2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷（解析版）

2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应空格内填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．设非零向量是直线的一个方向向量，则可以是　 　．（只需填写一个）
2．直线y＝2x+1与圆x2+y2＝1的位置关系是　 　．
3．若直线l的参数方程是（t∈R），则l的斜率为　 　．
4．已知点A的坐标为（5，0），点B是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1上的动点，则线段AB的长的最大值为　 　．
5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是　 　．
6．抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝　 　．
7．已知双曲线（常数λ＞0）的一条渐近线为y＝2x，则λ＝　 　．
8．已知椭圆的右焦点为F，过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，则点A（p，q）的纵坐标q＝　 　．
9．若实数x、y满足，则y﹣2x的取值范围为　 　．
10．已知双曲线，F1，F2是Γ的左右焦点，点P是Γ上的点，若|PF1|?|PF2|＝4，则的值为　 　．
11．已知点A的坐标为（0，2），点P是抛物线y＝4x2上的点，则使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是　 　．
12．在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆分别是⊙O1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，⊙O2：（x+3）2+（y+3）2＝2，并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影，过原点画一条斜率为k的直线l，沿着l将该纸剪成两张纸．若两张纸上阴影部分的面积相等，则k的值的集合为　 　．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．
13．已知常数D、E、F是实数，则“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
14．在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，则G中的点都落在曲线（　　）
A．上 B．y2＝|x|上 C．上 D．x2＝y上
15．已知曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（　　）
A． B．
C． D．
16．已知A、B是双曲线的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA、PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（　　）
A．k1+k2 B．|k1﹣k2|
C．k1?k2 D．
三、解答题（本大题满分0分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．
（1）若l1与l2垂直，求m的值．
（2）若l1与l2平行，求m的值．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），动点P（x，y）满足．
（1）若P在线段AB上，求P的坐标．
（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程．
19．已知过点P（2，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角为30°，求l与抛物线C的准线的交点坐标．
（2）求弦长|AB|的最小值，并给出相应的直线l的方程．
20．已知双曲线的右顶点为A，点B的坐标为．
（1）设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cosθ．
（2）设点D是双曲线Γ上的动点，若点N满足、，求点N的轨迹方程．
（3）过点B的动直线l交双曲线Γ于P、Q两个不同的点，M为线段PQ的中点，求直线AM斜率的取值范围．
21．定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．
（1）写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．
（2）过“倒椭圆”C2上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆C1只有一个公共点．
（3）是否存在直线l与椭圆C1无公共点，且与“倒椭圆”C2无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．



2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应空格内填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．设非零向量是直线的一个方向向量，则可以是　（）　．（只需填写一个）
【解答】解：直线的整理得：3x﹣2y﹣3＝0，则k＝
故非零向量为（），
故答案为：（）
2．直线y＝2x+1与圆x2+y2＝1的位置关系是　相交　．
【解答】解：根据圆心（0，0）到直线y＝2x+1的距离为＝，小于半径1，可得直线和圆相交，
故答案为：相交．
3．若直线l的参数方程是（t∈R），则l的斜率为　﹣2　．
【解答】解：根据题意，直线l的参数方程是（t∈R），其普通方程为y+1＝﹣2（x﹣2），
其斜率k＝﹣2；
故答案为：﹣2
4．已知点A的坐标为（5，0），点B是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1上的动点，则线段AB的长的最大值为　　．
【解答】解：如图，

圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心坐标为（1，2），半径为1，
则线段AB的长的最大值为．
故答案为：．
5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是　　．
【解答】解：根据题意知a＝2b，c＝
又∵a2＝b2+c2
∴a2＝4 b2＝1
∴＝1
故答案为：∴＝1．
6．抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝　2　．
【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，
所以＝1，
所以p＝2．
故答案为：2．
7．已知双曲线（常数λ＞0）的一条渐近线为y＝2x，则λ＝　4　．
【解答】解：该双曲线的一条渐近线方程为：，
由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y＝2x，又λ＞0，可以得出λ＝4．
故答案为：4．
8．已知椭圆的右焦点为F，过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，则点A（p，q）的纵坐标q＝　　．
【解答】解：椭圆的右焦点为F（3，0），
过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，
设A的纵坐标为q，
可得，
解得q＝．
故答案为：．
9．若实数x、y满足，则y﹣2x的取值范围为　[﹣2，2]　．
【解答】解：由，得（y≥0）．
令t＝y﹣2x，得y＝2x+t．
联立，得8x2+4tx+t2﹣4＝0．
由△＝16t2﹣32（t2﹣4）＝128﹣16t2＝0，得t＝．
如图，
又当直线t＝y﹣2x过（1，0）时t＝﹣2，
∴y﹣2x的取值范围为[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．

