人教新课标A版必修4 第三章 三角恒等变换 章末检测卷（含答案解析）

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第三章 三角恒等变换 章末检测卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
2．已知α为第二象限角，sin α＝，则sin的值等于(　　)
A. B.
C. D.
3．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
4．已知直线l：xtan α－y－3tan β＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)等于(　　)
A．－ B. C. D．1
5．已知cos＝，则sin 2x等于(　　)
A. B. C．－ D．－
6.等于(　　)
A．2cos α B．2cos α
C．2sin α D．sin α
7．已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sin β＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
8．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
9．已知角α是第一象限角，且cos α＝，则等于(　　)
A. B. C. D．－
10．设奇函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω>0)在x∈[－1,1]内有9个零点，则ω的取值范围为(　　)
A．[4π，5π) B．[4π，5π]
C. D.
11．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为(　　)
A. B. C. D.
12．已知f(x)＝sin＋cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f(x1)≤ f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知tan α＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)＝________.
14．设α为钝角，且3sin 2α＝cos α，则sin α＝________.
15．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
16．若tan α＋＝，α∈，则sin＋2cos cos2α的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2018·浙江衢州五校联考)计算：
(1)；
(2)tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°.








18．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．








19．(12分)已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈.求：
(1)cos ；
(2)tan(α＋β)．








20．(12分)已知函数f(x)＝cos－sin.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；
(2)若θ为第一象限角，且f ＝，求cos的值．









21．(12分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f 的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．













22．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x(x∈R)．
(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．





















参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°＝cos 10°cos 70°＋sin 10°sin 70°＝cos(70°－10°)
＝cos 60°＝，故选C.
2．已知α为第二象限角，sin α＝，则sin的值等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－，
则sin＝sin αcos －cos αsin
＝×＋×＝.故选A.
3．(2017·山东)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
答案　C
解析　由题意得y＝2sin，其最小正周期T＝＝π.
4．已知直线l：xtan α－y－3tan β＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)等于(　　)
A．－ B. C. D．1
答案　D
解析　根据题意得tan α＝2，tan β＝－，则tan(α＋β)＝＝＝1.
故选D.
5．已知cos＝，则sin 2x等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　因为sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－1，
所以sin 2x＝2×2－1＝－1＝－.
6.等于(　　)
A．2cos α B．2cos α
C．2sin α D．sin α
答案　A
解析　原式＝＝2cos α.
7．已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sin β＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝，所以tan β＝＝.
又因为tan(α＋β)＝，
所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝
＝＝，故选B.
8．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－.
∵<<π，∴sin <0.
∵sin2＝＝，
∴sin ＝－.
9．已知角α是第一象限角，且cos α＝，则等于(　　)
A. B. C. D．－
答案　C
解析　因为cos α＝，且α在第一象限，所以sin α＝.
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin2α＝2sin αcos α＝，
原式＝
＝＝.
10．(2018·江西赣州高三期末)设奇函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω>0)在x∈[－1,1]内有9个零点，则ω的取值范围为(　　)
A．[4π，5π) B．[4π，5π]
C. D.
答案　A
解析　∵f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)
＝2sin，
∴φ－＝kπ(k∈Z)，
∴2T≤111．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C
＝2sin＝1.
∴sin＝，
∴＋C＝或＋C＝(舍去)，
∴C＝.
12．已知f(x)＝sin＋cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f(x1)≤ f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　f(x)＝sin＋cos
＝sin 2 019xcos ＋cos 2 019xsin ＋cos 2 019xcos ＋sin 2 019xsin
＝sin 2 019x＋cos 2 019x＋cos 2 019x＋sin 2 019x
＝sin 2 019x＋cos 2 019x＝2sin，
所以f(x)的最大值为A＝2；
由题意得，|x1－x2|的最小值为＝，所以A|x1－x2|的最小值为.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知tan α＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)＝________.
答案　
解析　∵tan α＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)
＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝.
14．设α为钝角，且3sin 2α＝cos α，则sin α＝________.
答案　
解析　因为α为钝角，所以sin α>0，cos α<0，
由3sin 2α＝cos α，可得6sin αcos α＝cos α，
所以sin α＝.
15．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
答案　
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.
16．若tan α＋＝，α∈，则sin＋2cos cos2α的值为________．
答案　0
解析　由tan α＋＝，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或tan α＝.
因为α∈，所以tan α＝3，
所以sin＋2cos cos2α＝sin 2α＋cos 2α＋
＝sin 2α＋cos 2α＋＝·＋·＋
＝·＋·＋＝×＋×＋＝0.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2018·浙江衢州五校联考)计算：
(1)；
(2)tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°.
解　(1)＝
＝＝＝sin 30°＝.
(2)由tan(25°＋35°)＝＝，
可得tan 25°＋tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)，
即tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝.
18．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos ＝，
即sin x－cos x＝，所以sin＝，
因为019．(12分)已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈.求：
(1)cos ；
(2)tan(α＋β)．
解　(1)∵<α<π，0<β<，
∴<α－<π，－<－β<，
∴sin＝＝，
cos＝＝，
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
(2)∵<<π，
∴sin ＝＝.
∴tan ＝＝－，
∴tan(α＋β)＝＝.
20．(12分)已知函数f(x)＝cos－sin.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；
(2)若θ为第一象限角，且f ＝，求cos的值．
解　(1)结论：函数f(x)为定义在R上的偶函数．
证明：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
f(x)＝cos－sin＝cos
＝cos x，
所以f(－x)＝cos(－x)＝cos x，
所以f(－x)＝f(x)．
因此，函数f(x)为定义在R上的偶函数．
(2)因为f ＝cos＝，
所以cos＝.
由于θ为第一象限角，故sin＝.
所以cos＝cos
＝sin＝2sincos
＝2××＝.
21．(12分)(2017·浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f 的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解　(1)由sin ＝，cos ＝－，得
f ＝2－2－2××＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得，
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得，
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
22．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x(x∈R)．
(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
解　(1)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2＋1
＝2sin＋1.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因为x∈[0，π]，
所以f(x)的单调递增区间为，.
(2)依题意，得2sin＋1－t＝1，
所以t＝2sin，即函数y＝t与y＝2sin的图象在内有两个交点．
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈时，sin∈，
y＝2sin∈[1,2]；当2x＋∈时，
sin∈，y＝2sin∈[－1,2]．由函数y＝t与y＝2sin的图象(图略)，
得1≤t<2，所以实数t的取值范围是[1,2)．




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