24.4.3 切线长定理(基础达标+巩固提升+答案)

沪科版数学九年级下册同步课时训练
第24章 圆
24.4　直线与圆的位置关系
第3课时　切线长定理
要点测评 基础达标
要点1　切线长和切线长定理
1. 如图，☉O的半径是3，点P到圆心O的距离是6，PA，PB分别和☉O相切于点A，B，则切线长PA=　 　，∠APB的度数是　 　 .?
2. 如图，P是☉O外的一点，PA，PB分别与☉O相切于点A，B，C是弧AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA，PB于点D，E.若PA=4，求△PED的周长.

要点2　切线长定理的应用
3. 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3 cm，则此光盘的直径是　 　.?
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的☉O交AB于点E，DE为☉O的切线.
求证：D为BC的中点.

课后集训 巩固提升
5. 一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心.如果OP为50 cm，∠MPN=60°，则钢管的半径为(　 　)
A. 25 cm B. 25 cm C. cm D. 50 cm
6. 如图所示，已知直角梯形ABCD，以腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E，若圆的半径为2，梯形的腰AB为5，则梯形ABCD的周长是(　 　)
A. 9 B. 10 C. 12 D. 14
7. 如图所示，PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，连接OP交AB于点C，连接OA，OB，则图中直角三角形和等腰三角形的个数分别为(　 　)
A. 1，2 B. 2，2 C. 6，2 D. 6，1
8. 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积为( 　)
A. 12 cm2 B. 24 cm2 C. 8 cm2 D. 6 cm2
9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的☉O交AB于点D，过点D作☉O的切线，与边BC交于点E，若AD=，AC=3，则DE长为(　 　)
A. B. 2 C. D.
10. 如图，PA，PB切☉O于A，B两点，CD切☉O于点E，交PA，PB于C，D.若☉O的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是(　 　)
A. B. 3 C. 2 D. 3
11. 如图，四边形ABCD的四条边分别与☉O相切，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为　 　.?
12. 如图，EB，EC是☉O的两条切线，B，C是切点，A，D是☉O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是　 　.?
13. 如图，AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO=6，CO=8.
(1)判断△OBC的形状，并证明你的结论；
(2)求BC的长；
(3)求☉O的半径OF的长.

14. 如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B，OP交AB于点C，OP=13，sin∠APC=.
(1)求☉O的半径；
(2)求弦AB的长.

15. 如图所示，AB是☉O的直径，延长AB到C，使BC=OB，过点C作☉O的切线CE，E为切点.
(1)求∠C的度数；
(2)过B点作☉O的切线交CE于F，交AE的延长线于D，请你判断△DEF的形状.

