A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列几何体中，柱体有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 D
解析 根据棱柱的定义知，这4个几何体都是棱柱．
2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
答案 D
解析 图A缺少一个面；图B有五个侧面而两底面是四边形，多了一个侧面；图C也是多一个侧面，故选D.
3．具有下列哪个条件的多面体是棱台( )
A．两底面是相似多边形的多面体
B．侧面是梯形的多面体
C．两底面平行的多面体
D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
答案 D
解析 棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要是棱台应具备两个条件：一是上、下底面平行，二是各侧棱延长后必须交于一点，选项C只具备一个条件，选项A，B则两条件都不具备．
4．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )
答案 A
解析 两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误．故选A.也可通过实物制作检验来判定．
5．下列三种叙述，其中正确的有( )
①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；
②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 A
解析 ①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点；②不正确，因为侧棱延长后不交于一点；③不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点．
二、填空题
6．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱．
答案 ①③
解析 ①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．
7.如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．
答案 三棱锥(或四面体)
解析 此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．
8．长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．
答案 3
解析 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如图(1)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝＝，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是；
如图(2)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝＝3，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3；
如图(3)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，
则有AC1＝＝2，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.
由于3<2<，
所以由A到C1在长方体表面上的最短距离为3.
三、解答题
9．如图所示，在底面为正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M.求：
(1)此三棱柱侧面展开图的对角线长；
(2)从点B经过点M到点C1的最短路线长及此时的值．
解 沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)．
(1)矩形BB1B1′B′的长BB′＝6，宽BB1＝2，
所以三棱柱侧面展开图的对角线长为
＝2.
(2)由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过点M到达点C1的路线最短，
所以最短路线长为BC1＝＝2.
显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M，所以A1M＝AM，即＝1.
所以从点B经过点M到点C1的最短路线长为2，此时＝1.
B级：“四能”提升训练
1．下列说法正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的多面体是棱柱
C．棱锥的侧面可以是四边形
D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
答案 B
解析 A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．
2.在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？
解 (1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对；水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．故此时(1)对，(2)不对．
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第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念
1．空间几何体的定义
2．空间几何体的分类及相关概念
知识点二 棱柱的结构特征
1．棱柱的定义、图形及相关概念
2．棱柱的分类及特殊棱柱
(1)按底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．
(3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．
(4)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．
(5)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．
知识点三 棱锥的结构特征
1．棱锥的定义、图形及相关概念
2.棱锥的分类及特殊的棱锥
(1)按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
(2)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥．
知识点四 棱台的结构特征
1．棱台的定义、图形及相关概念
2．棱台的分类
(1)依据：由几棱锥截得．
(2)举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
1．几类特殊的四棱柱
四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正四棱柱、正方体等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下．
2．棱柱、棱锥、棱台之间的关系
棱柱、棱锥、棱台之间有着内在的联系：将棱台的上底面慢慢扩大到与下底面相同时，转化为棱柱；将棱台的上底面慢慢缩小为一点时，转化为棱锥．如图所示．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．( )
(2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．( )
(3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．做一做
(1)有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．以上都错
(2)面数最少的多面体的面的个数是________．
(3)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个．
(4)四棱台有________个顶点，________个面，________条边．
答案 (1)B (2)4 (3)4 (4)8 6 12
题型一 对棱柱、棱锥、棱台概念的理解
例1 下列命题中，真命题有________．
①棱柱的侧面都是平行四边形；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；
⑤多面体至少有4个面．
[解析] 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①正确．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②正确．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错误，④正确．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.
[答案] ①②④⑤
关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法
(1)根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示进行准确判断．
(2)解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．
下列关于棱锥、棱柱、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥；
④棱柱的侧棱与底面一定垂直．
其中正确说法的序号是________．
答案 ①②
解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥；④错误，棱柱的侧棱与底面不一定垂直.
题型二 对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断
例2 如图长方体ABCD－A1B1C1D1，
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？
[解] (1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．
(2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABFA1－DCED1.
[条件探究] 若本例(2)中将平面BCEF改为平面ABC1D1，则分成的两部分各是什么体？
解 截后的两部分分别为棱柱ADD1－BCC1和棱柱AA1D1－BB1C1.
棱柱判断的方法
判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，再判断其余面——侧面是否为四边形及侧棱是否平行．
判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？
解 根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.
题型三 空间几何体的展开图问题
例3 如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．
空间几何体的展开图
(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．
根据如下图所给的平面图形，画出立体图．
解 将各平面图折起来的空间图形如下图所示．
1．下列说法中，正确的是( )
A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
答案 D
解析 A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点．故选D.
2．下列三种叙述，正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 A
解析 本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.
3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是( )
答案 C
解析 本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.
4．①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
以上说法正确的序号有________．
答案 ①③
解析 由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．
5．已知M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到M的最短路程是多少？
解 若以BC或DC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离为 cm，若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为1 cm，4 cm.故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从A到M的最短路程是 cm.
课件43张PPT。第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列几何体是简单组合体的是( )
答案 D
解析 A项中的几何体是圆锥，B项中的几何体是圆柱，C项中的几何体是球，D项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．
2．给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 本题的判断依据是圆柱的定义及结构特征．①中圆柱的底面是圆面，而不是圆，故①错误；②和④中，圆柱有无数条母线，它们平行且相等，并且母线都与底面垂直，②④正确；③中连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，故③错误．故选B.
3．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
答案 B
解析 圆面旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.
4．若用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为( )
A．8 B. C. D.
答案 B
解析 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积也为.
5．两平行平面截半径为5的球，若截面的面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是( )
A．1 B．7 C．3或4 D．1或7
答案 D
解析 如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝－＝1.如图(2)所示，若两个平行平面在球心两侧，则CD＝＋＝7.故选D.
