24.5 三角形的内切圆(基础达标+巩固提升+答案)

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沪科版数学九年级下册同步课时训练
第24章
圆
24.5　三角形的内切圆
要点测评
基础达标
要点1　三角形的内切圆和内心
1.
如图，☉O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(
　)
A.
三条边的垂直平分线的交点
B.
三条角平分线的交点
C.
三条中线的交点
D.
三条高的交点
2.
如图，☉O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=　
　
.
要点2　三角形内心的性质的应用
3.
已知△ABC(如图所示).
(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明)；
(2)在题(1)所作的图中，若∠BAC=46°，求∠BIC的度数.
4.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.如图，☉O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E，F，G.
(1)求证：内切圆的半径r=1；
(2)求tan∠OAG的值.
课后集训
巩固提升
5.
下列命题正确的是(　
　)
A.
三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B.
三角形的内心一定在三角形的内部
C.
三角形的内心和外心重合
D.
一个圆只有一个外切三角形
6.
已知O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC等于(　
　)
A.
100°
B.
115°
C.
130°
D.
125°
7.
如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(　
　)
A.
EF>AE＋BF
B.
EFC.
EF=AE＋BF
D.
EF≤AE＋BF
8.
如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为　
　.
9.
如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是(2，0)，点C的坐标是(0，－2)，点A的坐标是(－3，b)，反比例函数y=(x<0)的图象经过点A，则k=　
　.
10.
如图，Rt△ABC的内切圆☉O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作☉O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若AB=6
cm，BC=8
cm，则Rt△MBN的周长为　
　
cm.
11.
如图，在△ABC中，BC=5，sin
A=.
(1)求△ABC的外接圆的直径；
(2)如果AB=BC，求△ABC内切圆的半径.
12.
已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S=
QUOTE
(其中a，b，c是三角形的三边长，p=
QUOTE
，S为三角形的面积)，并给出了证明.例如：在△ABC中，
a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：
因为a=3，b=4，c=5，所以p=
QUOTE
=6，
所以S=
QUOTE
=
QUOTE
=6，
如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9.
(1)用海伦公式求△ABC的面积；
(2)求△ABC的内切圆半径r.
13.
联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念.
【定义】
到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心.
【举例】
如图1，若PD=PE，则点P为△ABC的准内心.
【应用】
如图2，BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF=
QUOTE
BP，求证：点P是△ABC的内心.
【探究】
已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，准内心P在AC上，若PC=
QUOTE
AP，求∠A的度数.
图1
图2
图3
参
考
答
案
1.
B　【解析】如题图，三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点.故选B.
2.
125°　【解析】因为☉O是△ABC的内切圆，所以BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠OBC=∠ABC=35°，∠OCB=∠ACB=20°，所以∠BOC=180°－∠OBC－∠OCB=180°－35°－20°=125°.
3.
解：(1)如图所示.
(2)由(1)知I是△ABC的内心，所以∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，所以∠BIC=180°－(∠ABC＋∠ACB)=180°－(180°－∠BAC)=180°－(180°－46°)=113°.
4.
(1)证明：如图，连接OE，OF，OG.因为☉O是△ABC的内切圆，∠C=90°，所以四边形CEOF是正方形，所以CE=CF=r.又因为AG=AE=3－r，BG=BF=4－r，AG＋BG=5，所以(3－r)＋(4－r)=5.解得r=1.
(2)解：在Rt△AOG中，因为r=1，即OG=1，AG=3－r=2，所以tan∠OAG==.
5.
B　【解析】三角形的内心是三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等；内心一定在三角形内部；等边三角形的内心和外心是重合的；一个三角形只有一个内切圆，一个圆可以有无数个外切三角形，所以选项A，C，D不正确，选项B正确.故选B.
6.
B　【解析】如图，因为O是△ABC的内心，∠A=50°，所以∠OBC＋∠OCB=(180°－∠A)=(180°－50°)=65°，所以∠BOC=180°－65°=115°.故选B.
7.
C　【解析】连接OA，OB，因为O是△ABC的内心，所以AO，BO分别是∠CAB，∠ABC的平分线，所以∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO.因为EF∥AB，所以∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，所以∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，所以OE=AE，OF=BF，所以EF=AE＋BF.故选C.
8.
122°　【解析】在△ABC的外接圆中，因为∠CBD=32°，所以∠CAD=32°，因为点E是△ABC的内心，所以∠BAC=64°，所以∠EBC＋∠ECB=(180°－64°)÷2=58°，所以∠BEC=180°－58°=122°.
9.
－15　【解析】因为△ABC的内心在x轴上，所以OB平分∠ABC，因为点B的坐标是(2，0)，点C的坐标是(0，－2)，所以OB=OC，所以△OBC为等腰直角三角形，所以∠OBC=45°，所以∠ABC=90°，所以AB2＋BC2=AC2，作AE⊥x轴于点E，作CD⊥AE于点D，则AC2=AD2＋CD2=(b＋2)2＋9，AB2=AE2＋EB2=b2＋25，因为BC2=OB2＋OC2=22＋22=8，所以b2＋25＋8=(b＋2)2＋9.解得b=5，所以A点坐标为(－3，5)，所以k=－3×5=－15.
10.
4　【解析】在Rt△ABC中，AB=6
cm，BC=8
cm，则AC=10
cm，连接OD，OE(如图所示)，设△ABC内切圆的半径为r，在AC上的切点为F，则AD=AF，BE=BD，CF=CE，因为OD⊥AB，OE⊥BC，所以四边形ODBE是正方形，即BD=BE=r，所以AF=AD=6－r，CF=CE=8－r，所以6－r＋8－r=10，解得r=2，因为切线MN与AB，BC分别交于点M，N，所以MP=DM，PN=NE，所以Rt△MBN的周长为BD＋BE=2＋2=4(cm).
11.
解：(1)作直径BD，连接CD，则∠D=∠A，∠BCD=90°，所以BD===，即△ABC的外接圆的直径为.
(2)因为AB=BC，所以BE⊥AC，所以BE=AB×sin
A=3，所以AE==4，所以AC=8，设△ABC内切圆的半径为r，则×5×r＋×5×r＋×8×r=×8×3，解得r=，即△ABC内切圆的半径为.
12.
解：(1)因为BC=5，AC=6，AB=9，所以p===10，所以S===10；故△ABC的面积为10.
(2)因为S=r(AC＋BC＋AB)，所以10=r(5＋6＋9)，解得r=，故△ABC的内切圆半径r=.
13.
解：【应用】
证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=60°，AB=BC，因为BF为角平分线，所以∠PBE=30°，BF⊥AC.所以PE=PB，因为PF=BP，所以PD=PE=PF，所以P是△ABC的内心.
【探究】
根据题意得PD=PC=AP，因为sin
A===，∠A是锐角，所以∠A=30°.
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精品试卷·第
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