A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为( )
A．6 B. C．2 D．2
答案 B
解析 由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.
2．将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2 C．18a2 D．24a2
答案 B
解析 棱长为a的正方体的表面积为S1＝6a2，由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2＝27×＝18a2，因此表面积增加了12a2，故选B.
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A．1∶1 B．1∶
C．1∶ D．1∶2
答案 C
解析 如图，三棱锥D1－AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线．设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥 ＝4××(a)2×＝2a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶.
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C．200 D．240
答案 C
解析 由三视图可作出如图所示几何体，该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为1，下底长为9，高为4，故底面积S＝＝20.又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.
5.如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，则此正三棱锥的表面积为( )
A．9 B．18
C．27 D．36
答案 C
解析 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴·3a·h′＝a2×2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
二、填空题
6．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
答案 8
解析 如图(1)为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图(2)所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.
7．如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2(几何体BFECC′B′的体积)的两部分，那么V1∶V2＝________.
答案 7∶5
解析 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，
则V＝V1＋V2＝Sh.
因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝S，
所以V1＝h＝Sh，
V2＝V－V1＝Sh.
所以V1∶V2＝7∶5.
8．已知正三棱锥的侧面积是27 cm2，底面边长是6 cm，则它的高是________．
答案 cm
解析 如图所示，正三棱锥P－ABC的底面边长为6 cm，
过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，取AB的中点D，连接PD，OD.
由题意得3××AB×PD＝27，
所以PD＝3 cm.
又OD＝×6＝ cm，
所以它的高PO＝＝＝ cm.
三、解答题
9．甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积)．
(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；
(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．
解 (1)将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱．
将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥．
(2)因为正四棱柱的底面边长为2a，高为a，
所以其体积V柱＝(2a)2·a＝4a3.
又因为正四棱锥的底面边长为2a，高为h＝＝2a，
所以其体积V锥＝(2a)2·2a＝a3.
因为42－2＝16－＝>0，即4>，
所以4a3>a3，所以V柱>V锥，
故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大．
B级：“四能”提升训练
1．已知长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则长方体的体对角线的长是________．
答案 2
解析 设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
则有?
则长方体的体对角线的长为
＝
＝＝2.
2．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
解 如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，
记为h0，所以
S侧＝3××(20＋30)h0＝75h0.
上、下底面面积之和为
S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325，所以h0＝(cm)．
又O′D′＝××20＝(cm)，
OD＝××30＝5(cm)，
记棱台的高为h，则
h＝O′O＝
＝ ＝4(cm)，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积
V＝(S上＋S下＋)＝×＝1900(cm3)．
课件26张PPT。课后课时精练
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体的体积
1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．
2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．( )
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( )
(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
2．做一做
(1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( )
A.a2 B.a2
C.a2 .a2
(2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是________．
(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为________．
答案 (1)A (2)60,94 (3)28
题型一 多面体的表面积
例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．
[解] 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝2＋2＝
＝＝64，∴AB＝8.
∴该直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
求多面体的表面积
(1)对于简单几何体，我们可利用公式，直接求出其表面积，而在求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割(或补全)成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积．
(2)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用．
正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，高为a，则正三棱台的侧面积为( )
A．a2 B.a2
C.a2 D.a2
答案 D
解析 如图，O1，O分别为上，下底面的中心，D，D1分别为AC，A1C1的中点，在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝×a＝a，
∴DE＝OD－O1D1＝a.在Rt△DED1中，D1E＝，
则D1D＝＝＝a，
所以S棱台侧＝3×(a＋2a)×a＝a2.
题型二 多面体的体积
例2 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
[解] 解法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，
则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc，
又S△A′DD′＝bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a.
所以V三棱锥C－A′DD′＝S△A′D′D·CD＝abc.
则剩余部分的体积V剩＝abc－abc＝abc.
故V棱锥C－A′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5.
解法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.
而棱锥C－A′DD′的底面面积为S，高为h，
因此，棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝×Sh＝Sh.
剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh.
所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为
Sh∶Sh＝1∶5.
求多面体体积的常用方法
正六棱锥(底面为正六边形，顶点在底面的正投影为底面的中心)P－ABCDEF中，G为PB的中点．则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为( )
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2
答案 C
解析 ∵G为PB的中点，∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC.又多边形ABCDEF是正六边形，∴S△ABC＝S△ACD.∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC.∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.
题型三 组合体的表面积与体积
例3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．54 B．60 C．66 D．72
[解析] 根据几何体的三视图，可得该几何体的直观图为如图所示的几何体ABC－DEF，
故其表面积为S＝S△DEF＋S△ABC＋S梯形ABED＋S梯形CBEF＋S矩形ACFD＝×3×5＋×3×4＋×(5＋2)×4＋×(5＋2)×5＋3×5＝60.
[答案] B
求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图所示，平面ABCD把该多面体分割成两个体积相等的四棱锥．
以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥组合而成，该棱锥的高是正方体棱长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则该凸多面体的体积为V＝2×××＝.
1．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是( )
A．2 B．4
C．4 D．6
答案 B
解析 S表＝4××22＝4.故选B.
2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1，长方体的高为＝2，故这个棱柱的侧面积为1×2×4＝8.
3．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．如图所示，在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，作出三棱锥O－ABC的高OD，连接DC，则S△ABC＝×1×＝，OD＝＝＝，所以VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝.
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．
答案
解析 由题意，知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱的底面为等腰直角三角形，面积为8，高为8－4＝4，故V直三棱柱＝8×4＝32，四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥＝
×16×4＝，故该几何体的体积V＝V直三棱柱＋V四棱锥＝32＋＝.
5．已知三棱台ABC－A1B1C1上底面的面积为a2，下底面的面积为b2(a>0，b>0)，作截面AB1C1，设三棱锥B－AB1C1的高等于三棱台的高，求三角形AB1C1的面积．
解 将三棱台分割成三棱锥A－A1B1C1，B－AB1C1及C1－ABC，
设三棱台的高为h，
则这三个三棱锥的高都是h.
由于VABC－A1B1C1＝VA－A1B1C1＋VB－AB1C1＋VC1－ABC，
即(a2＋ab＋b2)h＝a2h＋S△AB1C1·h＋b2h，得S△AB1C1＝ab，故三角形AB1C1的面积为ab.
课件37张PPT。8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