参 考 答 案
1. 3　60°　【解析】连接OA，因为PA，PB是☉O的切线，所以OA⊥PA，∠APO=∠BPO，在Rt△AOP中，OA=3，OP=6，所以∠APO=30°，PA===3，所以∠APB=2∠APO=60°.
2. 解：因为PA，PB分别与☉O相切于点A，B，所以PA=PB=4，因为过点C的切线分别交PA，PB于点D，E，所以DC=DA，EC=EB，所以△PED的周长为PD＋DE＋PE=PD＋DC＋CE＋PE=PD＋DA＋EB＋PE=PA＋PB=4＋4=8.
3. 6 cm　【解析】因为∠CAD=60°，所以∠CAB=120°，因为AB和AC与☉O相切，所以∠OAB=∠OAC，所以∠OAB=∠CAB=60°，因为AB=3 cm，所以OA=6 cm，所以由勾股定理得OB=3 cm，所以光盘的直径为6 cm.
4. 证明：连接EC.因为DC⊥AC，所以DC为☉O的切线.又因为DE为☉O的切线，所以DE=DC.所以∠DEC=∠DCE.因为AC为直径，所以∠CEA=90°，所以∠BED＋∠DEC=90°.因为∠B＋∠DCE=90°，所以∠B=∠BED，所以DB=DE.因为DE=DC，所以DB=DC，即D为BC的中点.
5. A　【解析】因为∠MPN=60°，所以∠OPM=30°.因为OP=50 cm，所以OM=25 cm.
6. D　【解析】因为AD，AB，BC是☉O的切线，所以EA=AD，BE=BC，所以AB＋BC＋CD＋DA=AB＋BE＋AE＋DC=2AB＋DC=2×5＋4=14.故选D.
7. C　【解析】因为PA，PB是☉O的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，所以△PAB是等腰三角形，△PAO和△PBO是直角三角形，因为OA=OB，所以△AOB是等腰三角形，又因为∠APO=∠BPO，所以PO⊥AB，所以△AOC，△BOC，△APC，△BPC都是直角三角形.故选C.
8. D　【解析】设EC=x cm，则DE=(4－x) cm，由切线长定理得AF=AB=4 cm，EF=EC=x cm，所以在Rt△ADE中，(4＋x)2=42＋(4－x)2，解得x=1，所以DE=3 cm，所以S△ADE=×4×3=6(cm2).故选D.
9. B　【解析】连接OD，CD.因为AC为☉O的直径，所以∠ADC=90°，因为AD=，AC=3，所以CD=，因为OD=OC，所以∠OCD=∠ODC，因为DE是切线，所以∠CDE＋∠ODC=90°.因为∠OCD＋∠DCB=90°，所以∠BCD=∠CDE，所以DE=CE，由已知可得△ADC∽△ACB，所以=，所以BC==4，因为∠CDE＋∠BDE=90°，∠DCB＋∠B=90°，所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，所以BE=CE=DE.所以DE=BC=×4=2.故选B.
10. A　【解析】因为PA，PB切☉O于A，B两点，CD切☉O于点E，所以PA=PB，AC=EC，DE=DB，因为△PCD的周长等于2，所以PA＋PB=2，所以PA=PB=，连接PO，AO.因为☉O的半径为1，所以∠APO=30°，所以∠APB=60°，所以△APB是等边三角形，所以AB=PA=PB=，故选A.
11. 52　【解析】由切线长定理易证AB＋CD=AD＋BC，所以AB＋BC＋CD＋AD=52.
12. 99°　【解析】因为EB，EC是☉O的切线，所以EB=EC，因为∠E=46°，所以∠ECB=∠EBC=67°，所以∠BCD=180°－(∠BCE＋∠DCF)=81°；因为四边形ADCB内接于☉O，所以∠A＋∠BCD=180°，所以∠A=180°－81°=99°.
13. 解：(1)△OBC是直角三角形. 证明：因为AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，所以∠OBE=∠OBF=∠EBF，∠OCG=∠OCF=∠GCF，因为AB∥CD，所以∠EBF＋∠GCF=180°，所以∠OBF＋∠OCF=90°，所以∠BOC=90°，所以△OBC是直角三角形.
(2)因为在Rt△BOC中，BO=6，CO=8，所以BC==10.
(3)因为AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，所以OF⊥BC，所以OF===4.8.
14. 解：(1)因为PA是☉O的切线，所以∠OAP=90°.因为sin∠APO==，OP=13，所以OA=5，即所求半径为5.
(2)在Rt△OAP中，AP===12.因为PA，PB是☉O的两条切线，所以PA=PB，∠APO=∠BPO，所以AC=BC=AB，PC⊥AB.在Rt△CAP中，sin∠APC==，所以AC=，所以AB=2AC=.
15. 解：(1)连接OE.因为BC=OB，所以OC=2OB=2OE.因为CE切☉O于点E，所以∠OEC=90°，所以∠C=30°.
(2)连接BE.因为FE，FB是☉O的切线，所以∠OEC=90°，∠ABF=90°，EF=FB，所以∠FEB=∠FBE.
因为∠C=30°，所以∠2=60°，所以∠3=60°，∠A=30°，所以∠FEB=30°，因为AB是直径，所以∠AEB=90°，∠DEB=90°，因为∠FEB=30°，所以∠1=60°.所以∠1＋∠FEB=∠D＋∠FBE=90°，所以∠D=∠1=60°，所以△DEF是等边三角形.