＝4π，且h＝2r，∴r＝＝1，∴V＝πr2h＝2π.
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设圆柱的底面半径为r，则其底面的周长为2πr，高为h＝2πr，且S侧＝4π2r2，S表＝4π2r2＋2πr2，∴＝＝.
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是( )
A．3π B．3π C．6π D．9π
答案 A
解析 根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.
4．已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B．3π
C. D．6π
答案 B
解析 由题图可知，此几何体为从底面半径为1，高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的后剩余的部分，所以V剩＝×π×12×4＝3π.
5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )
A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．5∶3
答案 C
解析 设圆锥的底面半径为r，则有l＝2πr，∴l＝3r，∴＝＝＝.
二、填空题
6．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
答案
解析 易知圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，
则2πr＝×2π×2，∴r＝1，∴圆锥的高h＝＝，则圆锥的体积V＝πr2h＝.
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
答案 38
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．
∴S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38.
8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小的底面半径为________．
答案 7
解析 设圆台较小的底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，所以圆台较大的底面半径为3r，母线长l＝3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积＝π(r＋3r)l＝84π，解得r＝7.
三、解答题
9. 如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体ABCD－A1B1C1D1，设矩形ABCD的面积为S，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V，AB＝x.
(1)将S表示为x的函数；
(2)求V的最大值．
解 (1)连接AC，∵矩形ABCD内接于⊙O，
∴AC是⊙O的直径．
∵AC＝2，AB＝x，∴BC＝，
∵S＝AB·BC＝x(0(2)∵长方体的高AA1＝1，
∴V＝S·AA1＝x＝
＝，
∵0当x2＝2，即x＝时，取得最大值，此时Vmax＝2.
B级：“四能”提升训练
1．若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )
A．6 cm B．6 cm
C．2 cm D．3 cm
答案 B
解析 水的体积V＝π×22×6＝24π(cm3)．设圆锥中水的底面半径为r，则水的高度为r，∴πr2·r＝24π，∴r3＝24.
∴(r)3＝216，∴r＝6，即圆锥中水面的高度为6 cm.
2．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
解 (1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，
则仓库的体积
V1＝Sh＝×π×2×4＝ m3.
如果按方案二，仓库的高变成8 m，
则仓库的体积
V2＝Sh＝×π×2×8＝96π m3.
(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m.
棱锥的母线长l＝＝4，
则仓库的表面积S1＝π×8×4＝32π m2.
如果按方案二，仓库的高变成8 m.
棱锥的母线长为l＝＝10，
则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π m2.
(3)∵V2>V1，S2∴方案二比方案一更经济．
课件18张PPT。课后课时精练 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
1．旋转体的表面积
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积几何体的体积
几何体
体积
圆柱
V圆柱＝πr2h(r为底面半径)
圆锥
V圆锥＝πr2h(r为底面半径)
圆台
V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径)
1．对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．
3．计算圆柱、圆锥、圆台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．( )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )
(3)圆台的高就是相应母线的长．( )
答案 (1)√ (2)× (3)×
2．做一做
(1)已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( )
A．6π B．8π C．9π D．10π
(2)若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为________．
(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．
答案 (1)A (2)2π (3)
题型一 旋转体的表面积
例1 如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．
[解] 该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．
令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，
则R＝2，r＝1，l＝4，h＝.
所以圆锥的表面积S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2π×1×＝2π.
所以所求几何体的表面积S＝S1＋S2＝12π＋2π＝(12＋2)π.
求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成多个基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．
圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A．81π B．100π C．168π D．169π
答案 C
解析 圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为
l＝ ＝
＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
题型二 旋转体的体积
例2 如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
[解析] 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为××π×12×＝.
[答案] B
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
(2)求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比．
解 设圆的半径为r，则两个圆锥的母线长为r.
由已知可得两个圆锥的底面半径分别为
＝r，＝r，
所以两圆锥的体积之比为
＝.
题型三 组合体的表面积与体积
例3 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
[解] 如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝a.
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a.
∴DO＝DD′＝a.
由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．
由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a.
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，
圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，
圆锥的底面积S4＝πa2.
∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2.
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．
V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3.
V锥＝S′h＝·π·a2·a＝πa3.
∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.