10．已知双曲线，F1，F2是Γ的左右焦点，点P是Γ上的点，若|PF1|?|PF2|＝4，则的值为　0　．
【解答】解：F1（﹣，0），F2（，0）是Γ的左右焦点，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得|m﹣n|＝2a＝2，
又mn＝4，可得m2+n2＝12+2mn＝12+8＝20，
而|F1F2|2＝4c2＝20，
即有|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，
可得PF1⊥PF2，
即＝0．
故答案为：0．
11．已知点A的坐标为（0，2），点P是抛物线y＝4x2上的点，则使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是　6　．
【解答】解：如图所示：由题意设P坐标（x，4x2），△OPA是等腰三角形分3种情况：
①OP＝OA时：x2+16x4＝4，即：16x2+x2﹣4＝0，x2有一个值，所以x有2个值，即有2个p点符合条件；
②OP＝AP，x2+16x4＝x2+（4x2﹣2）2，解得：x2＝，同①符合条件的P有2个；
③OA＝AP：4＝x2+（4x2﹣2）2解得：x2＝，也有2个点，
综上符合条件的P点共有6个；
故答案为：6．

12．在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆分别是⊙O1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，⊙O2：（x+3）2+（y+3）2＝2，并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影，过原点画一条斜率为k的直线l，沿着l将该纸剪成两张纸．若两张纸上阴影部分的面积相等，则k的值的集合为　{2}　．
【解答】解：根据题意，直线l为过原点且斜率为k的直线，则直线l的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0；
⊙O1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，其圆心为（2，2），⊙O2：（x+3）2+（y+3）2＝2，其圆心为（﹣3，﹣3）；
两圆的圆心不会同时在直线l上，
若两张纸上阴影部分的面积相等，则两圆的圆心O1、O2在直线l的两侧且两圆圆心到直线l的距离相等，
则有，解可得k＝2；
故k的值的集合为{2}；
故答案为：{2}．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．
13．已知常数D、E、F是实数，则“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：x2+y2+Dx+Ey+F＝0等价为（x+）2+（y+）2＝，若方程表示圆，则D2+E2﹣4F＞0，
即“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的充要条件，
故选：A．
14．在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，则G中的点都落在曲线（　　）
A．上 B．y2＝|x|上 C．上 D．x2＝y上
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，图形是抛物线开口向右，顶点在坐标原点，对称轴为x轴，所以G中的点都落在曲线y2＝|x|上．
故选：B．
15．已知曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π），变形可得+y2＝1，（0≤x≤2，﹣1≤y≤1），
其图形为椭圆+y2＝1的右半部分；
故选：B．
16．已知A、B是双曲线的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA、PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（　　）
A．k1+k2 B．|k1﹣k2|
C．k1?k2 D．
【解答】解：A（﹣2，0）、B（2，0）是双曲线的左、右顶点，
设P（m，n），可得﹣＝1，即有＝，
k1k2＝?＝＝．
故选：C．
三、解答题（本大题满分0分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．
（1）若l1与l2垂直，求m的值．
（2）若l1与l2平行，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意，直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．
若l1与l2垂直，必有m+3（m﹣2）＝0，
解可得m＝；
（2）直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0，
若l1与l2平行，必有m（m﹣2）＝1×3＝3，
解可得：m＝﹣1或3，
当m＝﹣1时，直线l1：﹣x+3y﹣1＝0，l2：x﹣3y+1＝0，两条直线重合，不合题意；
当m＝3时，直线l1：3x+3y﹣1＝0，l2：x+y+1＝0，两条直线平行，符合题意；
