24.7.1 弧长与扇形面积(基础达标+巩固提升+答案)

沪科版数学九年级下册同步课时训练
第24章 圆
24.7　弧长与扇形面积
第1课时　弧长与扇形面积
要点测评 基础达标
要点1　弧长的计算
1. 如图，PA，PB是☉O的切线，切点分别为A，B，若OA=2，∠P=60°，则的长为(　 　)
A. π B. π C. π D. π
2. 圆心角为120°，弧长为12 π的扇形半径为(　 　)
A. 6 B. 9 C. 18 D. 36
3. 如图，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2cm.
(1)求☉O的半径r；
(2)求劣弧的长(结果保留 π).

要点2　扇形面积的计算
4. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是(　 　)
A. B. ＋ C. D. ＋
5. 一个扇形的圆心角为300°，扇形的弧长等于半径为6 cm的圆周长，这个扇形的面积是　　 .
课后集训 巩固提升
6. 如图，AB为☉O的直径，点C在☉O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为(　 　)
A. π B. π C. π D. π
7. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为(　 　)
A. 175π cm2 B. 350π cm2 C. π cm2 D. 150π cm2
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°，得△A′B′C，则点B转过的路径长为(　 　)
A. B. C. D. π
9. 如图，四个正方形的面积相等，其中阴影部分面积相等的图形有(　 　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2020次.若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为(　 　 )
A. 2020π B. 2040π C. 3020π D. 3030π
11. 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中，，的圆心依次是A，B，C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是　 .?
12. 如图所示，半圆O中，直径AB长为4，C，D为半圆O的三等分点，则阴影部分的面积为　　 .
13. 一圆弧的圆心角为240°，若它所对的弧长等于半径为6 cm的圆的周长，求该弧所在圆的半径.
14. 如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠D=60°且AB=6，过O点作OE⊥AC，垂足为E.
(1)求OE的长；
(2)若OE的延长线交☉O于点F，求弦AF，AC和围成的图形(阴影部分)的面积S.

15. 已知：如图，AB是☉O的弦，☉O的半径为10，OE，OF分别交AB于点E，F，OF的延长线交☉O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°.
(1)求证：△OEF是等边三角形；
(2)当AE=OE时，求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)

参 考 答 案
1. C　【解析】因为PA，PB是☉O的切线，所以∠OBP=∠OAP=90°，在四边形APBO中，∠P=60°，所以∠AOB=120°，因为OA=2，所以的长为=π，故选C.
2. C　【解析】由弧长公式可得=12π，解得r=18，故选C.
3. 解：(1)作OC⊥AB于C，则AC=AB= cm.因为∠AOB=120°，OA=OB，所以∠A=30°.所以在Rt△AOC中，r=OA==2 cm.
(2)劣弧的长为=π(cm).
4. A　【解析】因为AB为直径，所以∠ACB=90°，因为AC=BC=，所以△ACB为等腰直角三角形，所以OC⊥AB，所以△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，所以S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，所以S阴影部分=S扇形AOC==.故选A.
5. π cm2　【解析】由题意得扇形的弧长C1=2π×6=12π(cm)，设扇形的半径为R cm，则有=12π，所以R=，所以扇形的面积S扇=C1R=×12π×=π(cm2).
6. B　【解析】因为∠OCA=50°，OA=OC，所以∠A=50°，所以∠BOC=100°，因为AB=4，所以BO=2，所以的长为=π.故选B.
7. B　【解析】因为AB=25 cm，BD=15 cm，所以AD=10 cm，所以S贴纸=2×(－)
=2×175π=350π(cm2)，故选B.
8. B　【解析】因为在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，所以cos 30°=，所以BC=ABcos 30°=2×=，因为将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，所以∠BCB′=60°，所以点B转过的路径长为=π.故选B.
9. C　【解析】设正方形边长为2a，则题图(1)中阴影部分的面积为S正方形－S圆=4a2－()2π=4a2－a2π=(4－π)a2；题图(2)中阴影部分的面积为正方形面积减去一个以为半径的圆的面积，即为4a2－a2π=(4－π)a2；题图(3)中阴影部分的面积为2S扇形－S正方形=2×π·(2a)2－(2a)2=2a2π－4a2=2a2(π－2)；题图(4)中阴影部分的面积为正方形面积减去4个圆的面积，即S=(2a)2－（）2π=4a2－a2π=a2(4－π).即图(1)(2)(4)阴影部分面积相等.故选C.
10. D　【解析】转动第一次A所经过的路径长是=2π，转动第二次A所经过的路径长是=π，转动第三次A所经过的路径长是=π，转动第四次A所经过的路径长是0，转动第五次A所经过的路径长是2π，以此类推，每四次一循环，故顶点A转动四次经过的路线长为2π＋π＋π=6π，因为2020÷4=505，,所以这样连续旋转2020次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路径之和是6π×505=3030π.故选D.
11. 4π　【解析】的长是=π，的长是=π，的长是=2π，则曲线CDEF的长是π＋π＋2π=4π.
12. π　【解析】如图，连接OC，OD，由C，D为半圆O的三等分点知∠COD=60°，且∠ADC=∠DAB=30°，所以CD∥AB，所以S△ADC=S△ODC(同底等高的三角形面积相等)，所以S阴影=S扇形OCD==π.
13. 解：设该弧所在圆的半径为R，又弧长等于半径为6 cm的圆的周长，所以C1=2π×6=12π(cm).则由C1=，得R===9(cm).所以该弧所在圆的半径为9 cm.
14. 解：(1)因为∠D=60°，所以∠B=60°，因为AB是☉O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠CAB=30°，因为AB=6，所以BC=3，因为OE⊥AC，所以∠OEA=∠BCA=90°，所以OE∥BC，因为点O是AB中点，所以OE是△ABC的中位线，所以OE=BC=.
(2)连接OC，易证△COE≌△AFE，故阴影部分的面积=扇形FOC的面积，S扇形FOC==π.即阴影部分的面积为π.
15. (1)证明：如图，作OC⊥AB于点C，所以AC=BC.因为AE=BF，所以EC=FC.因为OC⊥EF，所以OE=OF.因为∠EOF=60°，所以△OEF是等边三角形.
(2)解：在等边三角形OEF中，∠OEF=∠EOF=60°.因为AE=OE，所以∠OAB=∠AOE=30°，所以∠AOF=90°.在Rt△AOF中，因为AO=10，∠OAB=30°，所以OF=，S△AOF=××10=.S扇形OAD==25π.所以S阴影=S扇形OAD－S△AOF=25π－.