人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 章末检测卷（含答案解析）

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平面向量 章末检测卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则等于(　　)
A．(－2,3) B．(0,1)
C．(－1,2) D．(2，－3)
2．设e1，e2为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)
A．2 B．－3 C．－2 D．3
3．已知a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是(　　)
A．λ> B．λ≥
C．λ< D．λ≤
4．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
5．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为(　　)
A．B(5，－5)，M(0,0)
B．B(5，－5)，M
C．B(1,1)，M(0,0)
D．B(1,1)，M
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A．1 B. C. D.
7．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为(　　)
A．30° B．60° C．45° D．75°
8．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B．15 C．9 D．6
9．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)
A．[0，] B．(1，] C．[1,2] D．[，2]
10．在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则·(＋)等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
12．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2 B．－ C．－ D．－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知单位向量e满足|a－e|＝|a＋2e|，则向量a在e方向上的投影为________．
14．如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为______．
INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修4(老课标)\\WORD\\R330.TIF" \* MERGEFORMAT
15．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________．
16．已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，a和c的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥.
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．









18．(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值．







19．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.







20．(12分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置．












21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图所示．
(1)求∠OCM的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．










22．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取得最大值4时，求·.




















参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则等于(　　)
A．(－2,3) B．(0,1)
C．(－1,2) D．(2，－3)
答案　D
解析　＝(－1,2)，＝(1，－1)，
所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．
2．设e1，e2为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)
A．2 B．－3 C．－2 D．3
答案　A
解析　易知＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)，
又A，B，D三点共线，则∥，
则k＝2，故选A.
3．已知a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是(　　)
A．λ> B．λ≥
C．λ< D．λ≤
答案　A
解析　|a|＝，|b|＝，a·b＝－3λ＋10.由cos θ＝及θ为钝角时cos θ∈(－1,0)，知－1<<0，解得λ>.
4．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
答案　A
解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.
方法二　利用向量加法的平行四边形法则．
在?ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故选A.
5．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为(　　)
A．B(5，－5)，M(0,0)
B．B(5，－5)，M
C．B(1,1)，M(0,0)
D．B(1,1)，M
答案　B
解析　＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)
＝(5，－5)，AB中点M.
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　D
解析　过C作CE⊥x轴于点E.
INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修4(老课标)\\WORD\\R326.TIF" \* MERGEFORMAT
由||＝2，且∠AOC＝，
得|OE|＝|CE|＝2，
所以＝＋＝λ＋，
即＝λ，
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
7．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为(　　)
A．30° B．60° C．45° D．75°
答案　A
解析　∵a∥b，∴sin2α＝×＝，
∴sin α＝±.又∵α为锐角，∴α＝30°.
8．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B．15 C．9 D．6
答案　C
解析　?ABCD的图象如图所示，由题设知，
INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修4(老课标)\\WORD\\R327.TIF" \* MERGEFORMAT
＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
9．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)
A．[0，] B．(1，] C．[1,2] D．[，2]
解析　|a＋b|＝＝.
因为θ∈，所以cos θ∈[0,1]．
所以|a＋b|∈[，2]．
10．在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则·(＋)等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　由题意可知点P是△ABC的重心，∴＋＋＝0，
∴·(＋)＝－2＝－2＝－.
11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设a与b的夹角为θ，∵方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，
∴a·b≤|a|2.∴cos θ＝≤＝＝，∵θ∈[0，π]，∴≤θ≤π.
12．(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2 B．－ C．－ D．－1
答案　B
解析　以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立坐标系如图所示，
INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修4(老课标)\\WORD\\R328.TIF" \* MERGEFORMAT
则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．
设P点的坐标为(x，y)，
则P＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，
＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)
＝2(x2＋y2－y)＝2
≥2×＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2018·山西太原联考)已知单位向量e满足|a－e|＝|a＋2e|，则向量a在e方向上的投影为________．
答案　－
解析　由|a－e|＝|a＋2e|得(a－e)2＝(a＋2e)2，于是|a|2－2a·e＋1＝|a|2＋4a·e＋4，
解得a·e＝－，于是向量a在e方向上的投影为＝－.
14．如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为______．
INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修4(老课标)\\WORD\\R330.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　
解析　∵＝，＝，
∴＝，＝2.
由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋，
∴＝λ＝λ(＋)＝λ
＝λ＋2λ，
∵E，F，K三点共线，∴λ＋2λ＝1，∴λ＝.
15．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________．
答案　
解析　由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，
即3a2－a·b－2b2＝0.∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，
则3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
16．已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，a和c的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．
答案　
解析　由题意得c＝(1＋λ，3＋λ)，
∵a，c夹角为锐角，∴0∵cos〈a，c〉＝＝
＝，
∴0<<1，
∴0<10＋4λ<，∴λ>－，且λ≠0，
∴实数λ的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥.
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
解　因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)，
(1)因为∥，所以＝λ，
即
解得n＝－3.
(2)因为＝＋＝(2,3＋m)，
＝＋＝(4，m－3)，
又⊥，
所以·＝0，
即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1.
18．(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值．
解　(1)因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝(4,1)，
所以a·b＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10，
a＋b＝(7，－1)，
所以|a＋b|＝＝5.
(2)设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
19．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
解　(1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x.①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20.②
由①②联立，解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
由|a|＝，|c|＝，解得a·c＝5，
所以cos θ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝.
20．(12分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修4(老课标)\\WORD\\R331.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置．
解　(1)由＝，
可得＝＋＝－＋.
∵＝，
∴＝＋＝－＋.
(2)将＝－＋，＝－＋
代入＝＋λ＝＋μ，
则有＋λ＝＋μ，
即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)，
∴解得
(3)设＝m，＝n.
由(2)知＝＋，
∴＝－＝n－＝n－＝·＋＝m＝m－m，
∴解得
∴＝，即＝2，
∴点P在BC的三等分点且靠近点C处．
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图所示．
INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修4(老课标)\\WORD\\R332.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求∠OCM的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意，可得＝(6,0)，＝(1，)，
＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)．
∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝.
(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，
则λ＝(λt，λ)，
－λ＝(6－λt，－λ)．
若(－λ)⊥，
则(－λ)·＝0，
即12－2λt＋3λ＝0，∴(2t－3)λ＝12，
若t＝，则λ不存在；
若t≠，则λ＝.
∵t∈∪.
∴λ∈(－∞，－12]∪.
即满足条件的实数λ存在，实数λ的取值范围为(－∞，－12]∪.
22．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取得最大值4时，求·.
解　(1)由题设知＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，
得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．
(2)由题设知＝(ksin θ－8，t)，
∵与a共线，
∴t＝－2ksin θ＋16，
tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k2＋.
∵k>4，∴0<<1，
∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.
由＝4，得k＝8，此时θ＝，t＝8，
则＝(4,8)．
∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.




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