求组合体的表面积与体积的方法
(1)求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法．补法是指把不规则(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体．
(2)解答本题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢．
若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋)π，求这个旋转体的体积．
解 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体．过点C作CE⊥AB于点E，
设CD＝x，AB＝x，
则AD＝CE＝BE＝AB－CD＝，BC＝x.
S表＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·CE·BC＝π·＋2π··x＋π··x＝πx2.
根据题设，πx2＝(5＋)π，则x＝2.
所以旋转体的体积V＝π·AD2·CD＋·CE2·BE＝π×12×2＋×12×1＝.
1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D.∶2
答案 C
解析 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，∴S底∶S侧＝1∶.故选C.
2．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝_______.
答案
解析 ∵圆锥SO的高为4，体积为4π，∴4π＝πr2，
∴r＝.
3．把圆柱沿轴截面剖开，取其中一块为底座，并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具，直观图和正(主)视图如图所示，则该小玩具的体积为________．
答案 16π＋
解析 由主视图数据可知半圆柱的半径为2，母线长为8，四棱锥的底面是边长为4和8的矩形，高为4，所以体积V＝π×22×8＋×4×8×4＝16π＋.
4．一个圆台的侧面展开图如图所示，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积．
解 设圆台的上底半径为r，下底半径为R.由题图知母线l＝8,2πr＝×16,2πR＝×24，
所以r＝2，R＝3.
S侧＝π×(2＋3)×8＝40π，
所以S表＝π×22＋π×32＋40π＝53π，
h＝＝＝3，
所以V＝(4π＋＋9π)×3＝19π.
5．已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．
解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r，则r＝，AD＝，l＝ ＝＝3.
故几何体的表面积为
S＝πrl＋πr2＋2πr·AD
＝π××3＋π×()2＋2π××
＝3π＋3π＋6π
＝(3＋3＋6)π(cm2)．
几何体的体积为
V＝V圆柱－V圆锥＝π·r2·AD－πr2·AD＝π×3×－×π×3×＝2π(cm3)．
课件39张PPT。第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设球O的半径为r，则πr3＝23，解得r＝ .
2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A. B. C．8π D.
答案 C
解析 设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
3．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是( )
A．20π B．25π C．50π D．200π
答案 C
解析 因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)2＝32＋42＋52＝50，即4r2＝50，故它的外接球的表面积是S＝4πr2＝50π.
4．如图所示，扇形的中心角为，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，若△ABO旋转得到的几何体体积为V1，弓形AB旋转得到的几何体积为V2，则V1∶V2的值为( )
A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶4
答案 A
解析 △AOB绕AO旋转一周得到的几何体为圆锥，体积V1＝πR3，整个扇形绕AO旋转一周得到的几何体为半球，体积V＝πR3，于是V2＝V－V1＝πR3.
5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是( )
A．96 B．16 C．24 D．48
答案 D
解析 设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径R＝×a＝a，正三棱柱的高为a.又V球＝πR3＝×a3＝.∴a＝4.∴V柱＝×(4)2××4＝48.
二、填空题
6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.
答案 4
解析 设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4 cm.
7．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
答案 16π
解析 设球O的半径为R，圆M的半径为r，由题意得r＝，又球心到圆M的距离为，由勾股定理，得R2＝r2＋2，R＝2，则球的表面积为16π.
8．已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2，则该球的表面积为________．
答案 36π
解析 ∵两正四棱锥有公共底，且体积比为1∶2，
∴它们的高之比为1∶2，
设高分别为h,2h，球的半径为R，则h＋2h＝3h＝2R，
∴R＝h，
又∵底面边长为4，
∴R2＝2＝2＋(2)2，
解得h＝2，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.
三、解答题
9．如图，AB是半径为R的球的直径，C为球面上一点，且∠BAC＝30°，求图中阴影区域构成的几何体的全面积及其体积．
解 如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1，
由题意可得∠BCA＝90°.
又∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，AO1＝R，BO1＝.
∴S球＝4πR2，
S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧
＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2，
∴几何体的表面积为πR2.
又V球＝πR3，
V圆锥AO1＝AO1·πCO＝πR3，
V圆锥BO1＝BO1·πCO＝πR3，
∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝πR3－πR3＝πR3.
B级：“四能”提升训练
1．已知正三棱柱的体积为3 cm3，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为________ cm2.
