24.6 正多边形与圆(基础达标+巩固提升+答案)

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沪科版数学九年级下册同步课时训练
第24章
圆
24.6　正多边形与圆
要点测评
基础达标
要点1　正多边形的概念
1.
若正六边形的半径为4，则它的边长等于(　
　)
A.
4
B.
2
C.
2
QUOTE
D.
4
QUOTE
2.
若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正　
　边形.
要点2　正多边形和圆的关系
3.
五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，AB，BC，CD，DE，EA与☉O相切，切点分别为A′，B′，C′，D′，E′，如图，
求证：五边形A′B′C′D′E′为正五边形.
4.
如图，已知☉O，用尺规作☉O的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹)
要点3　正多边形和圆的有关计算
5.
正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为∶2，则这个正多边形为(　
　)
A.
正十二边形
B.
正六边形
C.
正四边形
D.
正三角形
6.
如图，已知边长为2
cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是(　
　)
A.
cm2
B.
cm2
C.
QUOTE
cm2
D.
cm2
课后集训
巩固提升
7.
如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有(　
　)
A.
2个
B.
4个
C.
6个
D.
8个
8.
下列命题正确的是(　
　)
A.
各边相等的多边形是正多边形
B.
各边相等的圆外切多边形是正多边形
C.
各内角分别相等的圆内接多边形是正多边形
D.
各边相等的圆内接多边形是正多边形
9.
一个正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的内角是(　
　)
A.
60°
B.
90°
C.
120°
D.
135°
10.
已知圆的半径是2
QUOTE
，则该圆的内接正六边形的面积是(　
　)
A.
3
QUOTE
B.
9
QUOTE
C.
18
QUOTE
D.
36
QUOTE
11.
如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形边长是原正六边形边长的(　
　)
A.
(
QUOTE
)2018倍
B.
(
QUOTE
)2019倍
C.
(
QUOTE
)2020倍
D.
(
QUOTE
)2021倍
12.
如图，☉O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，则所对的圆周角∠FPG的大小为　
　度.
13.
有一个边长为4的圆内接正多边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为
　.
14.
如图，正方形ABCD内接于☉O，其边长为4，则☉O的内接正三角形EFG的边长为　　　
.
15.
如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P.
(1)求证：△ABG≌△BCH；
(2)求∠APH的度数.
16.
如图所示，有一个圆O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).
(1)设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；
(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值.
17.
(1)已知：如图1，△ABC是☉O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA=PB＋PC；
(2)如图2，四边形ABCD是☉O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA=PC＋PB.
图1
图2
参
考
答
案
1.
A　【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形，故正六边形的边长是4.故选A.
2.
八　【解析】设正多边形的边数为n，则有(n－2)·180°=135°·n，所以n=8.
3.
证明：连接OA′，OB′，OC′，则OA′⊥AB，OB′⊥BC，OC′⊥CD，所以∠B＋∠1=180°，∠C＋∠2=180°.又因为∠B=∠C，所以∠1=∠2.所以=，同理===，即切点A′，B′，C′，D′，E′是☉O的五等分点，所以五边形A′B′C′D′E′为正五边形.
4.
解：如图所示，四边形ABCD即为所求.
(提示：画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交☉O于点B，D)
5.
B　【解析】正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为∶2，则半径之比为∶2，设AB是正多边形的一边，作OC⊥AB，则OC=a，OA=OB=2a，在直角△AOC中，cos∠AOC==，所以∠AOC=30°，所以∠AOB=60°，则正多边形边数是=6.故选B.
6.
A　【解析】边长是2
cm的正六边形ABCDEF的面积是6××sin
60°×22=6
cm2.作出中心O，连接OD1，OC，OC与C1D1交于点G，在Rt△OCD1中，∠O=30°，CD1=CD=1(cm).则OD1=CD1=
cm，D1G=OD1=
cm，C1D1=
cm.则正六边形A1B1C1D1E1F1的面积是6××sin
60°×()2=
cm2.则图中阴影部分的总面积是（6－）=
cm2.故选A.
7.
C　【解析】因为AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，所以OA=OE=AF=EF，所以四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABO都是平行四边形，共6个，故选C.
8.
D　【解析】菱形各边相等，但不是正多边形，故选项A错误；菱形也有内切圆，故选项B错误；长方形有外接圆，但不是正多边形，故选项C错误；各边相等的圆内接多边形由弦相等可知所对的弧相等，可得各内角也相等，据正多边形的定义知选项D正确.故选D.
9.
D　【解析】设正多边形有n条边，则有(n－2)·180°=3×360°，所以n=8，所以每个内角是=135°.故选D.
10.
C　【解析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，所以正六边形的面积为18，故选C.
11.
C　【解析】因为此六边形是正六边形，所以∠1=180°－120°=60°，因为BD=CD=BC=AD，所以△BCD为等边三角形，所以BD=AC，所以△ABC是直角三角形，因为BC=AC，所以∠2=30°，所以AB=BC=CD，同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的()2倍，所以经过2020次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的()2020倍，故选C.
12.
60　【解析】因为多边形OABCDE是正六边形，所以∠AOE=120°，所以∠FPG=60°.
13.
4　【解析】内角为120°的正多边形是正六边形，其外接圆半径与边长相等.
14.
2　【解析】连接AC，OE，OF，作OM⊥EF于M，因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=4，∠ABC=90°，所以AC是直径，AC=4，所以OE=OF=2，因为OM⊥EF，所以EM=MF，因为△EFG是等边三角形，所以∠GEF=60°，在Rt△OME中，因为OE=2，∠OEM=∠GEF=30°，所以OM=，EM=OM=，所以EF=2.
15.
(1)证明：因为在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG与△BCH中，所以△ABG≌△BCH.
(2)解：由(1)知：△ABG≌△BCH，所以∠BAG=∠HBC，所以∠BPG=∠ABG=120°，所以∠APH=∠BPG=120°.
16.
解：(1)连接圆心O和T1的六个顶点可得到6个全等的正三角形，所以r∶a=1∶1.连接圆心O和T2相邻的两个顶点得到以圆O的半径为高的正三角形，所以r∶b=∶2.
(2)因为由(1)知T1与T2的边长之比为∶2，所以S1∶S2=()2=3∶4.
17.
证明：(1)如图1，延长BP至E，使PE=PC，连接CE.因为A，B，P，C四点共圆，所以∠BAC=∠CPE=60°，因为PE=PC，所以△PCE是等边三角形，所以CE=PC，∠E=60°；又因为∠BCE=60°＋∠BCP，∠ACP=60°＋∠BCP，所以∠BCE=∠ACP，又因为CE=PC，AC=BC，所以△BEC≌△APC(SAS)，所以PA=BE=PB＋PC.
(2)如图2，过点B作BE⊥PB交PA于E.因为∠1＋∠2=∠2＋∠3=90°，所以∠1=∠3，易得∠APB=45°，所以BP=BE，所以PE=PB；又因为AB=BC，所以△ABE≌△CBP(SAS)，所以PC=AE.所以PA=AE＋PE=PC＋PB.
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