故m＝3．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），动点P（x，y）满足．
（1）若P在线段AB上，求P的坐标．
（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程．
【解答】解：（1）根据题意，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），
若P在线段AB上，则P在x轴上，设P的坐标为（x，0），且﹣1≤x≤1，
又由，即|PA|＝2|PB|，
则有（x+1）＝2（1﹣x），解可得：x＝，
故P的坐标为（，0）；
（2）证明：根据题意，设P的坐标为（x，y）；
若，即|PA|＝2|PB|，则有（x+1）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，
变形可得：x2+y2﹣x+1＝0，其表示一个圆；
故点P总落在一个定圆上，且该圆的方程为x2+y2﹣x+1＝0．
19．已知过点P（2，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角为30°，求l与抛物线C的准线的交点坐标．
（2）求弦长|AB|的最小值，并给出相应的直线l的方程．
【解答】解：（1）由抛物线方程可得，准线方程为：x＝﹣1；直线l的倾斜角为30时，直线l的方程为：y＝（x﹣2），与准线联立得：x＝﹣1，y＝﹣，
所以l与抛物线C的准线的交点坐标为：（﹣1，﹣）；
（2），设A（x，y），B（x'，y'），显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为：x＝my+2，
代入抛物线方程得：y2﹣4my﹣8＝0，y+y'＝4m，yy'＝﹣8，
所以弦长|AB|＝?|y﹣y'|＝?＝?＝4，
∵m2≥0，所以当m2＝0时，弦长|AB|最小值为4，
这时直线l的方程为：x＝2．
20．已知双曲线的右顶点为A，点B的坐标为．
（1）设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cosθ．
（2）设点D是双曲线Γ上的动点，若点N满足、，求点N的轨迹方程．
（3）过点B的动直线l交双曲线Γ于P、Q两个不同的点，M为线段PQ的中点，求直线AM斜率的取值范围．
【解答】解：（1）双曲线的渐近线方程为y＝﹣x和y＝x，
即有tanθ＝||＝2，且0＜θ＜，
由＝2，sin2θ+cos2θ＝1，解得cosθ＝；
（2）设D（x0，y0），可得2x02﹣y02＝4，
点N（x，y）满足，可得N为BD的中点，
由点B的坐标为，可得2x＝1+x0，2y＝+y0，
即x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣，
则2（2x﹣1）2﹣（2y﹣）2＝4，可得N的轨迹方程为2（x﹣）2﹣（y﹣）2＝1；
（3）设过点B的动直线l的方程为y﹣＝k（x﹣1），
代入双曲线方程2x2﹣y2＝4，可得（2﹣k2）x2﹣2k（﹣k）x﹣4﹣（﹣k）2＝0，k≠±，
由△＝4k2（﹣k）2+4（2﹣k2）（4+（﹣k）2）＞0，解得﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2＝，
即有PQ的中点M（，），
可得直线AM的斜率为kAM＝＝，
由﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，可得kAM∈（﹣4﹣3，﹣）∪（﹣，﹣）．
21．定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．
（1）写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．
（2）过“倒椭圆”C2上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆C1只有一个公共点．
（3）是否存在直线l与椭圆C1无公共点，且与“倒椭圆”C2无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得倒椭圆C2的x轴或y轴，对称中心（0，0），
∵＝1﹣∈（0，1），
∴x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）；
（2）设P（x0，y0），代入倒椭圆中：＝1，
∴4y02+x02＝x02y02且x0y0≠0，则A（x0，0），B（0，y0），
所以直线AB的方程为：，
代入椭圆C1得：（x02+4y02）x2﹣8x0y02x+4x02（y02﹣1）＝0，
则△＝64x02y04﹣16（x02+4y02）x02（y02﹣1）＝﹣16x02（x02y02﹣x02﹣4y02）＝0，
所以直线AB与椭圆C1只有一个公共点．
（3）设直线l上任意一点Q（m，n），
若Q是l与椭圆的C1的公共点，则1＝≥2，
∴|mn|≤1，也即Q不是l与椭圆C1的公共点时，则必有|mn|＞1，
同理，若Q是与倒椭圆C2的公共点时则1＝≥2∴|mn|≥4，
所以Q若不是直线l与倒椭圆的公共点时，|mn|＜4，
从而得Q不是直线l与C1，C2的公共点时则必有1＜|mn|＜4，
对于直线l上任意一点Q（m，n），mn＝0或mn∈R，
不存在符合题意的直线l．