A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )
A．相交
B．平行
C．异面而且垂直
D．异面但不垂直
答案 D
解析 将展开图还原为正方体，如图所示．故选D.
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
答案 C
解析 连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选C.
3．给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 B
解析 对于①，这两个角也可能互补，故①错误；②显然正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．
4．如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为梯形
答案 D
解析 由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确．由三角形的中位线定理，知MQ綊BD，NP綊BD，所以MQ綊NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确，选D.
5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是( )
A．EF与GH平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
答案 D
解析 连接EH，FG.因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，所以GF∥BD，且GF＝BD.因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH∥BD，且EH＝BD，所以EH∥GF，且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M在直线AC上．故选D.
二、填空题
6．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
其中正确的是________(填序号)．
答案 ①
解析 由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a?平面α，b?平面β时，a与b可能平行、相交或异面，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．故正确说法的序号为①.
7．如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB平行的棱有________条，分别是________．
答案 3 CD，A1B1，C1D1
解析 因为四棱台中两底面都是正方形，侧面ABB1A1是等腰梯形，所以AB∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1.所以AB∥C1D1.故与棱AB平行的棱有CD，A1B1，C1D1，共3条．
8．P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，AC＝a，则DE的长为________．
答案 a
解析 如图，∵D，E分别为△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE，并延长分别交AB，BC于M，N点，则M，N分别为AB，BC的中点，
∴DE綊MN，MN綊AC，
∴DE綊AC，∴DE＝a.
三、解答题
9．如图所示，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，如图．
∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1.
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E綊C1Q.
又Q，F分别是DD1，C1C的中点，∴QD綊C1F.
∴四边形C1QDF为平行四边形．
∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
B级：“四能”提升训练
如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；
(3)若AC⊥BD，请问四边形EFGH是什么图形？
解 (1)证明：在△ABD中，
∵E，H分别为AB，AD的中点，
∴EH∥BD，且EH＝BD.
同理，在△BCD中，FG∥BD，且FG＝BD.
∴EH∥FG，且EH＝FG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)证明：∵AC＝BD，
由(1)知EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE.∴四边形EFGH是菱形．
(3)∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，
由(1)知四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形.
课件21张PPT。课后课时精练
8.5.1 直线与直线平行
知识点一 基本事实4(平行定理)
(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．
(2)符号语言：a∥b，b∥c?a∥c.
知识点二 等角定理
(1)文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
(2)符号语言：对于∠ABC和∠A′B′C′，AB∥A′B′，BC∥B′C′?∠ABC＝∠A′B′C′或∠ABC＋∠A′B′C′＝180°.
1．求证两条直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分利用好平面几何知识；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．
2．等角定理是立体几何的基本定理之一．对于空间两个不相同的角，如果它们的两组对应边分别平行，则这两个角相等或互补．当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当两组对应边一组同向一组反向时，两角互补．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于空间的三条直线a，b，c，如果a∥b，a与c不平行，那么b与c不平行．( )
(2)如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等．( )
(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )
(4)对于空间直线a，b，c，d，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．做一做
(1)已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
(2)如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°.求证：GH∥MN.
答案 (1)B
(2)证明：如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上．
因为M，N分别为△PAB，△PAC的重心，
所以＝＝，则MN∥BC.
又G，H分别为PB，PC的中点，
所以GH∥BC，
所以GH∥MN.
题型 基本事实4及等角定理的应用
例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)∠BMC＝∠B1M1C1.
[证明] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，
∴四边形AMM1A1是平行四边形，
∴A1A綊M1M.
又A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，
∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
证明两条直线平行及角相等的方法
(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
(2)由基本事实4可以想到，平面几何中的有些结论推广到空间仍然是成立的，但有些平面几何的结论推广到空间是错误的．因此，要把平面几何中的结论推广到空间，必须先经过证明．
(3)空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.
证明 如图，取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形.
∴CM∥BK.
又A1K∥BQ且A1K＝BQ，
∴四边形A1KBQ为平行四边形．
∴A1Q∥BK，由基本事实4有A1Q∥CM.
同理可证A1P∥CN，由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反．
∴∠PA1Q＝∠MCN.
1．已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α＝80°，则β＝( )
A．80° B．100°
C．80°或100° D．不能确定
答案 C
解析 由等角定理可知，α＝β或α＋β＝180°，∴β＝100°或β＝80°.
2．已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝.则四边形EFGH的形状是( )
A．空间四边形
B．平行四边形
C．矩形
D．梯形
答案 D
解析 在△ABD中可得EH∥BD, EH＝BD，在△CBD中可得FG∥BD，FG＝BD，所以EH，FG平行且不相等，所以四边形EFGH是梯形．
3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
答案 D
解析 在如图所示的正六面体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1，这三组直线垂直、平行、异面，故选D.
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面 D．平行
答案 D
解析 连接D1E并延长，与AD交于点M，则△MDE∽△D1A1E，因为A1E＝2ED，所以M为AD的中点．
连接BF并延长，交AD于点N，
同理可得，N为AD的中点．
所以M，N重合，又＝，＝，
所以＝，所以EF∥BD1.
5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与棱AA1平行的棱共有几条？分别是什么？
解 与AA1平行的棱共有两条，分别是BB1，CC1.
课件27张PPT。8.5.1 直线与直线平行
