2018-2019学年陕西省渭南市华阴市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

2018-2019学年陕西省渭南市华阴市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“若x＝1，则x2﹣3x+2＝0”的逆否命题是（　　）
A．若x≠1，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2＝0，则x＝1
C．若x2﹣3x+2＝0，则x≠1 D．若x2﹣3x+2≠0，则x≠1
2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（　　）
A． B． C． D．
3．若a＜b＜0，则（　　）
A． B．a﹣3＞b﹣3 C．ab＞b2 D．a2＜b2
4．已知命题p：“?m∈R，函数f（x）＝m+是奇函数”，则命题?p为（　　）
A．?m∈R，函数f（x）＝m+是偶函数
B．?m∈R，函数f（x）＝m+是奇函数
C．?m∈R，函数f（x）＝m+不是奇函数
D．?m∈R，函数f（x）＝m+不是奇函数
5．“m＞0”是“方程mx2+4y2＝1所表示的曲线是椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．任意三角形 D．等腰直角三角形
7．若不等式x2+x+m2＜0的解集不是空集，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．若双曲线mx2﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线与直线y＝﹣2x垂直，则此双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
9．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（　　）
A．[0，4] B．（﹣∞，4] C．[0，6] D．[6，+∞）
10．已知点P（﹣2，0）是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左顶点，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
11．成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列{bn}中的b2，b3，b4，则数列{bn}的通项公式为（　　）
A．bn＝2n B．bn＝3n C．bn＝2n﹣1 D．bn＝3n﹣1
12．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|?|CD|的值是（　　）

A．2 B．2 C．1 D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．不等式≥0的解集是　 　．
14．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝8，则ab的最大值等于　 　．
15．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1km，CD＝3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A，C之间的距离为　 　km．

16．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意为：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700公里．则这匹马第7天所走的路程为　 　里．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn．
18．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2acosB＝bcosC+ccosB．
（1）求角B；
（2）若b＝2，S△ABC＝，求a+c．
19．已知平面ABCD是边长为2的正方形，平面PACE是直角梯形，PA⊥平面ABCD，O为AC与BD的交点，且PA＝2，CE＝1．请用空间向量知识解答下列问题：
（Ⅰ）求证：PO⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线PO与平面PAB夹角的正弦值．

20．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
（Ⅰ）如果直线l的方程为y＝x﹣1，求弦AB的长；
（Ⅱ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值．
21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AD、PB的中点，PA＝PB＝1．
（1）证明：EF∥平面DCP；
（2）设点G是线段AB的中点，求二面角C﹣PD﹣G的正弦值．

22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出该定值．



2018-2019学年陕西省渭南市华阴市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“若x＝1，则x2﹣3x+2＝0”的逆否命题是（　　）
A．若x≠1，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2＝0，则x＝1
C．若x2﹣3x+2＝0，则x≠1 D．若x2﹣3x+2≠0，则x≠1
【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x2﹣3x+2≠0，则x≠1
故选：D．
2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，

长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
＝（+）+＝+＝．
故选：D．
3．若a＜b＜0，则（　　）
A． B．a﹣3＞b﹣3 C．ab＞b2 D．a2＜b2
【解答】解：由于a＜b＜0，
所以不等式的两边同乘以负数b，
故：ab＞b2．
故选：C．
4．已知命题p：“?m∈R，函数f（x）＝m+是奇函数”，则命题?p为（　　）
A．?m∈R，函数f（x）＝m+是偶函数
B．?m∈R，函数f（x）＝m+是奇函数
C．?m∈R，函数f（x）＝m+不是奇函数
D．?m∈R，函数f（x）＝m+不是奇函数
【解答】解：命题p：“?m∈R，函数f（x）＝m+是奇函数”，
则命题?p为?m∈R，函数f（x）＝m+不是奇函数，
故选：C．
5．“m＞0”是“方程mx2+4y2＝1所表示的曲线是椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：方程的标准形式为＝1，
若表示椭圆，则m＞0且≠，即m＞0且m≠4，
则“m＞0”是“方程mx2+4y2＝1所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
6．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．任意三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：∵由正弦定理得：，
又＝＝，
∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，
∴B＝C＝，∴A＝．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：D．
7．若不等式x2+x+m2＜0的解集不是空集，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：不等式x2+x+m2＜0的解集不是空集，
∴△＝1﹣4m2＞0，
﹣＜m＜，
∴实数m的取值范围是（﹣，）．
故选：B．
8．若双曲线mx2﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线与直线y＝﹣2x垂直，则此双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：双曲线mx2﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线y＝±x，
∵渐近线与直线y＝﹣2x垂直，故一条渐近线的斜率为，
∴＝，则m＝，即a＝2，b＝1，c＝，
∴双曲线的离心率e＝＝．
故选：B．
9．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（　　）
A．[0，4] B．（﹣∞，4] C．[0，6] D．[6，+∞）
【解答】解：x，y满足约束条件，
表示的可行域如图：
目标函数z＝x+2y经过O点时，函数取得最小值，0；
由解得A（2，1），目标函数经过A时取得最大值
目标函数的最大值为：4．
目标函数的范围是：[0，4]．
故选：A．

10．已知点P（﹣2，0）是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左顶点，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：由题意，a＝2．
∵过点P作圆O：x2+y2＝4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，
∴∠APO＝45°，F（﹣，0），
∴c＝，∴b2＝8﹣2＝6，
∴a2+b2＝8+6＝14，
故选：C．
11．成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列{bn}中的b2，b3，b4，则数列{bn}的通项公式为（　　）
A．bn＝2n B．bn＝3n C．bn＝2n﹣1 D．bn＝3n﹣1
【解答】解：设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d，
可得3a＝12，解得a＝4，
即成等差数列的三个正数分别为4﹣d，4，4+d，
这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列{bn}中的b2，b3，b4，
可得（4+4）2＝（1+4﹣d）（4+d+11），
解方程可得d＝1（﹣11舍去），
则b2＝4，b3＝8，b4＝16，即有b1＝2，
则bn＝2?2n﹣1＝2n，
故选：A．
12．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|?|CD|的值是（　　）