答案 12π
解析 球O的表面积最小时，球O的半径R最小．设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的体积V＝a2b＝3，所以a2b＝12.底面正三角形所在截面圆的半径r＝a，则R2＝r2＋2＝＋＝×＋＝＋＝＋＋≥3＝3，当且仅当＝，即b＝2时，取等号．又因为02．在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥A－BCD，求此正三棱锥的体积．
解 ①如图甲所示的情形，显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H为△BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上．
∵HB＝HC＝HD＝××12＝12，
∴OH＝＝9，
∴正三棱锥A－BCD的高h＝9＋15＝24.
又S△BCD＝×(12)2＝108，
∴V三棱锥A－BCD＝×108×24＝864.
②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A－BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝108，
∴V三棱锥A－BCD＝×108×6＝216.
综上，此正三棱锥的体积为864或216.
课件22张PPT。课后课时精练 第2课时 球的表面积和体积
知识点 球的表面积和体积
1．球的表面积
如果球的半径为R，那么它的表面积S＝4πR2.
2．球的体积
如果球的半径为R，那么它的体积V＝πR3.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)决定球的大小的因素是球的半径．( )
(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )
(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝S.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√
2．做一做
(1)若球的过球心的圆面圆周长是c，则这个球的表面积是( )
A. B. C. D．2πc2
(2)表面积为4π的球的半径是________．
(3)直径为2的球的体积是________．
(4)已知一个球的体积为，则此球的表面积为________．
答案 (1)C (2)1 (3) (4)4π
题型一 球的表面积与体积
例1 (1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积；
(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(3)已知球的体积为，求它的表面积．
[解] (1)∵球的直径为6 cm，∴球的半径R＝3 cm.
∴球的表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)，
球的体积V球＝πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即R＝4.
∴V球＝πR3＝π×43＝.
(3)∵V球＝πR3＝，∴R3＝125，R＝5.
∴S球＝4πR2＝100π.
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
(1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________；
(2)已知球的大圆周长为16π cm，求这个球的表面积．
答案 (1) (2)见解析
解析 (1)设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得
∴
∴它们的体积和为πR3＋πr3＝.
(2)设球的半径为R cm，由题意可知2πR＝16π，解得R＝8，
则S球＝4πR2＝256π(cm2).
题型二 球的截面问题
例2 一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π B．4π C．4π D．6π
[解析] 利用截面圆的性质先求得球的半径长．
如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，
则OO′＝，O′M＝1，
∴OM＝ ＝，即球的半径为，
∴V＝π×()3＝4π.
[答案] B
球的截面的性质
(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．
(2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝.
(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A. cm3
B. cm3
C. cm3
D. cm3
(2)球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________．
答案 (1)A (2)6
解析 (1)如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，
∴R＝5，∴V球＝π×53＝π(cm3)．
(2)如图，由已知条件知球的半径R＝10，截面圆的半径r＝8，
∴球心到截面的距离h＝＝6.
题型三 球的组合体问题
例3 设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
[解析] 作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝a，则球的半径R＝＝a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.
[答案] B
[条件探究] 将本例中长方体改为棱长为a的正四面体，则球的表面积如何求？
解 如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的中心，连接BE.
∵棱长为a，∴BE＝a×＝a.
∴在Rt△ABE中，AE＝＝a.
设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝a，
∴S球＝4π×2＝πa2.
1.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝，如图(2)．
3．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：2R＝a.
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2
答案 B
解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是×π×13＝.
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A. B．16π C．9π D.
答案 A
解析 如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOE中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，∴该球的表面积为4πr2＝4π×2＝.
3．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )
A．1倍 B．2倍 C.倍 D.倍
答案 C
解析 设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r,3r，其表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2，故最大球是其余两个球的表面积之和的＝倍．
4．一个距离球心为的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为________．
答案
解析 设所得的圆面的半径为r，球的半径为R，
则由π＝πr2，得r＝1，
又r2＋()2＝R2，∴R＝2.
∴V＝πR3＝.
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为r，则容器内水的体积为
V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，
而将球取出后，设容器内水的深度为h，
则水面圆的半径为h，
从而容器内水的体积是V′＝π·2·h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r.即容器中水的深度为r.
课件36张PPT。第2课时 球的表面积和体积