二、填空题
6．已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________．
答案 cm
解析 过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示．
设正方体棱长为x cm，
则CC1＝x cm，C1D1＝x cm，
作SO⊥EF于O，则SO＝ cm，OE＝1 cm，
∵△ECC1∽△ESO，∴＝，
即＝，∴x＝，即内接正方体棱长为 cm.
7．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为________．
答案 3∶4
解析 令球的半径为2r，则截面的半径为r，截面的面积为3πr2，大圆的面积为4πr2，所以它们的面积之比为3∶4.
8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形有________．
答案 ①②③
解析 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.
三、解答题
9.如图所示，已知圆锥的母线长为6 cm，底面直径为3 cm，在母线OA上有一点B，AB＝2 cm，求由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离．
解 设侧面展开的扇形圆心角为n.
由题意知底面周长为3π cm，
则＝3π，解得n＝90°.
如图，在展开扇形中，
∠AOB′＝90°，OB′＝4 cm.
在Rt△AOB′中，
AB′＝＝＝2 cm.
故由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离为2 cm.
B级：“四能”提升训练
1．由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形如图所示，若将它绕轴旋转180°后形成一个组合体，则下面说法不正确的是( )
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于旋转轴对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
答案 A
解析 等腰梯形旋转形成的是圆台，矩形旋转形成的是圆柱，半圆旋转形成的是半球，圆旋转形成的是球，倒三角形旋转形成的是圆锥．
2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面的半径．
解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面的半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，
所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.
又S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.
所以圆台的高OO1＝14(cm)，母线长l＝OO1＝14(cm)，
两底面的半径分别为7 cm,21 cm.
课件24张PPT。课后课时精练 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征
知识点一 圆柱、圆锥和圆台的结构特征
1．圆柱的定义、图形及表示
2．圆锥的定义、图形及表示
3．圆台的定义、图形及表示
知识点二 球的结构特征
知识点三 简单组合体
1．概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥体、台体和球等几何结构特征的物体组成的．
2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体．
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
3．处理组合体问题常采用分割思想．
4．空间几何体的轴截面
(1)圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一条边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，经过旋转而成的曲面所围成的几何体．
(2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题时，一般要画出轴截面．
(3)画出轴截面图形，将立体几何的空间问题转化为平面问题来计算，这种把有关立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想方法是我们解决立体几何问题的重要思想方法．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到定点的距离等于定长的点的集合是球．( )
(2)用平面去截圆锥、圆柱和圆台，得到的截面都是圆．( )
(3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．做一做
(1)圆锥的母线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
(2)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．
(3)图②的组合体是由________和________构成．
(4)图③中的几何体有________个面．
答案 (1)D (2)球 球心 半径 直径 (3)圆柱 圆锥 (4)3
题型一 旋转体的概念
例1 下列命题：
(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
(4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断．
(1)以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故4个均不正确．
[答案] A
[条件探究] 若本例中(2)改为“以直角梯形的各边为轴旋转”，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？
解 ①以垂直于底边的腰为轴旋转得到圆台；②以较长的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；③以较短的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；④以斜腰为轴旋转得到的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥．
平面图形旋转形成的几何体的结构特征
圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．
判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．
一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？
解 如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．
题型二 简单组合体的结构特征
例2 描述下图几何体的结构特征．
[解] 图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的组合体．
图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的组合体．
图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的组合体．
图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体．
简单组合体的两种构成方法
(1)简单组合体的构成一般有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
(2)识别或运用几何体的结构特征，要从几何体的概念入手，掌握画图或识图的方法，并善于运用身边的特殊几何体进行判断、比较、分析．
观察下列几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的．
解 图(1)是由一个圆柱中挖去一个圆台形成的．图(2)是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的.
题型三 旋转体的计算问题
例3 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[解] (1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，又腰长AB＝12 cm，所以圆台的高为AM＝＝3(cm)．
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO可得＝，
所以l＝20(cm)．
故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
旋转体中的计算问题及截面性质
(1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，以平面图形的计算解决立体问题．
(2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2.
(3)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．
圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．
解 将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，
令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
设上底面的面积为S1，半径为r1，
则S1＝πr＝1，
下底面的面积为S2，半径为r2，则S2＝πr＝49，
截面的面积为S＝＝25，
半径为r3，则S＝πr.
由三角形相似得所以
即h1∶h2＝2∶1.
题型四 圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用
例4 如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？
[解] 将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．
求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．
国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为2米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？
解 把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示．这样把空间问题转化为平面问题，易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为2米，得底面半径为1米，所以扇形的圆心角为120°，
所以MM1＝3米，即彩绸最短要3米.
1．下列几何体中不是旋转体的是( )
答案 D
解析 正方体不可能是旋转体．
2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )
A．球体
B．圆柱
C．圆台
D．两个共底面的圆锥的组合体
答案 D
解析 过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一条直角边为轴旋转得到的几何体是圆锥．故选D.
3．下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①和⑤ B．① C．③和④ D．①和④
答案 D
解析 根据旋转体的概念知①④正确．
4．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
解 分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．
图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
5．圆台的两底面圆的半径分别为2 cm,5 cm，母线长是3 cm，求其轴截面的面积．
解 如图，在轴截面内过点A作AB⊥O1A1，垂足为B.
由已知OA＝2，O1A1＝5，AA1＝3，
∴A1B＝3.
∴AB＝ ＝＝9.
∴S轴截面＝(2OA＋2O1A1)·AB＝×(4＋10)×9＝63(cm2)．
故圆台轴截面的面积为63 cm2.
课件45张PPT。第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征