A．2 B．2 C．1 D．
【解答】解：设A（x1，y1），D（x2，y2），
抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），
圆心与焦点重合，半径为1，
又由直线过抛物线的焦点F，
则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，
即有|AB|?|CD|＝x1x2，
设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，
则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，
故选：C．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．不等式≥0的解集是　（﹣2，3]　．
【解答】解：依题意，≥0?，
解得﹣2＜x≤3，
∴不等式≥0的解集是（﹣2，3]，
故答案为：（﹣2，3]．
14．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝8，则ab的最大值等于　8　．
【解答】解：依题意8＝a+2b，
∴ab≤8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时等号成立，
故答案为：8．
15．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1km，CD＝3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A，C之间的距离为　2　km．

【解答】解：∵AB＝1，CD＝3，
∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝150°，
∴AE＝2AB＝2，CE＝＝＝2；
∵△ACE中，由余弦定理得：
AC2＝AE2+CE2﹣2×AE×CE×cos∠AEC
＝4+12﹣2×2×2×（﹣）
＝28，
∴AC＝2；
即两山顶A，C之间的距离为2km．
故答案为：2．

16．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意为：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700公里．则这匹马第7天所走的路程为　　里．
【解答】解：每天走的里程数是等比数列{an}，公比q＝，
则S7＝＝700，解得a1＝，
∴a7＝＝里，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）等比数列{an}中，∵a2＝2，a5＝16，
∴q3＝＝8，
∴q＝2，
∴a1＝＝1，
∴an＝2n﹣1，
（2）∵等差数列{bn}满足b1＝a1＝1，b4＝a3＝4
∴3d＝b4﹣b1＝4﹣1＝3，
∴d＝1，
∴Sn＝n+×1＝．
18．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2acosB＝bcosC+ccosB．
（1）求角B；
（2）若b＝2，S△ABC＝，求a+c．
【解答】解：（1）由正弦定理，
得：2sinAcosB＝sinBcosC+sinCcosB，可得：2sinAcosB＝sinA，
由于在三角形中sinA≠0，
得cosB＝，
∵0＜B＜π，
∴B＝．………
（2）S△ABC＝acsinB＝ac＝，可得：ac＝4，
可得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，
可得：a+c＝2．………
19．已知平面ABCD是边长为2的正方形，平面PACE是直角梯形，PA⊥平面ABCD，O为AC与BD的交点，且PA＝2，CE＝1．请用空间向量知识解答下列问题：
（Ⅰ）求证：PO⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线PO与平面PAB夹角的正弦值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
O（1，1，0），P（0，0，2），E（2，2，1），
＝（1，1，﹣2），＝（﹣2，2，0），＝（0，2，1），
∴＝0，＝0，∴PO⊥BD，PO⊥BE．
∵BD∩BE＝B，∴PO⊥平面BDE．
（Ⅱ）解：＝（1，1，﹣2），平面PAB的一个法向量＝（0，1，0），
则cos＜＞＝＝＝，
设直线PO与平面PAB的夹角为θ，
则sinθ＝|cos＜＞|＝，
∴直线PO与平面PAB夹角的正弦值为．

20．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
（Ⅰ）如果直线l的方程为y＝x﹣1，求弦AB的长；
（Ⅱ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）联立得：x2﹣6x+1＝0．
由韦达定理：x1+x2＝6．
易知直线l经过抛物线的焦点F（1，0），由准线x＝﹣1得：|AB|＝|OA|+|OB|＝（x1+1）+（x2+1）＝x1+x2+2＝8．
（Ⅱ）设直线l：x＝my+1（由于有两个交点，直线l的斜率必存在），
联立得：y2﹣4my﹣4＝0，
由韦达定理：y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4．
所以
所以．
21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AD、PB的中点，PA＝PB＝1．
（1）证明：EF∥平面DCP；
（2）设点G是线段AB的中点，求二面角C﹣PD﹣G的正弦值．

【解答】证明：（1）取PC的中点为H，连接DH，FH，
∵四边形ABCD是正方形，E、F、G分别是线段的中点，
DE∥BC且DE＝BC，FH∥BC且FH＝BC，
∴DE∥FH且DE＝FH，
∴四边形DEFH为平行四边形，
∴EF∥DH，
∵EF?平面DCP，DH?平面DCP，
∴EF∥平面DCP．
解：（2）∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴AP，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，
建立空间直角坐标系A﹣xyz．
则P（1，0，0），D（0，0，1），C（0，1，1），G（0，，0），
＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，1，1），＝（﹣1，，0），
设平面CPD的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，0，1），
设平面GPD的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，2，1），
∴cos＜＞＝＝，
sin＜＞＝＝．
∴二面角的正弦值为．

22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出该定值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，
PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面积为1．
∴，
解得a＝2，c＝，b＝a2﹣b2＝1，
∴椭圆C的方程为：＝1．…………………
证明：（Ⅱ）（i）当A，B是椭圆顶点时，+＝，…………………
（ii）当A，B不是椭圆顶点时，设lOA：y＝kx，lOB：y＝﹣，
由，得，|OA|2＝，
同理，|OB|2＝，
＝+＝＝．
综上，为定值．