江苏省海头高中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 Word版

江苏省海头高级中学2019—2010学年度第一学期期中考试
高一数学试卷
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．请把答案填写在答题卡相应位置．
1．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2A．{x|－2B．{3,6}
C．{－1,2}
D．{－1,2,3}
2．函数（，且）恒过定点（　　）
A.
B.
C.
D.
3．已知幂函数图像经过点（2，8），则该幂函数的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，在用二分法求方程在内近似根的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间（　　）
A．
B．
C．
D．不能确定
5．已知是奇函数，当时，当时，等于（
）
A．
B．
C．
D．
6．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的单调增区间是(　　)
A．(3,8)
B．(－7，－2)
C．(－2,8)
D．(－2,3)
7．设，，，则有（
）
A．
B．
C．
D．
8.若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．
9．函数在区间和区间上分别有一个零点，则实数的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，且，那么（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是（　
　）
A.
B.
C.
D.
12.
设函数，若实数满足，且，则的取值范围是（
）
A.（3，4）
B.（3，27）
C.（9，27）
D.
（27，81）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置．
13．已知函数满足，则
.
14.已知集合，，若，则实数的取值范围是，其
中
.
15.定义域为的函数满足且，则_______.
16.函数是定义域为的增函数，且的图像经过点和，则不
等式的解集为
.
三、解答题：请把答案填写在答题卡相应位置．
17．（本小题满分10分）
计算：（1）；
（2）.
18．（本小题满分12分）
已知函数的定义域为M．
（1）求M；
（2）当时，求的值域．
19.（本小题满分12分）
某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元时，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1：y1＝axn，P2：y2＝bx＋c如图所示．
(1)求函数y1，y2的解析式；
(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？
20.（本小题满分12分）
已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数在区间上的单调性，并证明；
（3）求不等式的解集．
21.（本小题满分12分）
已知，满足条件，且．
（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知二次函数的图像经过点，且函数是偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）已知，，求函数在上的最大值和最小值；
（3）函数的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样点的坐标；如果不存在，请说明理由.
海头高级中学2019—2010学年第一学期期中考试高一数学答案
1-5
CDCBA
6-10
BDCBD
11-12
CD
13.
14.
15.
16.
17.
解:（1）.
---------------5分
（2）.---------------10分
18.
解：（1）由，---------------2分
解得，即.---------------5分
（2）因为，
令，，---------------7分
则，---------------8分
而在上单调递减，上单调递增，---------------10分
所以，即，
所以值域为.---------------12分
19.解：(1)由题图知P1：y1＝axn过点，，
∴∴∴y1＝xeq
\s\up8()，x∈[0，＋∞)．---------------3分
P2：y2＝bx＋c过点(0,0)，(4,1)，
∴∴∴y2＝x，x∈[0，＋∞)．---------------6分
(2)设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x)万元，---------------7分
则y＝＋(10－x)＝－x＋
＋＝－＋(0≤x≤10)，---------------9分
当且仅当＝即x＝＝6.25时，ymax＝，
此时投资乙商品为10－x＝10－6.25＝3.75万元，---------------11分
答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．---------------12分
（说明：利用换元法求最值，只要答案对，可得满分.）
20.解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，---------------2分
此时，由，得定义域为，
而，则函数是奇函数，
所以满足题意.
---------------3分
（2）函数在区间上的单调递增，---------------4分
下面证明：
任取，且，
则，
而，
因为，且，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以函数在区间上的单调递增.
---------------8分
（3）因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可化为，---------------9分
又因为函数在区间上的单调递增，
所以，---------------11分
解得.---------------12分
（说明：单调性证明只要能判断即可得满分.）
21.
解：（1）因为且，
所以，即，
所以，解得，---------------2分
又，得，---------------3分
所以.---------------4分
（2）法一：
因为当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
令，
所以，---------------7分
或，---------------10分
解得.---------------12分
法二：
因为当时，恒成立，
所以当时，
恒成立，
令，，
所以①当，即时，在上单调递增，
所以恒成立，---------------7分
②当，即时，在上单调递减，上单调递增，
所以，解得，所以，---------------10分
综上，.---------------12分
法三:
因为当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
①当时，即恒成立，即，---------------6分
②当时，则恒成立，
令，，
任取，且，
则，
当时，因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以函数在上单调递减，
当时，因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以函数在上单调递增，---------------10分
所以，---------------11分
所以.---------------12分
22.
解：（1）因为函数是偶函数，所以图像的对称轴为轴，因而二次函数的图像的对称轴方程为，即，所以-------------1分
又二次函数的图像经过点，所以，解得
所以函数的解析式为---------------------3分
（2）由（1）知，
则
画出函数的图像可知
当时，------------------4分
当时，--------------------5分
当时，----------------------6分
当时，---------------------7分
（3）假设函数的图像上是否存在这样的点符合要求，
则，从而
即----------------9分
注意到43是质数，且
所以，解得，---------------------------11分
所以函数的图像上存在符合题意得点，其坐标为.
---------------12分
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